Задачи
Классическая теория теплоёмкости
 
50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости;
50.2. Пользуясь классической теорией" вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCI и CaСl2.
50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоёмкость С кристалла бромида алюминия AlBr3 объемом V=1м³. Плотность r кристалла бромида алюминия равна 3,01-10³ кг/м³.
50.4. Определить изменение DU внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t=0°С до t2=ЗОО°С. Масса m кристалла равна 20г. Теплоёмкость С вычислить.
50.5. Вывести формулу для средней энергии <e> классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии.  Вычислить значение <e> при Т=300К.
50.6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоящей из N=1025 классических трёхмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура Т=300К.
Указание. Использовать результат решений задачи 50.5.
 
Теория теплоёмкости Эйнштейна
 
50.7. Определить: 1)среднюю энергию <e> линейного одномерного квантового осциллятора, при температуре Т=qE (qE =200К); 2)энергию U системы, состоящей из N=1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=qE (qE =300К).
50.8. Найти частоту n колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура qE серебра равна 165К.
50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия <e> квантового  осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т1=qE/2 до Т2=qE? Учесть нулевую энергию.
50.10. Определить отношение <e>/<eT> средней энергий квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=qE.
50.11. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, вычислить изменение DUm молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его на DТ=2К от температуры Т=qE/2.
50.12. Пользуясь теорией теплоёмкости Эйнштейна, определить изменение DUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т1=0,1qE. Характеристическую температуру qE Эйнштейна принять для данного Кристалла равной 300К.
50.13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислений теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при Т=qE), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
50.14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um0 кристалла цинка. Характеристическая температура qE для цинка равна 230К.
 
Теория теплоёмкости Дебая
 
50.15. Рассматривая в дебаевском приближений твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн установить функцию распределения частот g(w) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме).
50.16. Зная функцию распределения частот  для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла , получить выражение для молярной теплоёмкости.
50.18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла. Найти предельное выражение молярной теплоёмкости при низких температурах (D<<qD).
50.19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um,0 кристалла меди. Характеристическая температура qD меди равна 320К.
50.20. Определить максимальную частоту wmax собственных колебаний в кристалле золота по теорий Дебая. Характеристическая температура qD равна 180К.
50.21. Вычислить максимальную частоту wmax Дебая, если известно, что молярная теплоемкость Сm серебра при Т=20К равна 1,7Дж/(моль·К).
50.22. Найти отношение изменения DUm внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до D=0,1 qD к нулевой энергий U0. Считать Т<<qD.
50.23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение DUm молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его от нуля до T=0,lqD. Характеристическую температуру qD Дебая принять для данного кристалла равной 300К. Считать Т<<qD.
50.24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислите изменение DUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на DТ=2К от температуры Т=qD/2.
50.25. При нагреваний серебра массой от m=10г от Т1=10К до Т2=2ОК было подведено DQ=0,7lДж теплоты. Определить характеристическую температуру qD Дебая серебра. Считать Т<<qD.
50.26. Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т=qD), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти.
50.27. Найти отношение qE/qD характеристических температур Эйнштейна и Дебая.
Указание. Использовать выражения для нулевых энергий, вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая.
 
50.28. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и Поперечных стоячих воли, установить функцию распределение частот  для кристалла с двухмерной решеткой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме).
50.29. Зная функцию распределения частот  для кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.30. Получить выражение для молярной теплоемкости Cm, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой:
50.31. Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоёмкости кристалла при низких температурах (Т<<qD).
50.32. Вычислить молярную Внутреннюю энергию Um кристаллов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура qD Дебая равна 350К.
50.33. Рассматривая в дебаевcком приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(w) для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме).
50.34. Зная функцию распределения частот g(w)=3N/wmax для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов.
50.35. Получить выражение для молярной теплоемкости, используя формулу для молярной внутренней энергий кристалла с одномерной решеткой:
50.36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Т<<qD).
50.37. Вычислить молярную нулевую энергию Umax кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура qD Дебая равна 300К.
 
Теплопроводность неметаллов. Фононы.
 
50.38 Вода при температуре t1=0°С покрыта слоем льда толщиной h=50см. Температура t1 воздуха равна 30°С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время t=1ч через поверхность льда площадью S=1м². Теплопроводность l льда равна 2,2Вт/(м·К).
50.39. Какая мощность N требуется для того чтобы поддерживать температуру t1=100°C; в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м² толщина h изолирующего слой равна 2см и внешняя температура t=20°C?
50.40. Найти энергию e фонона, соответствующего максимальной частоте wmax Дебая, если характеристическая температура qD Дебая равна 250К.
50.41. Определить квазиимпульс r фонона, соответствующего частоте w=0,1/wmax. Усредненная скорость u звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура qD Дебая равна 100К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.
50.42. Длина волны l фонона, соответствующего частоте w=0,01/wmax, равна 52нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру qD Дебая, если усредненная скорость u звука в кристалле равна 4,8км/с.

50.43. Вычислить усредненную скорость u фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругость, а также плотность r серебра считать известными.

50.44. Характеристическая температура qD Дебая для вольфрама равна 310К. Определить длину волны l фононов, соответствующих частоте ν=0,lνmax. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.
50.45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3нм. Определить максимальную энергию emax фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость u звука в кристалле равна 5км/с.
50.46. Определить усредненную скорость u звука в кристалле, характеристическая температура q которого равна 300К. Межатомное расстояние d в кристалле равно 0,25нм.
50.47. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность l=13Вт/(м·К), молярная теплоемкость С=44Дж/(моль·К) и усредненная скорость u звука равна 5км/с. Плотность r кварца равна 2,65·10³кг/м³.
50.48. Найти отношение средней длины (1) свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле NaCI, если теплопроводность l при той же температуре равна 71Вт/(м·К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана–Коппа. Относительные атомные массы: АNa=23, АCl=35,5; плотность r кристалла равна 2,l7·10³кг/м³. Усредненную скорость u звука принять равной 5км/с.
50.49. Вычислить фононное давление р в свинце при температуре Т=42,5К. Характеристическая температура qD Дебая свинца равна 85К.
50.50. Определить фононное давление р в меди при температуре Т=qD, если qD=320К.
 
Эффект Мёссбауэра
 
50.51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского смещения Dw/w для нерелятивистского случая.
50.52. Вычислить энергию R, которую приобретает атом вследствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (l=500нм); 2) при рентгеновском излучений (l=0,5нм); 3) при гамма-излучении (l=5·10ˉ³нм). Массу mа атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 а.е.м.
50.53. Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределённостей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (Dl/l) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость <u> теплового движения атома принять равной
3 км/с, время t жизни атома в возбужденном состоянии-10нс, энергию e излучений атома - 10 эВ.
50.54. При испускании gфотона свободным ядром происходит смещение и уширений спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение - явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe относительные изменения (Dl/l) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчётах принять среднюю скорость <u> ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300м/с, время t жизни ядра в возбужденном состоянии - 100нс и энергию eg гамма-излучения равной 15кэВ,
50.55. Найти энергий DЕ возбуждения свободного покоившегося ядра массы mя, которую они приобретает в результате захвата гамма-фотона с энергией e.
50.56. Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией eg=30кэВ. Определить относительное смещение Dl/l спектральной линии, обусловленное отдачей ядра.
50.57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения DЕ=93кэВ перешло в основное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изменение Deg/eg, энергий гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра.
50.58. Энергия связи Есв атома, находящегося в узле кристаллической решетки, составляет 20эВ. Масса mа атома равна 80 а.е.м. Определить минимальную энергию eg гамма-фотона, при испусканий которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки.
50.59. Энергия возбуждения DЕ ядра 191Ir равна 129кэВ. При какой скорости u сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 191Ir) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер?
50.60. Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Кr. Энергия возбуждения DЕ ядер равна 9,3кэВ. Определить скорость u сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гамма-фотона.
50.61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dу. Энергия возбуждения DЕ ядер равна 26кэВ, период полураспада Т½=28нс. При какой минимальной скорости umax сближения источника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона?
50.62. При скорости u сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 153Еr, равной 10мм/с, нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона с энергией eg=98кэВ. Оценить по этим данным среднее время t жизни возбужденных ядер 153Еr.
50.63. Источник гамма-фотонов расположен над детектором-поглотителем на расстояний l=20м. С какой скоростью u необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
 
Тепловое расширение твердых тел
 
50.64. Найти коэффициент объемного расширения b для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширений которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют a1=1,25·10‾5К‾¹; a2=1,01·10‾5К‾¹; a3=1,5·10‾5К‾¹.
50.65. Вычислить максимальную силу Fmax, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности b=50Н/м, а коэффициент ангармоничности g=500ГПа.
50.66. Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстояний при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности b=50Н/м, коэффициент ангармоничности g=500ГПа, среднее межатомное расстояние rо=0,4нм.
50.67. Каково максимальное изменение DПmax потенциальной энергии атомов в кристаллической решётке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние rо, между атомами принять равным 0,3Нм, модуль Юнга Е=100ГПа.
50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(х)=-bх, то тепловое расширение отсутствует.
50.69. Определить коэффициент гармоничности b в уравнении колебаний частиц твёрдого тела, если равновесное расстояние rо между частицами равно 0,3нм,, модуль Юнга Е=200ГПа.
50.70. Оценить термический коэффициент расширения b твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности g=b/(2/rо). При оценке принять: модуль Юнга Е=100ГПа, межатомное расстояние rо=0,3нм.
50.71. Вычислить коэффициент ангармоничности g для железа, если температурный коэффициент линейного расширения a=1,2·10‾5К‾1,межатомное расстояние rо=0,25нм, модуль Юнга Е=200ГПа.
50.72. Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Т=400К) по сравнению с равновесным расстоянием rо=0,3нм. Отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчётах принять g=b/(2/rо), модуль Юнга Е=10ГПа.
50.73. Оценить термический коэффициент расширения a твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области Т<<qD). При оценке принять: плотность r кристалла равной 104кг/м3, модуль Юнга Е=100ГПа, относительную атомную массу Аг=60.

Вопросы и задачи

Уравнение Шредингера
46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находя­щегося в водородоподобном атоме.
46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармони­ческого осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в по­ложение равновесия, f = -bx (где b — коэффициент пропорцио­нальности, х—смещение).
46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид
  Найти решение уравнения.
46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электро­на, движущегося в положительном направлении оси Х со ско­ростью v. Найти решение этого уравнения.
46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой y-функции, а о квадрате ее модуля y2?
46.6. Чем обусловлено требование конечности y-функции?
46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет
вид  Обосновать, исходя из этого уравнения, требования,  предъявляемые к волновой функции,— ее непрерыв­ность и непрерывность первой производной от волновой функции.
46.8. Может ли [y(x)]2 быть больше единицы?
46.9. Показать, что для y-функции выполняется равенство [y(x)]2 = y(x)y*(x), гдеy*(х) означает функцию, комплексно сопря­женную  y(х).
46.10. Доказать, что если y-функция циклически зависит от времени
 , то плотность вероятности есть функция только координаты.
 
Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик
46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоуголь­ном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Напи­сать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<x<l).
46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: y(x) = C1 sin kx + C2 cos kx Используя граничные условия y(0)=0 и y (l) = 0 опре­делить коэффициент С2 и возможные значения волнового вектора k,
при котором существуют нетривиальные решения.
            46.13. Электрону в потенциальном ящи­ке шириной l отвечает волновое число k = pn/l (п==1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных зна­чений энергии Еп.
            46.14. Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней DEn+1,n к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 3;
2) n = 10; 3) п → ∞
Пояснить полученные результаты.
46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 им. Определить наименьшую разность DE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид  Используя условия нормировки, определить постоянную С.
46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубо­кого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде y(x) = C1eikx + C2e-ikx, где  . Исполь­зуя граничные условия и нормировку y-функции, определить:
1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En Найти выражение для собственной нормированной y-функции.
46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций yn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид [yn(x)]2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<.х<l) и кван­товым числом п. Функцию считать нормированной на единицу.
46.19. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках ин­тервала (0 < x < l) плотность вероятности [y2(x)]2 нахождения час­тицы максимальна и минимальна.
46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < x < l)плотность вероятности нахож­дения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Ре­шение пояснить графически.
46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в сред­ней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?
46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной l находит­ся электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46.23. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.
46.24. Вычислить отношение вероятностей W1/W2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.
46.25. Показать, что собственные функции и ,описывающие состояние частицы в потен­циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.

46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> элек­трона (0<x<l).
46.27. Используя выражение энергии En = p2ħ2n2/(ml2) части­цы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.
Двух- и трехмерный потенциальный ящик
46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l = 10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.
46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собст­венной y-функции  , описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенци­альном ящике со сторонами l1 и l2-
46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторо­ной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.
46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собст­венной y-функции
, описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бес­конечно глубоком ящике со сторонами l1, l2, l3,
 
Низкий * потенциальный барьер бесконечной ширины
46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энер­гией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для об­ластей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.
46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты A1 и B1 для y1(x) и A2  и B2 для yII(x)? Чему равен коэффициент В2?
46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера
, yII(x) = A2eikx определить из условий непрерывности y-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1 и A2/A1.
46.35. Зная отношение амплитуд вероятности Для волны, отраженной от барьера, и  для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициен­та прохождения t.
            46.36. Считая выражение для коэффициента отражения r от потенциального барьера и коэффициента прохождения t извест­ными, показать, что r + t = 1.
46.37. Электрон с энергией E = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.
46.38. Определить коэффициент пре­ломления n волн де Бройля для прото­нов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия про­тонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.
46.39. Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость n, длина волны де Бройля l и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U = 6 эВ.
46.40. Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера.
46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны l1 = 0,l нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля l2 после прохождения барьера.
46.42. Электрон с энергией E = 100эВ попадает на потенциаль­ный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.
46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отраже­ния r от очень низкого потенциального барьера (U<<E).
46.44. Коэффициент отражения r протона от потенциального барьера равен 2,5 • 10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов.
46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломле­ния п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения r от него.
46.46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициен­том отражения r = 0,5.
46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения r = 0,5.?
46.48. Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель пре­ломления п волн де Бройля и коэффициент отражения r численно совпадают.
46.49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения r и коэффициент прохождения t электронов на границе барьера.
46.50. Коэффициент прохождения t электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения r. Опреде­лить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера.
46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохож­дения t электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля.
46.52. Коэффициент прохождения t протонов через потенциаль­ный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления п волн де Бройля на границе барьера.
46.53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положи­тельном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициента прохождения t на границе потенциаль­ной ступени высотой U (рис. 46.5).
46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента про­хождения t через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.
46.55. Вычислить коэффициент прохождения t электрона с энер­гией E = 100 эВ через потенциальный барьер высотой U = 99, 75 эВ.
46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность по­тока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Nr электронов, отраженных от барьера, и плотности потока Nt  электронов, прошедших через барьер.
46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнерге­тический поток электронов с плотностью потока энергии J1 = 10Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 а электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электро­нов в падающем потоке равна 1 эВ.
46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения t = 0,9. Определить отношение J2/J1 плотности потока энергии вол­ны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падаю­щей на барьер.
46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергети-ческий поток электронов. Концентрация п0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E = 100 эВ. Определить давле­ние, которое испытывает барьер, если его высота U = 9,7 эВ.

Высокий * потенциальный барьер бесконечной ширины
 
46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеет­ся потенциальный барьер высотой U.
            46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) y-функции имеют вид  и yII(x) = A2e-kx Используя непрерывность y-функций и их первых производных на границе барьера, найти отноше­ние амплитуд A2 /A1.
46.62. Написать выражение для yII(x) в области II (рис. 46.6) высо­кого потенциального барьера, если y-функция нормирована так, что  A1 = 1
46.63. Амплитуда A2 а волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна 2k1 /(k1 +ik) . Установить выражение для плотности вероят­ности нахождения частицы в области II (x > 0), если энергия части­цы равна Е, а высота потенциального барьера равна U.
46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени
, где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).
46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения
может быть записан в виде
46.66. Определить плотность, вероятности |yII (0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке  х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциального барь­ера равна U и y-функция нормирована так, что A1 = l.

Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины
46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энер­гией Е, движущейся в положительном направлении оси Х для об­ластей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шири­ной d.
46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I, II и III , пренебрегая волнами, отра­женными от границ I — II и II — III , и найти коэффициент прозрач­ности D барьера.
46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через пря­моугольный потенциальный барьер при разности энергий U — E = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5нм.
46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E = 10 эВ; 2) E = 100 эВ.
46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U — E =1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в п = 10 раз?
46.72. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).
46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U — E = 10 эВ.
          46.74. Электрон с энергией E движется в положительном направ­лении оси X. При каком значении U—Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D = IO-3, если ширина d барь­ера равна 0,1 нм?
46.75. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон прой­дет через потенциальный барьер, если его высота U = 10эВ и ши­рина d = 0,1 нм.
46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,l нм. При какой разности энергий U — Е вероятность W про­хождения электрона через барьер равна 0,99?
46.77. Ядро испускает a-частицы с энергией E = 5MeB. В гру­бом приближении можно считать, что a-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10МэВ и шири­ной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для a-частиц.
46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую раз­ность потенциалов Dj = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффи­циенты прозрачности De для электрона и Dp для протона, если вы­сота U барьера равна 20 кэВ и ширина d==0,l пм?

* См. сноску на с. 413. 418

* См. сноску на с. 413. 420

Задачи
Закон радиоактивного распада
41.1. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе ра­диоактивного йода  131I распадается в течение ближайшей секунды?
41.2. Определить постоянные распада λ изотопов радия 21988Ra и
22688Ra.
41.3. Постоянная распада λ рубидия 89Rb равна 0,00077 c-1. Определить его период полураспада T1/2.
41.4. Какая часть начального количества атомов распадется за один год в радиоактивном изотопе тория 228Th?
41.5. Какая часть начального количества атомов радиоактивного актиния 225Ас останется через 5 сут? через 15 сут?
41.6. За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года?
41.7. За какое время t распадается ¼ начального количества ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада Т1/2=24 ч?
41.8. За время t=8 сут распалось k= ¾  начального количества ядер радиоактивного изотопа. Определить период полураспада T1/2.
41.9. При распаде радиоактивного полония 210Ро в течение вре­мени t= 1ч образовался гелий 4Не, который при нормальных усло­виях занял объем V=89,5 см3. Определить период полураспада T1/2 полония.
41.10. Период полураспада T1/2 радиоактивного нуклида равен 1 ч. Определить среднюю продолжительность т жизни этого нуклида.
41.11. Какая часть начального количества радиоактивного нук­лида распадается за время t, равное средней продолжительности τ жизни этого нуклида?
Активность. Радиоактивное равновесие
41.12. Определить число N атомов, распадающихся в радиоактив­ном изотопе за время t=10 с, если его активность A=0,1 МБк. Считать активность постоянной в течение указанного времени.
41.13. Активность А препарата уменьшилась в k=250 раз. Скольким периодам полураспада T1/2 равен протекший промежуток времени t?
41.14. За время t=1сут активность изотопа уменьшилась от A1=118 ГБк до A2=7,4 ГБк. Определить период полураспада T1/2 этого нуклида.
41.15. На сколько процентов снизится активность А изотопа иридия 192Ir за время t=30 сут?
41.16. Определить промежуток времени τ, в течение которого активность А изотопа стронция 90Sr уменьшится в k1=10 раз? в k2= 100 раз?
41.17. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата ради­оактивного изотопа серебра, регистрирует поток β-частиц. При пер­вом измерении поток Ф1 частиц был равен 87 с-1, а по истечении времени t=1 сут поток Ф2 оказался равным 22 с-1. Определить период полураспада T1/2 изотопа.
41.18. Определить активность A фосфора 32Р массой m=1 мг.
41.19. Вычислить удельную активность а кобальта 60Со.
41.20. Найти отношение массовой активности a1 стронция 90Sr к массовой активности a2 радия 226Ra.
41.21. Найти массу m1 урана 238U, имеющего такую же актив­ность A, как стронций 90Sr массой m2=мг.
41.22. Определить массу m2 радона 222Rn, находящегося в радиоактивном равновесии с радием 226Ra массой m1=l г.
41.23. Уран 234U является продуктом распада наиболее распро­страненного изотопа урана 238U. Определить период полураспада T1/2 урана 234U, если его массовая доля w в естественном уране 238U равна 6*10-5.
41.24. Радиоактивный изотоп 2211Na излучает γ-кванты энергией ε=1,28МэВ. Определить мощность Р гамма-излучения и энергию W, излучаемую за время t=5 мин изотопом натрия массой m=5 г. Считать, что при каждом акте распада излучается один γ-фотон с указанной энергией.
41.25. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на расстоянии r = 1м интенсивность I гамма-излучения, равную 1,6 мВт/м2 Принимая, что при каждом акте распада ядра излу­чается один γ-фотон с энергией ε =1,33 МэВ, определить активность А источника.
41.26. Определить интенсивность I гамма-излучения на расстоя­нии r = 5 см от точечного изотропного радиоактивного источника, имеющего активность A =148 ГБк Считать, что при каждом акте распада излучается в среднем n =1,8 γ-фотонов с энергией ε = 0,51 МэВ каждый.

Задачи
Зоны Френеля
31.1. Зная формулу радиуса k-й. зоны Френеля для сферической волны (ρk=), вывести соответствующую формулу для плоской волны.
31.2. Вычислить радиус ρ5 пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянии b=1 м от фронта волны.
31.3. Радиус ρ4 четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус ρ6 шестой зоны Френеля.
31.4. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d=4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ=0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b=1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифрак­ционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?
31.5. Плоская световая волна (λ=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметром d=l см. На каком рас­стоянии b от отверстия должна находиться точка наблюдения, что­бы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля?
31.6. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстояниях bi, от его центра, наблю­даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функции b=f(r, λ, п), где r — радиус отверстия; λ — длина волны; п — чис­ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в кото­рых наблюдаются минимумы интенсивности.

 
31.7. Плоская световая волна (λ=0,7 мкм) падает нор­мально на диафрагму с круг­лым отверстием радиусом r=1,4 мм. Определить рас­стояния b1, b2, b3 от диафраг­мы до трех наиболее удален­ных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсив­ности.
31.8. Точечный источник S света (λ=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусом r=1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а=1 м). Определить расстояние b от экра­на до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точки Р три зоны Френеля.
31.9. Как изменится интенсивность в точке Р (см. задачу 31.8), если убрать диафрагму?

Дифракция на щели. Дифракционная решетка
31.10. На щель шириной а=0,05 мм падает нормально монохро­матический свет (λ=0,6 мкм). Определить угол φ между первоначаль­ным направлением пучка света и направлением на четвертую тем­ную дифракционную полосу.
31.11. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол φ отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1°. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?
31.12. На щель шириной а=0,1 мм падает нормально монохрома­тический свет (λ=0,5 мкм). За щелью помещена собирающая лин­за, в фокальной плоскости которой находится экран. Что будет на­блюдаться на экране, если угол φ дифракции равен: 1) 17'; 2) 43'.
31.13. Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит диф­ракционная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (λ=0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонен на угол φ=18°?
31.14. На дифракционную решетку, содержащую n=100 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Зритель­ная труба спектрометра наведена на максимум третьего порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Δφ=20°. Определить длину волны λ света.
31.15. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка отклонен на угол φ1=14°. На какой угол φ2 откло­нен максимум третьего порядка?
31.16. Дифракционная решетка содержит n=200 штрихов на 1 мм. На решетку падает нормально монохроматический свет (λ=0,6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
31.17. На дифракционную решетку, содержащую n=400 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (λ=0,6 мкм). Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол φ дифракции, соответствующий послед­нему максимуму.
31.18. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны в спектре второго порядка наклады­вается фиолетовая граница (λ=0,4 мкм) спектра третьего порядка?
31.19. На дифракционную решетку, содержащую n=500 штри­хов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра λкр=780 им, λФ=400 нм.
31.20. На дифракционную решетку с периодом d=10 мкм под углом α=30° падает монохроматический свет с длиной волны λ=600 нм. Определить угол φ дифракции, соответствующий вто­рому главному максимуму.
31.21. Дифракционная картина получена с помощью дифрак­ционной решетки длиной l=1,5 см и периодом d=5 мкм. Определить, в спектре какого наименьшего порядка этой картины получатся раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн Δλ=0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра (λ760 нм).
31.22. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обла­дать дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было раз­решить две спектральные линии калия (λ1=578 нм и λ2=580 нм)? Какое наименьшее число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы разрешение было возможно в спектре второго порядка?
31.23. С помощью дифракционной решетки с периодом d=20 мкм требуется разрешить дублет натрия (λ1=589,0 нм и λ2=589,6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине l решетки это возможно?
31.24. Угловая дисперсия Dφ дифракционной решетки для излу­чения некоторой длины волны (при малых углах дифракции) сос­тавляет 5 мин/нм. Определить разрешающую силу R этой решетки для излучения той же длины волны, если длина l решетки равна 2 см.
31.25. Определить угловую дисперсию Dφ дифракционной решет­ки для угла дифракции φ==30° и длины волны λ=600 нм. Ответ вы­разить в единицах СИ и в минутах на нанометр.
31.26. На дифракционную решетку, содержащую n=500 штри­хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ=700 нм. За решеткой помещена собирающая линза с глав­ным фокусным расстоянием f=50 см. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить линейную дисперсию Dl такой сис­темы для максимума третьего порядка. Ответ выразить в милли­метрах на нанометр.
31.27. Нормально поверхности дифракционной решетки падает пучок света. За решеткой помещена собирающая линза с оптичес­кой силой Ф=1 дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить число п штрихов на 1 мм этой решетки, если при малых углах дифракции линейная дисперсия Dl=1 мм/нм.
31.28. На дифракционную решетку нормально ее поверхности падает монохроматический свет (λ=650 нм). За решеткой находится линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. На экра­не наблюдается дифракционная картина под углом дифракции φ=30°. При каком главном фокусном расстоянии f линзы линейная дисперсия Dl=0,5 мм/нм?

Дифракция на кристаллической решетке
31.29. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения (λ=147 пм). Определить расстоя­ние d между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда излучение падает под углом =31°30' к поверхности кристалла.
31.30. Какова длина волны λ монохроматического рентгеновского излучения, падающего на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол  между на­правлением падающего излучения и гранью кристалла равен 3°?
Расстояние d между атомными плоскостями кристалла принять рав­ным 0,3 нм.
31.31. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом =65° к плоскости грани наблю­дается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны λ рентге­новского излучения.
Разрешающая сила объектива телескопа
31.32. Диаметр D объектива телескопа равен 8 см. Каково на­именьшее угловое расстояние β между двумя звездами, дифракцион­ные изображения которых в фокальной плоскости объектива по­лучаются раздельными? При малой освещенности глаз человека наиболее чувствителен к свету с длиной волны λ=0,5 мкм.
31.33. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две красные лампы (λ=640 нм). Расстояние d между лампами 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния r=15 км. Определить наименьший диаметр Dmin объектива, при котором в. его фокальной плоскости получатся раздельные дифракционные изображения.

Задачи
Закон Брюстера. Закон Малюса
32.1. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под углом ε1=54°. Определить угол преломления ε`2  пуч­ка, если отраженный пучок полностью поляризован.
32.2. На какой угловой высоте φ над горизонтом должно нахо­диться Солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью поляризован?
32.3. Пучок естественного света, идущий в воде, отражается от грани алмаза, погруженного в воду. При каком угле падения εв =отраженный свет полностью поляризован?
32.4. Угол Брюстера εв при падении света из воздуха на кристалл каменной соли равен 57°. Определить скорость света в этом кристал­ле.
32.5. Предельный угол ε`1 полного отражения пучка света на гра­нице жидкости с воздухом равен 43°. Определить угол Брюстера εв для падения луча из воздуха на поверхность этой жидкости.
32.6. Пучок естественного света падает на стеклянную (n=1,6) призму (рис. 32.3). Определить двугранный угол θ призмы, если отраженный пучок максимально поляризован.
32.7. Алмазная призма находится в некоторой среде с показа­телем преломления n1. Пучок естественного света падает на призму так, как это показано на рис. 32.4. Определить показатель прелом­ления n1 среды, если отраженный пучок максимально поляризован.
 

32.8. Параллельный пучок естественного света падает на сфери­ческую каплю воды. Найти угол α между отраженным и падающим пучками в точке А (рис. 32.5).
 

32.9. Пучок естественного света падает на стеклянный шар (п= 1,54). Найти угол γ между преломленным и падающим пучками в точке А (рис. 32.6).
32.10. Пучок естественного света падает на стеклянный шар, находящийся в воде. Найти угол φ между отраженным и падающим пучками в точке А (рис. 32.7). Показатель преломления n стекла принять равным 1,58.
32.11. Анализатор в k=2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол α между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь.

32.12. Угол α между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60°?

 
32.13. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, прохо­дящего через два николя, плоскости пропускания которых образуют угол α=30°, если в каждом из николей в отдельности теряется 10 % интенсив­ности падающего на него света?

Рис. 32.7

 
32.14. В фотометре одновременно рассматривают две половины поля зрения: в одной видна эталонная све­тящаяся поверхность с яркостью L1=5 ккд/м2, в другой — испытуемая поверхность, свет от которой прохо­дит через два николя. Граница меж­ду обеими половинами поля зрения исчезает, если второй николь повер­нуть относительно первого на угол
α=45°. Найти яркость L2 испытуемой поверхности, если извест­но, что в каждом из николей интенсивность падающего на него све­та уменьшается на 8 %.
Степень поляризации света
32.15. В частично-поляризованном свете амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в n=2 раза больше амплитуды, соответствующей минимальной ин­тенсивности. Определить степень поляризации Р света.
32.16. Степень поляризации Р частично-поляризованного света
равна 0,5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света, пропускаемого через анализатор, от минимальной?
32.17. На пути частично-поляризованного света, степень поля­ризации Р которого равна 0,6, поставили анализатор так, что интен­сивность света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания анализатора повернуть на угол α =30°?
32.18. На николь падает пучок частично-поляризованного света. При некотором положении николя интенсивность света, прошедшего через него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания нико­ля повернули на угол β =45°, интенсивность света возросла в k = 1,5 раза. Определить степень поляризации Р света.
Вращение плоскости поляризации
32.19. Пластинку кварца толщиной d1=2 мм, вырезанную перпен­дикулярно оптической оси, поместили между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации света повернулась на угол φ =53°. Определить толщину d2 пластинки, при которой данный монохроматический свет не проходит через анализатор.
32.20. Никотин (чистая жидкость), содержащийся в стеклянной трубке длиной d=8 см, поворачивает плоскость поляризации жел­того света натрия на угол φ =137°. Плотность никотина ρ=1,01*103 кг/м3. Определить удельное вращение [α] никотина.
32.21. Раствор глюкозы с массовой концентрацией Ci=280 кг/м3, содержащийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляри­зации монохроматического света, проходящего через этот раствор, на угол φ =32°. Определить массовую концентрацию С2 глюкозы в другом растворе, налитом в трубку такой же длины, если он пово­рачивает плоскость поляризации на угол φ =24°.
32.22. Угол φ поворота плоскости поляризации желтого света натрия при прохождении через трубку с раствором сахара равен 40°. Длина трубки d=15 см. Удельное вращение [α] сахара равно 1.17*10-2 рад*м3/(м*кг). Определить плотность ρ раствора.

Задачи
Сила Ампера
    22.1. Прямой провод, по которому течет ток 1=1 кА, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной l=1 м если магнитная индукция В равна 1 Тл?
     22.2. Прямой провод длиной l=10 см, по которому течет ток I=20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,01 Тл. Найти угол α между направлениями вектора В и тока, если на провод действует сила F=10 мН.
     22.3. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плос­кости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны парал­лельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I= 1 кА. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.
     22.4. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R= 15 см, находится в однородном магнитном поле (В=20 мТл). По проводу течет ток I=30 А. Плоскость, в которой ле­жит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подво­дящие провода находятся вне поля. Определить силу F, действую­щую на провод.
     22.5. По тонкому проводу в виде кольца радиусом R=20 см течет ток I=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В=20 мТл. Найти силу F, растягивающую кольцо.
     22.6. Двухпроводная линия состоит из длинных параллельных прямых проводов, находящихся на расстоянии d=4мм друг от дру­га. По проводам текут одинаковые токи I=50 А. Определить силу взаимодействия токов, приходящуюся на единицу длины провода.
     22.7. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной l=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d=20 см. Определить силу F взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток I = 10 кА.
     22.8. По двум параллельным проводам длиной l=1 м каждый те­кут одинаковые токи. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F=1 мН. Найти силу тока I в про­водах.
     22.9. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а=10 см друг от друга, текут одинаковые токи I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной l= 1 м каждого провода.
22.10. По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиу­сом R = 10 см, текут одинаковые токи I= 10 А в каждом. Найти силу F взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние d между центрами колец равно 1 мм.
22.11. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной а=20 см текут токи I=10 А в каждом. Определить силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответствен­ными сторонами контуров равно 2 мм.
 
Магнитный момент
    22.12. По витку радиусом г=5 см течет ток I=10 А. Определить магнитный момент рт кругового тока.
    22.13. Очень короткая катушка содержит N=1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной длиной а=10 см. Найти магнитный момент Pm катушки при силе тока I= 1 А.
    22.14. Магнитный момент рт витка равен 0,2 Дж/Тл. Определить силу тока I в витке, если его диаметр d= 10 см.
    22.15. Напряженность H магнитного поля в центре круговой витка равна 200 А/м. Магнитный момент рт витка равен 1 А·м2 Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.
    22.16. По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d= 1 м от его плоскости магнитная индукция В= 10 нТл. Определить магнитный момент рт кольца с током. Считать R много меньшим d.
    22.17. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется во круг ядра по окружности радиусом r=53 пм. Вычислить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока и механический момент М, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл.
    22.18. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента рт эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известными. Указать направления векторов рm и L.
    22.19. По тонкому стержню длиной l=20 см равномерно распределен заряд Q=240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) магнитный момент pm, обусловленный вращением заряженного стержня; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L) если стержень имеет массу m=12 г.
    22.20. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет заряд Q=10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой n=10 c-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Найти: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса т кольца равна10г.
    22.21. То же, что и в предыдущей задаче, но относительно oси совпадающей с одним из диаметров кольца.
    22.22. Диск радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд Q=0,2 мкКл. Диск равномерно вращаете с частотой n=20 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого диском; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса m диска равна  100 г.
   22.23. Тонкостенная металлическая сфера радиусом R = 10 см не­сет равномерно распределенный по ее поверхности заряд Q=3 мКл. Сфера равномерно вращается с угловой скоростью ω=10 рад/с от­носительно оси, проходящей через центр сферы. Найти: 1) магнит­ный момент рт кругового тока, создаваемый вращением сферы; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса m сферы равна 100 г.
     22.24. Сплошной шар радиусом R = 10 см несет заряд Q=200 нКл, равномерно распределенный по объему. Шар вращается относитель­но оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью ω= 10 рад/с. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, обусловленного вращением шара; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса m шара равна 10 кг.

Контур в магнитном поле
     22.25. Проволочный виток радиусом R=5 см находится в одно­родном магнитном поле напряженностью H=2 кА/м. Плоскость витка образует угол α=60° с направлением поля. По витку течет ток I=4 А. Найти механический момент М, действующий на виток.
     22.26. Виток диаметром d=20 см может вращаться около верти­кальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток уста­новили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток I=10 А. Найти механический момент M, который нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении *.
     22.27. Рамка гальванометра длиной а=4 см и шириной b = 1,5 см, содержащая N=200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл. Плоскость рамки парал­лельна линиям индукции. Найти: 1) механический момент М, дей­ствующий на рамку, когда по витку течет ток I=1 мА; 2) магнитный момент рт рамки при этом токе.
     22.28. Короткая катушка площадью S поперечного сечения, рав­ной 150 см2, содержит N=200 витков провода, по которому течет ток I=4 А. Катушка помещена в однородное магнитное поле напря­женностью H=8 кА/м. Определить магнитный момент рт катушки, а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля, если ось катушки составляет угол α=60° с линиями индукции.
     22.29. Рамка гальванометра, содержащая N=200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь S рамки равна 1 см2. Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции (В=5 мТл). Когда через гальванометр был пропущен ток I=2 мкА, то рамка повернулась на угол α=30°. Найти постоянную кручения С нити.
     22.30. По квадратной рамке из тонкой проволоки массой т=2 г пропущен ток I=6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период Т малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией В=2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.
_____________
* Горизонтальную составляющую ВГ магнитной индукции поля Земли принять равной 20 мкТл.
 
    22.31. Тонкий провод в виде кольца массой т=3 г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток I=2 А. Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 1,2 с. Найти магнитную индукцию В поля.
    22.32. На оси контура с током, магнитный момент которого рm равен 10 мА·м2, находится другой такой же контур. Вектор магнитного момента второго контура перпендикулярен оси. Вычислит механический момент М, действующий на второй контур. Расстояние d между контурами равно 50 см. Размеры контуров малы по сравнению с расстоянием между ними.
    22.33. Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом R=20 см, по которому течет ток I=100 А. На оси кольца расположено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом рт = 10 мА·м2. Плоскости колец параллельны, а расстояние d между центрами равно 1 см. Найти силу, действующую на малое кольцо.
 

Магнитный диполь
    22.34. Магнитное поле создано бесконечно длинным проводнике с током I=100 А. На расстоянии а=10 см от проводника находите точечный диполь, вектор магнитного момента (рт=1 мА·м2) которого лежит в одной плоскости с проводником и перпендикулярен ему. Определить силу F, действующую на магнитный диполь.
      22.35. Определить степень неоднородности магнитного поля (dB/dx), если максимальная сила Ртax действующая на точечный магнитный диполь, равна 1 мН. Магнитный момент рт точечного диполя равен 2 мА·м2.
     22.36. Проволочный виток радиусом R=20 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлен компас. Какой ток I течет по витку, если магнитная стрелка компаса отклонена на угол α=9° от плоскости магнитного меридиана *?
     22.37. Определить число N витков катушки тангенс-гальванометра, при котором сила тока, текущего по обмотке, численно равна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки, помещенной в центре обмотки? Радиус r катушки равен 25 см. Ось катушки перпендикулярна плоскости магнитного меридиана *.
     22.38. Длинный прямой соленоид, содержащий п=5 витков каждый сантиметр длины, расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана *. Внутри соленоида, в его средней части находится магнитная стрелка, установившаяся в магнитном по Земли. Когда по соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на угол α=60°. Найти силу тока I.
     22.39. Короткий прямой магнит расположен перпендикуляр плоскости магнитного меридиана. На оси магнита на расстоянии r=50 см от его середины (которое много больше длины магнита) находится магнитная стрелка. Вычислить магнитный момент pm магнита, если стрелка отклонена на угол α =6о от плоскости магнитного меридиана*.
__________
*См. сноску к задаче 22.26.
 
22.40. Конденсатор электроемкостью С=50 мкФ заряжается от источника тока, ЭДС E   которой равна 80 В, и с помощью особого переключателя полностью разряжается 100 раз в секунду через об­мотку тангенс-гальванометра, расположенного в плоскости магнит­ного меридиана *. На какой угол а отклонится магнитная стрелка, находящаяся в центре тангенс-гальванометра, если его обмотка имеет N=10 витков радиусом r=25 см?
22.41. Магнитная стрелка, помещенная в центре кругового про­вода радиусом R=10 см, образует угол α=20° с вертикальной пло­скостью, в которой находится провод. Когда по проводу пустили ток I=3А, то стрелка повернулась в таком направлении, что угол α увеличился. Определить угол поворота стрелки.