БИП

На заказ недорого с гарантией

Булдык Г.М., Довнар С.В. РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Минск 2015

 

ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К ОФОРМЛЕНИЮ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ (РГР)

При выполнении РГР следует строго придерживаться перечисленных ниже правил.

Работа, выполненная без соблюдения предъявляемых требований, к защите не допускается и возвращается студенту на доработку!

1. РГР должна быть выполнена в отдельной школьной тетради или на бумаге формата А4 чернилами любого цвета, кроме красного, с полями для замечаний преподавателя.
2. Решения задач должны быть расположены в последовательности, заданной в данном пособии, со строгим соблюдением нумерации заданий.
3. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать её условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу из своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
4. Решения задач должны сопровождаться развёрнутыми и аккуратными пояснениями всех действий и необходимыми чертежами.
5. В конце работы должны быть указаны использованная литература, дата выполнения работы.
6. Все указанные в проверенной работе ошибки и недочёты должны быть исправлены студентом в той же тетради под заголовком «Работа над ошибками», после чего работа должна быть возвращена на повторную проверку.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Булдык, Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика / Г.М.Булдык. - Минск : Высшая школа, 1989. - 308 с.
2. Булдык, Г.М. Руководство к решению задач и упражнений по теории вероятностей и математической статистике : Для практической и самостоятельной работы студентов экономических специальностей / Г.М.Булдык. - Минск : ФУАинформ, 2009. - 228 с.
3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1990. - 432 с.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант № 1
События и вероятности

1. В ящик были сложены 100 одинаковых деталей, затем выяснилось, что 5 из них дефектные. Найти вероятность того, что среди трех наудачу взятых из ящика деталей нет дефектных.
2. Установлено, что среди 50 электроламп есть 8 нестандартных. Найти вероятность того, что из взятых без выбора 10 электроламп, хотя бы 1 окажется нестандартной.
3. В продукции часового завода брак составляет 3% от общего количества выпускаемых часов. Для контроля отобрано 10 часов. Какова вероятность того, что среди них имеются хотя бы одни часы с браком?

Случайные величины

4. В течение года некоторая фирма трижды обращается за кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для фирмы равна 0,75. Случайная величина Х - число кредитов фирмы за год. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), o(X). Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

1

0 при х < 0, ах при 0 < х < 4,

1 при х >4.

Требуется: а) найти функцию плотности распределения вероятностей; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функций распределения и плотности.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение: m = 2, а = 2, а = 6, в = 8.

Математическая статистика

7. В налоговой инспекции проведено 110 проверок за год о правильности уплаты налогов частными предпринимателями. При каждой проверке проверялось 10 частных предпринимателей. Пусть дискретная случайная величина X - число предпринимателей неправильно уплативших налоги. Результаты проверок сведены в таблицу

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
m	3	6	14	22	26	20	15	3	1

 

где x - число предпринимателей неправильно уплативших налоги, при одной проверке; m - количество проверок, содержащих x предпринимателя.

Требуется, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по биномиальному закону.

Вариант № 2 События и вероятности

1. Буквенный замок содержит на оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.
2. Студент пришел на экзамен, подготовив лишь 20 вопросов из 25, имеющихся в программе. Преподаватель задает ему 3 вопроса. Какова вероятность, что студент знает ответы на все три вопроса?
3. В некоторую торговую точку поступает определенного вида товар от двух производителей. Известно , что первый производитель поставляет 35% этого товара, а второй - 65%. Опыт показывает, что, как правило, 2% изделий первого производителя содержат брак, а для второго производителя брак составляет 1,5%. Определить вероятность того, что случайно отобранное изделие содержит брак.

Случайные величины

4. В течение года некоторая фирма трижды обращается за кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для фирмы равна 0,65. Случайная величина Х - число кредитов фирмы за год. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), o(X). Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при     х < 0,

F(X) = • х²/25 при 0 < х < 5,

1. при     х >5.

Требуется: а) найти функцию плотности распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в) построить графики функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение: а = 5, а = 4, а = 4, в = 10.

Математическая статистика

7. Для проверки качества производимой продукции в течение года проводилось 200 проверок. При каждой проверке изучалось качество 7 изделий. В итоге получено эмпирическое распределение числа ^x изделий содержащих дефекты в одной выборке:

Число изделий в одной выборке, x	0	1	2	3	4
Количество выборок, содержащих x дефектных изделий, m	75	78	41	5	1

 

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05, проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина Х, характеризующая число дефектных изделий, распределена по биномиальному закону.

Вариант № 3 События и вероятности

1. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически открывается, если в определенной последовательности набраны три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу подбирать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события, состоящего в том, что вошедшему удастся открыть дверь за один час?
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первого - 0,6, второго - 0,7. Какова вероятность того, что оба стрелка поразят мишень, сделав по одному выстрелу?
3. Партия транзисторов, среди которых 5% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,96 обнаруживают дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,02 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

Случайные величины

4. Имеются 5 ключей, из которых только одним можно открыть замок. Случайная величина Х - число попыток открыть замок.

Требуется: а) составить ряд распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функции распределения.

8. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

5.

0. при     х < 0,

F(X) = • х²/36 при 0 < х < 6,

1. при     х >6.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в) построить графики функций распределения и плотности распределения вероятностей.

5. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение: а = 3, а =2, а = 3, в = 10.

Математическая статистика

6. Для оценки всхожести семян ячменя посеяно 300 выборок по 50 семян в каждой. В итоге получено эмпирическое распределение числа ^x не

взошедших семян в каждой выборке и число выборок, содержащих ^x не взошедших семян:

Число не взошедших семян в одной выборке, у	0	2	3	4	6	8	10
Число выборок, m	6	7	27	24	20	11	5

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина Х,

характеризующая число не взошедших семян ячменя, распределена по биномиальному закону.

Вариант № 4 События и вероятности

1. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м,..., 9-м этажах. Найти вероятность событий: а) ни один из пассажиров не выйдет на втором, третьем и четвертом этажах; б) трое пассажиров выйдут на девятом этаже; в) все пассажиры выйдут на одном этаже.
2. Два стрелка стреляют по мишени, имея по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена?
3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 10%, третьего - 5%. Какова вероятность приобрести неисправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго, 50% - с третьего?

Случайные величины

4. В ящике 20 деталей, среди которых 4 имеют скрытый дефект. Из этого ящика наудачу извлекают 3 детали. Описать закон распределения случайной величины Х - число деталей, не имеющих скрытого дефекта среди извлеченных, построить многоугольник распределения. Вычислить функцию распределения и числовые характеристики - моду, медиану, М(Х), D(X), a(X). Построить график функции распределения и многоугольник распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

1

0        при     х < 0,

х/7 при 0 < х < 7,

1     при     х >7.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей;

б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить график функций распределения и плотности распределения вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 4, а =1, а = 3, в = 4.

Математическая статистика

7. Отдел технического контроля проверил точность хода произведенных часов в 220 партиях, и получил следующие данные, указанные в таблице:

Количество часов с неточным ходом в одной партии, у	0	1	2	3	4	5
Количество партий, содержащих у часов с неточным ходом, щ	120	60	26	7	4	3

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,01, проверить гипотезу о том, что число часов с неточным ходом распределено по закону Пуассона.

Вариант № 5 События и вероятности

1. Определить вероятность события, состоящего в том, что студенту придется ждать поезда метро не более 10 секунд при условии, что интервал движения поездов составляет 3 минуты.
2. Бухгалтер составил два варианта годового баланса предприятия. Вероятность того, что в первом варианте баланса содержится ошибка 0,85, а во втором - 0,99. Найти вероятность того, что баланс предприятия составлен с ошибкой.
3. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета, можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?

Случайные величины

4. На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля. Построить закон распределения, многоугольник распределения случайной величины X характеризующей число светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Вычислить числовые характеристики М(Х) и D(X); функцию распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

1

0 при х < — 1,

(х + 1)/3 при —1 < х< 2,

1 при х >2.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей;

б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить график функций распределения и плотности распределения вероятностей.

2. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 5, а =1, а = 4, в = 6.

Математическая статистика

3. Отдел сбыта завода, по производству стеклянных изделий изучал количество поврежденных изделий в результате транспортировки в 500 отправленных партиях. Количество поврежденных изделий в одной партии приведено в таблице:

Количество поврежденных стеклянных изделий в одной партии, у	0	1	2	3	4	5	6
Количество партий, содержащих у поврежденных изделий, тг	191	167	75	38	14	9	6

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что распределение количества поврежденных стеклянных изделий в результате транспортировки подчиняется закону распределения Пуассона.

Вариант № 6 События и вероятности

1. В случайный момент времени к перекрестку, на котором установлен автоматический светофор, подъезжает автомобиль. В светофоре одну минуту горит зеленый свет и полминуты - красный, затем снова одну минуту - зеленый и полминуты - красный и т.д. Какова вероятность того, что автомобиль проедет перекресток без остановки.
2. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным 2 или 5.
3. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытаний одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 15% деталей бракованные, а в других - все доброкачественные?

Случайные величины

4. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий для проверки их качества. Описать закон распределения случайной величины X - числа дефектных изделий. Вычислить функцию распределения. Построить многоугольник и график функции распределения.

9. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

1

0              при      х < 2,

0,5х — 1 при 2 < х < 4,

1       при      х >4.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей;

б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить график функций распределения и плотности распределения вероятностей.

5. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 6, а =2, а = 6, в = 12.

Математическая статистика

6. В автопарке регистрировалось число автобусов, не вышедших на маршруты. Всего было проведено 400 наблюдений, результаты которых приведены в таблице:

Число автобусов, не вышедших на маршруты, у	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число зарегистрированных случаев, m	106	95	67	42	30	25	21	6	4	2	1	1

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, число автобусов, не вышедших на маршруты, подчиняется закону распределения Пуассона.

Вариант № 7 События и вероятности

1. К остановке через каждые 6 минут подходит автобус и через каждые 7 минут - троллейбус. Интервал времени между моментами прихода автобуса и ближайшего следующего троллейбуса равновозможен в пределах от 0 до 6 минут. Определить вероятность того, что: а) первым подошедшим транспортом окажется автобус; б) автобус или троллейбус подойдет через 3 минуты.
2. В продукции часового завода брак составляет 1,5% от общего количества выпускаемых часов. Для контроля отобрано 15 часов. Какова вероятность того, что среди них имеются хотя бы одни часы с браком?
3. Число бракованных микросхем на 1000 априори (до опыта) считается равновозможным от 0 до 5. Наудачу протестированы 100 микросхем, оказавшиеся исправными. Какова вероятность того, что все схемы исправны?

Случайные величины

4. Из партии, содержащей 90 изделий, среди которых имеется 6 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий для проверки их качества. Описать закон распределения случайной величины X - числа дефектных изделий. Вычислить функцию распределения. Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

' 0 при х < 2 п,

F(X) = ■ sin х при 2п < х < 2,5п,

„ 1 при х > 2,5п.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности распределения вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 0, а =2, а = - 2, в = 6.

Математическая статистика

7. В автопарке регистрировалось число автобусов, не вышедших на маршруты. Всего было проведено 500 наблюдений, результаты которых приведены в таблице

Число автобусов, не вышедших на маршруты, у	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число зарегистрированных случаев, щ	135	115	87	52	40	35	22	6	4	2	1	1

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, число автобусов, не вышедших на маршруты подчиняется закону распределения Пуассона.

Вариант № 8 События и вероятности

1. Два поставщика должны привести товар в магазин, у которого для разгрузки товара имеется одна рампа. Время поставки товара поставщиками независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из поставщиков придется ждать освобождения рампы, если время разгрузки первого поставщика 0,5 часа, а второго - 1 час.
2. В продукции завода брак составляет 2% от общего количества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 10 деталей. Определить вероятность того, что среди отобранных деталей имеется хотя бы одна бракованная.
3. Известно, что 97% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодность стандартной продукции с вероятностью 0,98 и нестандартной - с вероятностью 0,04. Определить

вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Случайные величины

4. Из партии, содержащей 150 изделий, среди которых имеется 8 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий для проверки их качества. Описать закон распределения случайной величины X - числа дефектных изделий. Вычислить функцию распределения. Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

' 0 при х < 1,5 л,

F(X) = ■ cos х при 1,5л < х < 2л,

„ 1 при х > 2л.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)     построить график функций распределения и плотности распределения вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение: а = 8, а =2, а = 4, в = 6.

Математическая статистика

7. В результате взвешивания 500 упаковок расфасованных продуктов получены данные, приведенные в таблице

Интервал веса в граммах [ x-х; x)	о 00 ^1- о |>	[480; 490)	[490; 500)	[500; 510)	[510; 520)	[520; 530]
Количество упаковок, вес которых принадле-	91	85	80	78	84	82
жит этому интервалу, m

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что вес упаковок Х распределен равномерно.

Вариант № 9 События и вероятности

1. К остановке через каждые 6 минут подходит автобус и через каждые 4 минуты - троллейбус. Интервал времени между моментами прихода автобуса и ближайшего следующего троллейбуса равновозможен в пределах от 0 до 5 минут. Определить вероятность того, что: а) первым подошедшим
   
   транспортом окажется автобус; б) автобус или троллейбус подойдет через 2 минуты.
2. Участник лотереи на тему спорта из 49 видов должен назвать 6. Полный выигрыш получает тот, кто правильно укажет все 6 названий. Выигрыш получают и те, кто угадает не менее 3-х названий. Какова вероятность получить выигрыш?
3. На фирме работает два бухгалтера - опытный и начинающий. Опытный бухгалтер оформляет 85% документов, а начинающий - 15%. У опытного бухгалтера наличие ошибок в документах составляет 0,5%, у начинающего - 9%. Какова вероятность того, что взятый наудачу документ окажется с ошибкой?

Случайные величины

4. В течение года некоторая фирма трижды обращается за кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для фирмы равна 0,65. Случайная величина Х - число кредитов фирмы за год. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), o(X). Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

1

0 при х < -0,5л, cos х при -0,5л < х < 0,

1 при              х >0.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) найти математическое ожидание и дисперсию;

в) построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 8, а =2, а = 4, в = 10.

Математическая статистика

7. В течение суток регистрировалось прибытие отдыхающих в дом отдыха. Полученные данные сведены в таблицу_____________________________________ Время суток в часах, [ -х; х)) Количество отдыхающих прибывших в этом интервале, m Время суток в часах [ x-х; х) Количество отдыхающих прибывших в этом интервале, m 0 - 2 12 12 - 14 10 2 - 4 15 14 - 16 16 4 - 6 14 16 - 18 21 6 - 8 20 18 - 20 18 8 - 10 18 20 - 22 21 10 - 12 19 22 - 24 16

 

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что время прибытия отдыхающих в дом отдыха распределено равномерно.

Вариант № 10 События и вероятности

1. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически открывается, если в определенной последовательности набраны три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу подбирать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события, состоящего в том, что вошедшему удастся открыть дверь за один час?
2. Число студентов, изучающих французский язык, относится к числу студентов, изучающих английский язык как 3:7. Вероятность того, что за границу на практику отправят студентов, изучающих французский язык, равна 0,2. Для студентов, изучающих английский язык, эта вероятность равна 0,5. За границу отправили студентов. Найти вероятность того, что эти студенты изучают французский язык.
3. Предприятие на трёх станках выпускает детали одного профиля, с вероятностями качества: 0,6; 0,7; 0,85. Какой процент брака в целом допускает предприятие?

Случайные величины

4. В течение года некоторая фирма трижды обращается за кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для фирмы равна 0,82. Случайная величина Х - число кредитов фирмы за год. Описать закон распределения данной случайной величины, вычислить функцию распределения и числовые характеристики М(Х), D(X), o(X). Построить многоугольник и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при х < 0,

F(х) = ■ 1 — cos х при 0 < х < 0,5л,

1. при х > 0,5л.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в)   построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 10, а =3, а = 4, в = 12.

Математическая статистика

7. В результате исследования уровня заработной платы учителей средних школ получены результаты, приведенные в таблице

Интервал заработной платы, тыс. р., [ yj; х)	700 - 750	750 - 800	800 - 850	850 - 900	900 - 950	950 -1000	1000 -1050
Число учителей, заработная плата которых	93	84	94	81	79	87	82
принадлежит данному интервалу, щ

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05, проверить гипотезу о равномерном распределении уровня заработной платы учителей.

Вариант № 11
События и вероятности

1. Два разных замка могут быть открыты ключами, которые находятся в коробке среди 10 других. Какова вероятность того, что ключи будут найдены с первой попытки?
2. Завод содержит 2 одинаковых параллельных цеха, дублирующих друг друга. Вероятность безотказной работы каждого цеха равна 0,9. При выходе из строя первого цеха осуществляется мгновенное переключение с вероятностью, равной 1, на второй цех. Определить вероятность работы завода.
3. Студент сдаёт зачёт по трём разделам теории вероятностей. Он выучил 70% первый раздела, 25% второго и 50% третьего. Для сдачи зачёта необходимо знать более 60% спрашиваемого материала. Что вероятнее - студент сдаст зачёт или нет?

Случайные величины

4. Банк выдаёт 5 кредитов. Вероятность не возврата кредита каждым из заёмщиков равна 0,2. Случайная величина X - число не возвращенных кредитов. Требуется: а) составить ряд распределения вероятностей случайной величины X; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить график функции распределения и многоугольник распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при     х < 0,

F(X) = ■ (х³ + х)/30 при 0 < х < 3,

1. при     х >3.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в)   построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение: а = 2, а =2, а = 4, в = 10.

Математическая статистика

7. Данные об износе основных производственных фондов по 60 предприятиям г. Минска представлены в виде простейшей статистической совокупности:

15,4	20,3	19,2	17,2	18,1	23,3	21,9
16,8	15,3	20,4	13,2	16,5	20,5	19,7
20,1	14,3	16,8	14,7	19,5	20,8	15,3
17,8	19,3	15,7	16,3	22,9	21,8	12,6
10,2	21,1	18,4	15,8	14,6	18,2	18,3
13,8	19,2	18,6	20,3	23,7	16,6	20,2
19,4	17,1	19,5	17,7	21,2	17,4	19,3
17,8	15,3	17,7	12,1	18,5	14,0	13,4
15,2	16,4	17,1	18,2

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,05 , проверить гипотезу о том, что износ основных производственных фондов описывается нормальным законам распределения.

Вариант № 12 События и вероятности

1. В ящике находятся 20 деталей, среди которых есть 9 бракованных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся качественными.
2. Вероятность того, что в течение полугода цены на товары народного потребления увеличатся, равна 0,95, а вероятность того, что за этот же промежуток времени изменится (увеличится) минимальная заработная плата, равна 0,9. Найти вероятность появления только одного из этих событий, если они независимы.
3. В некоторую торговую точку поступает определенного вида товар от двух производителей. Известно , что первый производитель поставляет 40% этого товара, а второй - 60%. Опыт показывает, что, как правило, 2% изделий первого производителя содержат брак, а для второго производителя

брак составляет 3%. Определить вероятность того, что случайно отобранное изделие содержит брак.

Случайные величины

4. Имеются 4 ключа, из которых открыть замок можно только одним. Случайная величина Х - число попыток открыть замок. Требуется: а) описать закон распределения вероятностей случайной величины; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить многоугольник распределения и график функции распределения вероятностей.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0 при х < 0,

F(X) = 9х³ + 2х при 0< х< 1/3,

1 при х >1/3.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а, в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 3, а =2, а = 4, в = 8.

Математическая статистика

7. Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,01, проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины Х по заданной выборке, характеризующей отклонения диаметров валов от номинального размера:

Интервалы отклонений, [ X-i; X)	[ 25; 27 )	[ 27; 29)	[ 29; 31)	[31; 33)	[33; 35)	[35; 37 )	[37;39 )	[39; 41]
Число валов, m	5	22	23		28	29	11	5

 

 

Вариант № 13
События и вероятности

1. В ящике находятся 15 деталей, из них - 2 бракованные . Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.
2. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 3% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 1%, третьего - 5%. Какова вероятность приобрести неисправный телевизор, если

в магазин поступило 20% телевизоров с первого завода, 20% - со второго, 60% - с третьего?

3. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Два из них срабатывают с вероятностью 0,8, а 1 - с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сигнализация сработает.

Случайные величины

4. В библиотеке студенту предложили 5 книг по требуемой тематике. Случайная величина Х - число книг, среди отобранных, которые нужны студенту. Требуется: а) составить ряд распределения вероятностей случайной величины; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить многоугольник распределения и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения

0. при      х < 0,

F (X) = - л/х/2 при 0 < х < 4,

1. при      х >4.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности вероятностей.

Математическая статистика

7. Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,01, проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины Х, по данным выборки, характеризующей прочность нити волокна:

Прочность нити, r [ -i; х))	[160; 180)	[180;200)	[200;220)	[220;240)	[240;260)	[260;280)	о о су о 00 су	[300;320]
Число нитей, m	36	70	105	129	128	115	87	30

 

Вариант № 14
События и вероятности

1. В группе из 20 студентов есть 8 спортсменов. Найти вероятность того, что в наудачу составленном списке из 15 студентов окажутся 5 спортсменов.
2. Охранное устройство содержит 2 элемента, вероятности отказа которых, равны 0,1 и 0,15 соответственно. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно отказа хотя бы одного из элементов.
3. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 использованных в игре. Для игры наудачу выбирается 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Случайные величины

4. В партии 5% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить многоугольник полученного распределения. Вычислить М(Х); D(X); о(Х);

Р^(х).

5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при   х < 0,

F (X) = • Xyfx/Q при 0 < х < 4,

1. при   х >4.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. В пакете 4% всех акций отклоняется от средней цены в 150 д. ед. более чем на 4 д. ед. Считая, что распределение цены акций подчиняется нормальному закону, найти, какой процент акций имеет цену в пределах от 149 до 151 д. ед.

Математическая статистика

7. При исследовании времени безотказной работы приборов получены следующие данные: Интервалы времени в днях [ X-х; X)) [0;20) [20;40) [40;60) [60;80) [80;100) [100;120) [120;140) [140;160] Число приборов, безотказно проработавших время в пределах соответствующего интервала, m 228 120 65 36 19 17 9 6   Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а0 = 0,05 , проверить гипотезу то том, что время безотказной работы приборов распределено по показательному закону.

1. В упаковке находятся 6 одинаковых изделий. Стало известно, что 2 из них с изъяном. Найти вероятность того, что среди двух взятых изделий нет ни одного с изъяном.
2. На складе имеется 18 запасных деталей, изготовленных на заводе № 1, и 20 деталей изготовленных на заводе № 2. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу деталей все окажутся изготовленными на заводе № 1.
3. Известно, что 92% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодность стандартной продукции с вероятностью 0,98 и нестандартной - с вероятностью 0,01. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Случайные величины

4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 43-го размера, равна 0,4. В обувной магазин вошли трое покупателей. Найти функцию распределения случайной величины Х - числа тех покупателей, которым потребовалась обувь 43-го размера. Вычислить Р(х >2).
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

^г 0         при      х < 0,

х²/9 при 0 < х < 3,

1       при      х >3.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в)   построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. В пакете 3% всех акций отклоняется от средней цены в 160 д. ед. более чем на 5 д. ед. Считая, что распределение цены акций подчиняется нормальному закону, найти, какой процент акций имеет цену в пределах от 158 до 162 д. ед.

Математическая статистика

7. Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ = 0,01, проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины Х по данным выборки, характеризующей диаметр стволов деревьев на участке леса:

Диаметр ствола, см [X-i; х))	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18)	[18; 20)	[20; 22)	[22; 24)	[24; 26)	[26; 28]
Количество деревьев,	10	25	51	66	87	147	120	80	39

 

 

1. В группе 25 студентов, из них 5 спортсменов. В наудачу составленном списке числятся 12 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов нет ни одного спортсмена.
2. За выполнение творческого задания 25 студентами получены следующие оценки: 9 студентов получили 10 баллов, 7 студентов получили 8 баллов, 6 студентов получили 7 баллов и 3 студента получили 6 баллов. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа оценена 8 баллами.
3. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,03, для второго - 0,05, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность второго станка в два раза больше, чем первого, а третьего в два раза меньше, чем первого. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из ящика будет бракованной?

Случайные величины

4. В некотором цехе брак составляет 3% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из 5 наудачу взятых изделий. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при     х < 0,

F(X) = - л/х/2 при 0 < х < 8,

1. при     х >8.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)   найти математическое ожидание и дисперсию;

в)   построить график функций распределения и плотности вероятностей.

Математическая статистика

7. Результаты взвешивания валов, произведенных за смену на станке - автомате, приведены в таблице

Интервал веса, в кг [ -i; х))	[0,45; 0,46)	[ 0,46; 0,47)	[0,47; 0,48)	[0,48; 0,49)	[0,49; 0,50)	[0,50; 0,51]
Количество валов, вес которых принадлежит данному интервалу, щ	92	78	76	85	83	86

 

 

Используя критерий согласия Колмогорова, при уровне значимости а₀ = 0,01, проверить гипотезу о том, что вес валов X распределен равномерно.

1. В цехе работают 7 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
2. На ярмарке 5 предпринимателей продают одну и ту же продукцию. Вероятность продать всю продукцию любым предпринимателем равна 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из них продаст всю продукцию.
3. Фирма совершает сделки, 80% из которых прибыльные, а 20% - неприбыльные. Вероятность банкротства фирмы за время t в случае, когда она заключает прибыльные сделки, равна 0,01, а в случае заключения не прибыльных сделок равна 0,7. Определить вероятность банкротства фирмы за время t.

Случайные величины

4. В некотором цехе брак составляет 1,5% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из 4 наудачу взятых изделий. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при х < 0,

F(X) = ■ sin( л - х) при 0 < х < л/2,

1. при х > л/2.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания нормально распределённой случайной величины Х в заданный интервал (3,6) если известны её математическое ожидание, равное 4, и среднее квадратическое отклонение - 1,5.

Математическая статистика

7. В результате испытаний 1000 элементов системы сигнализации на время безотказной работы получены данные, приведенные в таблице

Интервалы времени в часах [ х, _г; х,})	[0;50)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)	[300; 350]
Количество отказавших элементов, щ	381	243	138	105	73	41	19

Требуется, при уровне значимости а₀ = 0,01, при помощи критерия Колмогорова, проверить гипотезу о том, что время безотказной работы элементов сигнализации распределено по показательному закону.

Вариант № 18 События и вероятности

1. Девять жетонов одного вида прономерованы от 1 до 9. Наугад извлекается один жетон. Какова вероятность того, что номер жетона четный? Нечётный? Кратный 3-м?
2. Вероятность увеличения потребительского спроса на изделия фирмы «а» в будущем году оценивают в 0,5. Если эта оценка оправдается, то с вероятностью 0,8 возрастет объем продаж фирмы. Если же она не оправдается, то вероятность расширения продаж составит 0,3.

а)   Какова вероятность роста потребительского спроса и объема продаж?

б)    Какова вероятность ситуации, при которой нет одновременного увеличения, как потребительского спроса, так и объема продаж.

3. Партия транзисторов, среди которых 5% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,98 обнаруживают дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,01 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

Случайные величины

4. В некотором цехе брак составляет 1% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из 3 наудачу взятых изделий. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и график функции распределения вероятностей.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при    х < -1,

F(X) = ■ (х + 1) /3 при 0 < х < 2,

1. при х >2.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей;

б)    найти математическое ожидание и дисперсию;

в)    построить график функций распределения и плотности вероятностей.

Математическая статистика

7. В результате обследования средней урожайности зерновых на площадях района получены данные, сведенные в таблицу

Урожайность зерновых, ц/га, [ _г; хг))	[35; 38)	[38; 41)	[41; 44)	[44; 47)	[47; 50)	[50; 53)	[53;55)	[55; 59)	[59; 62]
Количество условных участков площадью 10 га, m	110	210	320	450	600	350	280	120	60

Требуется, используя критерий согласия Колмогорова, проверить гипотезу о том, что средняя урожайность зерновых распределена по нормальному закону. Принять уровень значимости а0 =0,05.

 

 

Вариант № 19 События и вероятности

1. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м,..., 9м этажах. Найти вероятность событий: а) ни один из пассажиров не выйдет на втором, третьем и четвертом этажах; б) трое пассажиров выйдут на девятом этаже; в) все пассажиры выйдут на одном этаже.
2. В отборочных соревнованиях по плаванию участвуют 5 студентов 1 - го курса и 4 студента 2 -го курса . Для участия в эстафете случайным образом отобрано 2 студента. Какова вероятность того, что они оба - первокурсники?
3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 3% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 4%, третьего - 2%. Какова вероятность приобрести неисправный телевизор, если в магазин поступило 40% телевизоров с первого завода, 30% - со второго, 30% - с третьего?

Случайные величины

4. В некотором цехе брак составляет 2% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из 6 наудачу взятых изделий. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.
5. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0. при х < 0,,

F(X) = ■ 1 — cos х при 0 < х < п/2,

1. при х > п/2.

Требуется: - а) найти плотность распределения вероятностей; б) найти математическое ожидание и дисперсию;

в) построить график функций распределения и плотности вероятностей.

6. Найти вероятность попадания в заданный интервал (а,в) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение : а = 5, а =3, а = 4, в = 10.

Математическая статистика

7. В результате испытания на прочность нового разработанного синтетического волокна получены данные, приведенные в таблице:

Интервалы изменения натяжения волокна [у {, х)	[0;500)	[500;1000)	[1000;1500)	[1500;2000)	[2000;2500)	[2500;3000)
Количество выдержавших соответствующую силу натяжения, щ	245	122	48	39	25	21

 

 

Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости а₀ =0,05, проверить гипотезу о том, что сила натяжения волокон распределена по показательному закону.

Вариант № 20 События и вероятности

1. Четыре человека вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м,..., 9-м этажах. Найти вероятность событий: а) ни один из пассажиров не выйдет на втором, третьем и четвертом этажах; б) трое пассажиров выйдут на девятом этаже; в) все пассажиры выйдут на одном этаже.
2. Акционерное общество состоит из трех независимых заводов, работающих в течение времени Т без убытков соответственно с вероятностями 0,8, 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что за время Т с убытками будет работать: а) только один завод; б) хотя бы один завод.
3. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытаний одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 12% деталей бракованные, а в других - все доброкачественные?

Случайные величины

4. Охотник стреляет по мишени до первого попадания, имея под рукой 4 патрона. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,5. Случайная величина Х - число произведённых выстрелов. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины Х;