Теория вероятностей УрГЭУ

Контрольная работа 2

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 1

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х – числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 2

В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 3

Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 4

Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 5

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 6

Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 7

Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 8

В урне 3 черных и 2 белых шара. Производится последовательное без возвращения извлечение шаров до появления черного. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных шаров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 9

Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х – числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 10

Имеется 3 лампочки, каждая из которых с вероятностью 0,4 имеет дефект. При включении дефектная лампочка перегорает и заменяется другой. Составить закон распределения случайной величины Х – числа испробованных ламп. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β). Построить графики функций F(X) и f(X).

Контрольная работа 1

Вариант 1

1. Какова вероятность выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0,9, для 2-го равна 0.8, для 3-го – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего.

3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0,09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3 чел. в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере один из них будет жив.

4. Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12 % от общего количества, зерна второго сорта – 9 %, третьего сорта – 14 %, четвертого сорта – 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта – 0,08, для пшеницы третьего сорта – 0,04, для четвертого сорта – 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

5. Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0,8, для остальных – 0,4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

Вариант 2

1. Имеется две урны. В первой урне а белых и в черных шаров, во второй с белых и d черных шаров. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

2. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: трое – в первый дом отдыха, трое – во второй, двое – в третий и четверо – в четвертый дом отдыха. Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность, что он 1) выиграет хотя бы по одному билет, 2) выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

4. В сборочный цех завода поступили детали с трех автоматов. 1-й автомат дает 3% брака, 2-й – 1%, 3-ий – 2%. Определить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей от 1-го автомата, 200 от 2-го и 300 от 3-го.

5. В специализированную больницу поступают в среднем 70% больных с заболеванием К а остальные – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, болезни М – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность, что он болел болезнью К?

Вариант 3

1. Колода из 36 карт наугад разделена пополам. Найти вероятность того, что в одной половине окажутся только черные карты, а в другой – только красные.

2. На 30 одинаковых жетонах написаны числа от 11 до 40. Какова вероятность вытянуть наугад жетон с номером, кратным 3 или 2?

3. В цехе работает 8 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад отбираются 7 чел. Какова вероятность, что среди отобранных будет только 2 женщины? Хотя бы одна женщина?

4. Имеется три урны. В первой урне а белых и в черных шаров, во второй урне с белых и d шаров, в третьей урне только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

5. Прибор может собираться из деталей высокого качества и деталей обычного качества. Из высококачественных деталей собирается 40% приборов. Для высококачественного прибора его надежность за промежуток времени t равна 0,95, для обычных приборов надежность составляет 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Вариант 4

1. В книге В. Феллера «Введение в теорию вероятностей» 500 страниц. Чему равна вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9?

2. При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых 420, оказалось, что начальной буквой фамилии у 10 чел. была «А», у 6 чел. – «Е», у 9 чел. – «И», у 12 чел. – «О», у 5 человек – «У» и у 3 чел. – «Ю». У остальных фамилии начинались с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия члена данного собрания начинается с согласной буквы.

3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места? Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра – нечетная?

4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме составляет 0,1, в ненормальном режиме – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

5. Некто заблудился в лесу и вышел на поляну, откуда вело 5 одинаковых дорог. Вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равны соответственно: 0,6, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1. Какова вероятность что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса?

Вариант 5

1. Двенадцать студентов получили дисциплинарные выговоры в деканате: трое – за опоздание на занятия, трое – за прогулы, двое – за неуспеваемость и четверо – за курение в здании факультета. Найти вероятность того, что двое случайно выбранных штрафников получили выговор за одно и то же нарушение.

2. В сказке Иван-царевич должен трижды угадать Василису Премудрую среди ее совершенно одинаковых одиннадцати сестер. Какова вероятность, что Иван-царевич справится с испытанием без подсказок?

3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 3 партии из четырех или 5 партий из восьми?

4. Студент может сдавать экзамен любому из трех экзаменаторов. Вероятность сдать экзамен первому из них составляет 0,4, остальным двум по 0,1. Студент не знает, кто из экзаменаторов «добрый». Он выбрал наугад одного из них и сдал экзамен. Какова вероятность, что студент сдавал экзамен «доброму» преподавателю?

5. Два охотника преследовали медведя и независимо друг от друга сделали в него по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. Медведь был убит, но в нем были обнаружены следы только одного выстрела. Охотники поспорили, кому из них должен принадлежать трофей. У кого из них больше шансов украсить гостиную медвежьей шкурой?

Вариант 6

1. Из 30 экзаменационных билетов студент выучил 23. На экзамене он берет билет первым. Какова вероятность, что ему попадется билет, который он знает? Какова будет эта вероятность, если студент пришел на экзамен последним и тянет последний оставшийся билет?

2. В первой из двух студенческих групп учатся а юношей и в девушек, во второй с юношей и d девушек. Из каждой группы наугад вызывается по одному студенту. Какова вероятность, что это будут юноши?

3. В организацию внедрились три секретных агента, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение года секретный агент будет разоблачен, для первого агента равна 0,9, для 2-го равна 0,8, для 3-го агента равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент.

4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 12 новорожденных будет 10 девочек.

5. Поручик Ржевский знакомится только с блондинками. Но в среднем только 20% блондинок натуральные, остальные – крашеные. Из 25 знакомых блондинок поручик случайным образом выбирает трех, с которыми идет вечером в театр. Найти вероятность того, что две из окажутся натуральными, а одна – крашеной.

Вариант 7

1. Из четырех отрезков, длины которых равны 3, 4, 7 и 9 см, наугад выбираются какие-то три. Какова вероятность того, что из выбранных отрезков можно составить треугольник?

2. Студент познакомился в троллейбусе с девушкой, и она дала ему свой номер телефона. Однако студент забыл последнюю цифру номера и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места?

3. На полке стоят 20 учебников, два из них по математике. Наугад выбираются 4 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один их взятых учебников – по математике.

4. Вероятность того, что спортсмен победит в матче, равна 0,6. Какова вероятность того, что в 10 поединках он одержит больше 8 побед?

5. В первой урне 7 белых шаров и 3 черных, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наугад вынули 2 шара и положили во вторую. Какого цвета шар теперь более вероятно вынуть из второй урны?

Вариант 8

1. Однажды вечером Ваня и Тима сели играть в кости. Они по очереди бросали две игральные кости. Если сумма выпавших очков равнялась 7, то выигрывал Ваня, а если сумма очков равнялась 8, то выигрывал Тима. На кого бы из них вы поставили, если бы вам пришлось держать пари?

2. Теща Кисы Воробьянинова зашила фамильные бриллианты в один из двенадцати одинаковых стульев. Два из них в последствии остались в Старгороде а десять стульев отправились в Москву. Какова вероятность отыскать бриллианты в одном из двух стульев, оставшихся в Старгороде?

3. Вероятность того, что рабочий перевыполнит план, равна 0,8, а вероятность того, что в случае перевыполнения плана он не получит премию, равна 0,1. Какова вероятность того, что рабочий получит премию?

4. Шахматист завершает вничью в среднем 20% своих партий. Определить наивероятнейшее число ничьих, которые сделает этот шахматист в турнире, где сыграет 12 партий.

5. Преподаватель проверяет контрольную по теории вероятностей, которую писали студенты трех групп. В первой группе неудовлетворительно написанные контрольные составляют 10% , во второй – 15%, в третьей – 20%. Определить вероятность попадания на проверку неудовлетворительно написанной работы, если всего было сдано 18 работ из первой группы, 20 – из второй и 24 из третьей группы.

Вариант 9

1. Шифр сейфа заключается в комбинации из четырех разных цифр от 1 до 9. Взломщик пытается открыть сейф, угадав нужную комбинацию. Какова вероятность открыть сейф с первой попытки?

2. В кабинете декана 3 телефона. Вероятность того, что в течение часа телефон не зазвонит, для первого телефона равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го телефона равна 0.85. Найти вероятность того, что в течение часа по крайней мере один телефон не зазвонит.

3. В первом ящике находится 3 синих и 2 зеленых предмета, во втором – 4 синих и 5 зеленых. Из каждого ящика выбирается наугад по 2 предмета. Найти вероятность того, что все выбранные предметы будут одного цвета.

4. Учителями истории могут работать выпускники трех вузов города. Первый вуз выпускает 45 % общего количества историков, второй – 40%, третий – 15% . Из первого вуза работать учителями в школу идут 70 % выпускников, из второго – 30%, из третьего – 10%. Какова вероятность, что данный выпускник пойдет работать учителем в школу?

5. В коробке находится 7 или 8 елочных игрушек, причем вероятность того, что игрушек 8, равна 0,7. Известно, что 15% елочных игрушек содержат фосфор. Найти вероятность того, что в коробке ровно 5 игрушек не содержат фосфор.

Вариант 10

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1 000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность, что он 1) выиграет хотя бы по одному билет, 2) выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

2. Вероятность того, что ковбой производя выстрел, выбьет 10 очков равна 0,4, вероятность того, что он выбьет 9 очков равна 0,3, вероятность того, что он выбьет 8 или менее очков равна 0,3. Найти вероятность того, что ковбой при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

3. В группе, состоящей из 25 студентов, в шахматы умеют играть 10 человек, а в шашки – 12 чел. Вероятность того, что студент из этой группы умеет играть в обе эти игры, равна 0,32. Найти вероятность того, что студент, наугад выбранный из группы, умеет играть в шахматы или в шашки.

4. Вероятность того, что студент выполняет домашние задания, равна 0,96. На экзамене такой студент получает положительную оценку с вероятностью 0,98, а студент, не делавший домашних заданий – с вероятностью 0,05. Какова вероятность, что студент, хорошо сдавший экзамен, не выполнял домашних работ?

5. У котенка есть три любимых места для отдыха: на хозяйской подушке, в дедушкином тапке и в кресле хозяина дома, в которых его можно найти с равной вероятностью. Вероятность того, что котенка в течение 30 мин выгонят с первого места составляет 0,7, со второго – 0,8, с третьего – 0,5. Котенок успел проспать всего 10 мин. и его прогнали с любимого места. Какова вероятность, что он устроился спать на хозяйской подушке?