Математические основы теории систем (МОТС)

А.В. Павлова ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по курсу «Математические основы теории систем» для студентов специальности I-53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» заочной формы обучения

выполним на заказ

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
 
Курсовая работа включает в себя пять заданий, соответствующие разделам «Элементы теории графов и ее приложения», «Сети», «Элементы математической логики и теория автоматов», «Математическое описание линейных систем»  и выполняется в 5-м семестре. Решение задач должно сопровождаться подробным объяснением.

Задание 1.   Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G(Х, Г) задан множеством вершин X = {x1, x2, …, xn}  и отображением
группа 382471   
группа 382472    ;
группа 382473   
группа 382474   
группа 382475    
группа 382476   
группа 382477     , 
где  i – текущий номер вершины, i=1,…,n , n-количество вершин графа.
Значение индексов n, K и L взять из табл. 1 в соответствии с номером варианта. Индексы K и L формируют значения индексов ,  , … переменной x в отображении Гxi = {x , x , x,…}. Если значения индексов , , … переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гxi.
Выполнить следующие действия:
1. определить исходный граф графическим, матричным  и аналитическим способами;
2. описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и  xj

i*j  при    i  j;
   Kij =
1/(p+1) при i<j .
3. найти передачу между вершинами x1 и xn, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа.

Таблица 1

№
варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
K 2 3 4 1 1 1 3 5 2 4 2 3 4 5 6
L 1 1 1 2 3 4 2 1 3 3 1 1 1 1 1
№
варианта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
N 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
K 1 1 1 1 3 2 5 5 2 3 4 5 6 5 3
L 2 3 4 5 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 5

Задание 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости

На рис. 1 – 22 приведены транспортные сети в виде ориентированных графов. На каждом из ребер через черту проставлены значения пропускной способности С() ребра  и стоимость транспортировки единицы потока d() по этому ребру.
Для заданной сети определить:
1) максимальный поток   транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую – стоком;
2) стоимость доставки груза по путям, формирующим максимальный поток в сети.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

                                                   
Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Задание 3. Анализ сетей Петри

Сеть Петри задана графически (рис. 23 – 30). В табл. 2 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.
Выполнить следующие действия:
1. Описать сеть аналитическим и матричным способами.
2. Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.
3. Построить дерево достижимости заданной сети.
4. Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Рис. 23
 

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Таблица 2

№
варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 0 1 3 0 1 1
2 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 3 1 1 2 0
3 2 3 1 0 1 1 1 3 2 1 0 1 2 3 3
4 3 1 3 4 0 2 1 1 0 1 1 2 1 1 2
5 1 2 5 1 2 2 3 0 3 3 2 0 3 2 1
№ рисунка Рис. 23 Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29
№
варианта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 3 2 1 0 3 1 0 2 1 3 1 3 1 3 2
2 2 2 0 3 1 2 4 1 2 1 1 1 2 2 1
3 2 3 2 1 0 1 1 3 4 3 2 1 3 2 3
4 0 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 - - -
5 1 0 1 1 2 0 - - - - - - - - -
№ рисунка Рис. 29 Рис. 30 Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26

Задание  4. Элементы математической логики и теории автоматов

Конечный автомат задан графом, определенным в задании 1 курсовой работы. Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний  Q = {q1, q2,…, qn}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X = {x1, x2, x3, x4}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем  каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы  Y = {y1, y2, y3}:
y1 – переход из состояния qi в состояние qj (петля);
y2 – переход из состояния qi  в qj при i<j;
y3 – переход из состояния qi в qj при i>j.
Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл. 3, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

Таблица 3

№ варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тип
элементов И
НЕ И
ИЛИ
НЕ ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ
Тип
триггера RS JK T RS JK D RS T D RS
№ варианта 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Тип
элементов И
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ И
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ
Тип
триггера D JK T D RS RS D JK T D
№ варианта 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Тип
элементов ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ И
ИЛИ
НЕ И
НЕ ИЛИ
НЕ
Тип
триггера RS T JK RS D T JK RS T D

Рассмотрим пример перехода от графа, заданного аналитически, к аналитическому способу задания конечного автомата. Пусть в задаче 1 (контрольная работа № 1) граф задан следующим образом:
X = {x1, x2, x3, x4, x5}, Гx1 = {x2, x3, x5}, Гx2 = {x1}, Гx3 = {x2, x4}, Гx4 = {x1, x3, x5}, Гx5 = {x1, x5}.
При переходе к конечному автомату множество состояний Q = {q1, q2, q3, q4, q5}. Закон отображения состояний запишется следующим
образом: Гq1 = {q2(x1/y2), q3(x3/y2), q5(x4/y2)}, Гq2 = {q1(x3/y3)} (читается: автомат переходит из состояния  q2  в состояние  q1, если на входе действует буква  x3  входного алфавита, при этом на входе появляется буква  y3  выходного алфавита);
Гq3 = {q2(x1/y3), q4(x3/y2)};
Гq4 = {q1(x2/y3), q3(x1/y3), q5(x4/y2)},
           Гq5 = {q1(x2/y3), q5(x3/y1)}.
Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл. 4.

Таблица 4
X Q q1 q2 q3 q4 q5
X1 q2/y2 — q2/y3 q3/y3 —
X2 — — — q1/y3 q1/y3
X3 q3/y2 q1/y3 q4/y2 — q5/y1
X4 q5/y2 — — q5/y2 —

Задание  5. Математическое описание линейных систем

Передаточная функция системы имеет вид:

Значения коэффициентов  и   для различных вариантов приведены в табл. 5.
Таблица 5

№ вар. b2 b1 b0 a3 a2 a1 a0 № вар. b2 b1 b0 a3 a2 a1 a0
1.  1260 1260 0 1 19 104 140 46.  0 700 0 1 18 87 70
2.  0 1890 945 1 20 121 210 47.  36 126 108 1 8 19 12
3.  0 648 1296 1 18 99 162 48.  0 840 840 1 15 71 105
4.  0 27 54 1 13 39 27 49.  0 72 108 1 14 49 36
5.  0 1400 700 1 19 104 140 50.  0 84 84 1 15 68 84
6.  0 960 1440 1 16 76 96 51.  0 1440 1440 1 17 92 160
7.  84 126 42 1 14 61 84 52.  180 450 270 1 18 101 180
8.  0 800 800 1 17 80 100 53.  0 144 288 1 10 27 18
9.  0 3528 3528 1 24 191 504 54.  2880 7200 4320 1 23 166 360
10.  0 420 630 1 18 107 210 55.  0 96 48 1 9 26 24
11.  0 432 0 1 19 114 216 56.  0 1440 1440 1 17 90 144
12.  360 720 270 1 15 59 45 57.  0 486 0 1 18 99 162
13.  1296 3240 1944 1 19 114 216 58.  0 1008 1512 1 18 101 168
14.  0 3600 7200 1 22 157 360 59.  0 80 160 1 19 98 80
15.  0 54 27 1 16 69 54 60.  0 126 126 1 18 95 126
16.  0 540 0 1 19 108 180 61.  0 600 0 1 21 140 300
17.  0 168 84 1 11 31 21 62.  0 3456 3456 1 23 174 432
18.  0 1800 1800 1 21 128 180 63.  0 3840 0 1 24 188 480
19.  0 70 35 1 18 87 70 64.  0 1120 0 1 19 104 140
20.  0 540 810 1 16 69 54 65.  0 2400 2400 1 21 134 240
21.  192 576 432 1 15 62 48 66.  0 72 0 1 7 14 8
22.  240 360 120 1 12 44 48 67.  0 1800 1800 1 19 110 200
23.  0 540 270 1 13 52 60 68.  0 24 24 1 9 26 24
24.  378 945 567 1 16 81 126 69.  0 180 270 1 15 56 60
25.  0 1200 0 1 18 95 150 70.  0 3150 4725 1 24 185 450
26.  864 432 0 1 23 174 432 71.  0 96 144 1 13 44 32
27.  0 486 486 1 18 99 162 72.  0 360 180 1 14 49 36
28.  0 3200 0 1 22 152 320 73.  0 224 336 1 13 44 32
29.  0 672 1344 1 15 68 96 74.  0 2880 1440 1 22 157 360
30.  0 2160 1080 1 20 124 240 75.  0 4320 4320 1 23 174 432
31.  0 2160 4320 1 23 166 360 76.  2400 2400 600 1 19 118 240
32.  0 1344 2016 1 18 104 192 77.  0 50 75 1 8 17 10
33.  0 1800 1800 1 18 101 180 78.  0 882 441 1 16 81 126
№ вар. b2 b1 b0 a3 a2 a1 a0 № вар. b2 b1 b0 a3 a2 a1 a0
34.  1500 3750 2250 1 18 95 150 79.  960 1920 960 1 20 116 160
35.  0 720 1080 1 16 73 90 80.  0 5040 2520 1 27 242 720
36.  1008 504 0 1 21 146 336 81.  48 48 12 1 8 19 12
37.  630 945 0 1 18 107 210 82.  0 1120 1120 1 17 92 160
38.  2430 6075 3645 1 22 147 270 83.  0 1800 2700 1 24 185 450
39.  0 120 120 1 9 26 24 84.  0 1890 2835 1 22 147 270
40.  1296 2592 972 1 23 174 432 85.  0 224 336 1 17 86 112
41.  0 8 12 1 7 14 8 86.  0 324 648 1 16 69 54
42.  0 600 300 1 21 140 300 87.  0 216 432 1 13 39 27
43.  0 1680 840 1 20 124 240 88.  0 126 63 1 16 81 126
44.  0 504 756 1 13 54 72 89.  0 210 315 1 18 87 70
45.  0 420 630 1 12 47 60 90.  900 450 0 1 20 109 90

Выполнить следующие действия:

1) Записать дифференциальное уравнение системы. Найти характеристическое уравнение и его корни.
2)  Разложить передаточную функцию на сумму простых слагаемых. Вычислить импульсную переходную характеристику w(t) с помощью обратного преобразования Лапласа и переходную характеристику h(t).
3) В пакете Matlab построить характеристики w(t) и h(t), сравнить с расчетными. Записать передаточную функцию W(s) в tf-, zpk- и ss-формах.
4) Построить асимптотические амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) характеристику.
5) Построить частотные характеристики в пакете Matlab, сравнить их с асимптотическими.
6) Записать уравнения состояния в нормальной форме, изобразить схему моделирования.
7) Записать уравнения состояния в канонической форме, изобразить схему моделирования.
8) Решить уравнения состояния в канонической форме.
9) Получить аналитическое выражение для переходного процесса y(t), если на входе действует сигнал a2•1(t), а начальные условия имеют вид: y(0) = 0,1a2; 
10) Проверить одинаково ли значение коэффициента усиления по передаточной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики

ЛИТЕРАТУРА

Основная:
1. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 311 с.
2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергия, 1986.
3. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. – М.: Мир, 1994. – 254 с.
4. Павлова А.В. Математические основы теории систем: Конспект лекций для студентов специальности «Автоматическое управление в технических системах». Ч. 1. – Мн.: БГУИР, 1999. – 78 с.
5. Павлова А.В., Кушелев Ю.В. Методические указания  к практическим занятиям и курсовой работе по курсу «Математические основы теории систем». – Мн.: БГУИР, 1994.