Физика для экономистов БГУИР

Готовность решений  - 50%. При необходимости быстро выполним на заказ

Горячун, Н. В. Физика : метод, пособие к выполнению контр, работ для студ. спец. «Экономика и организация производства» заоч. формы обуч. / Н. В. Горячун. - Минск : БГУИР, 2011. - 104 с.: ил.

 

Контрольная работа № 1

 

Табл. 1.1

 

Варианты           Номера задач

1             1             11           21           31           41           51           61           71

2             2             12           22           32           42           52           62           72

3             3             13           23           33           43           53           63           73

4             4             14           24           34           44           54           64           74

5             5             15           25           35           45           55           65           75

6             6             16           26           36           46           56           66           76

7             7             17           27           37           47           57           67           77

8             8             18           28           38           48           58           68           78

9             9             19           29           39           49           59           69           79

0             10           20           30           40           50           60           70           80

 

1.            Частица движется вдоль прямой по закону  , где  A = 3 м,  B = 2,5 м/с, C = 0,25 м/с3. Найти скорость   и ускорение а в зависимости от времени, а также средние значения скорости и ускорения за интервал времени от   до  .

2.            Ускорение материальной точки изменяется по закону  , где  ;  . Найти кинематический закон движения точки, а также модуль ее перемещения за время  , где  , если  при     и  .

3.            Скорость материальной точки, движущейся в плоскости ХУ, изменяется со временем по закону  , где   и   – положительные постоянные. Найти: 1) зависимость от времени модуля скорости и ускорения точки; 2) зависимость от времени радиуса-вектора точки; 3) модуль радиуса-вектора точки в момент времени  . В момент   радиус-вектор точки равен нулю.

4.            Точка движется в плоскости ХУ по закону  ,  , где   и   – положительные постоянные. Найти: 1) уравнение траектории точки  , изобразить ее график; 2) зависимость от времени модуля скорости и ускорения точки; 3) зависимость от времени угла   между векторами скорости и ускорения.

5.            Точка движется в плоскости ХУ по закону  ,  , где А и ω – положительные постоянные. Найти: 1) скорость и ускорение точки в зависимости от времени; 2) путь s, проходимый точкой за время  .

6.            Частица вращается по окружности радиусом   по зако-ну , где  ;  .  тангенциальное, нормальное и полное ускорение частицы в момент времени   .

7.            Частица движется с ускорением  вдоль оси Х, где  . Найти зависимость скорости и координаты от времени. Вычислить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость  м/с.

8.            Точка движется по окружности со скоростью  , где   м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет η = 0,1 длины окружности после начала движения.

9.            Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол   его поворота зависит от времени, как  , где   рад/с2. Найти полное ускорение а точки  А на ободе колеса в момент   c, если скорость точки А в этот момент   м/с.

10.          Твердое тело вращается с угловой скоростью  , где   рад/с2,    рад/с3,   и  – орты осей   и  . Найти модули угловой скорости и углового ускорения в момент    c.

11.          На тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости,  в момент времени   начала действовать сила, зависящая от времени как  , где k – постоянная. Направление этой силы все время составляет угол   с горизонтом. Найти: 1) скорость тела в момент отрыва от плоскости; 2) путь, пройденный телом к этому моменту.

12.          Частица массой m в момент   начинает двигаться под действием силы  , где   и ω – постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t.

13.          В момент   частица массой m начинает двигаться под действием силы  , где   и ω – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время?

14.          Катер массой m движется по озеру со скоростью  . В момент   выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера,  ,  , найти: 1) время движения катера с выключенным двигателем; 2) скорость катера в зависимости от пути, прой-денного с выключенным двигателем; 3) полный путь до остановки.

15.          К бруску массой  , лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу  . В процессе его прямолинейного движения угол   между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону  , где   – постоянная,   – пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла  .

16.          Найти модуль и направление силы, действующей на частицу массой m при ее движении в плоскости ХУ по закону  ,  , где    – постоянные.

17.          Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, со-ставляющей угол   с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути x по закону  , где   – постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки.

18.          На частицу массой   г действует сила, зависящая от времени по закону  . Частица движется вдоль оси Х. Найти кинематический закон движения частицы и ее путь за первые 3 с. В начальный момент времени частица находилась в начале координат и ее скорость была равна нулю.

19.          Частица массой   г движется из начала координат прямоли-нейно вдоль оси Х под действием силы  . Найти кинематический закон движения частицы и ее координату в момент времени   с. В начальный момент времени скорость частицы была равна 1 м/с.

20.          Частица массой   кг движется по окружности радиусом   м по закону  , где   – пройденный путь. Найти силу, действующую на частицу через 2 с после начала движения.

21.          Локомотив массой   начинает двигаться от станции так, что его скорость меняется по закону   , где   – постоянная,   – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив за первые   секунд после начала движения.

22.          Тело массой   начинают поднимать с поверхности Земли под дей-ствием силы  , где   – положительная постоянная. Найти ра-боту всех сил, действующих на тело на высоте  .

23.          Тело массой   бросили под углом   к горизонту с начальной скоростью  . Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

24.          Частица массой   движется по окружности радиусом   с нормаль-ным ускорением, которое меняется со временем по закону  , где  – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые   секунд после начала движения.

25.          В результате упругого центрального столкновения частицы 1 массой   с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

26.          Человек  массой   кг, бегущий со скоростью   км/ч, дого-няет тележку массой   кг, движущуюся со скоростью   км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?

27.          По краю платформы в виде диска массой 500 кг начинает двигаться человек массой 70 кг. На какой угол повернется платформа, если человек, идя по краю платформы, вернется в исходную точку?

28.            Платформа в виде диска диаметром 2 м и массой 100 кг может вра-щаться вокруг вертикальной оси. Человек массой 50 кг, первоначально поко-ившийся, начинает идти по краю платформы со скоростью 1 м/с относительно платформы. Чему будет равна угловая скорость вращения платформы?

29.          Пуля массой 20 г, летящая со скоростью 300 м/с, застревает в нижнем конце вертикального стержня длиной 1 м и массой 2 кг, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец. Найти угловую скорость стержня сразу после попадания пули и его кинетическую энергию.

30.          Пуля массой  , летящая со скоростью  , попадает в деревянный шар массой М, подвешенный на невесомой, нерастяжимой нити, и застревает в нем. На какую высоту поднимется шар с пулей после столкновения.

31.          На ступенчатый блок (рис. 1.7) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной из них действуют постоянной силой  , а к концу другой нити прикреплен груз массой m. Известны радиусы   и R2 блока и его момент инерции   относительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.          На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол   с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рис. 1.8. Масса катушки   г, ее момент инерции относительно собственной оси    г•м2, радиус намотанного слоя ниток   cм. Найти ускорение оси катушки.

33.          Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол   с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения качения.

34.          Однородный шар массой   кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол   с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через   с после начала движения.

35.          На ступенчатый вал, радиусы которого   и  , намотаны нити, нагруженные одинаковыми массами   (рис. 1.9). Момент инерции вала  .  Массой нити и трением в оси блока пренебречь. Найти ускорение   и   грузов.

36.          К краю стола прикреплен блок, представляющий собой однородный диск. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением   м/с2.

37.          Нить с привязанными к ее концам грузами массами   и   перекинута через блок, представляющий собой однородный диск диаметром   см. Определить момент инерции блока I, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение   рад/с2. Трением оси блока и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

38.          Однородный цилиндр массой   и радиусом   вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза массой  , прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти угол поворота цилиндра в зависимости от времени, если при  ,  .

39.          По горизонтальной плоскости катится однородный диск с начальной скоростью   м/с. Определить коэффициент трения между плоскостью и диском, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановится, пройдя путь   м.

40.          Блок, представляющий собой однородный диск массой   кг, вращается под действием сил натяжения легкой нерастяжимой нити, к концам которой подвешены грузы массами   кг и   кг. Определить силы натяжения   и   нити по обе стороны блока.

41.          Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой   см и циклической частотой    . Начальная фаза колебаний  . Найти зависимость от времени смещения  , скорости   и ускорения   точки. Чему равно ускорение   точки при смещении   см?

42.          Через какое минимальное время   после начала колебаний смещение колеблющейся материальной точки составит половину амплитуды. Период колебаний   с. Найти среднюю скорость точки за это время. Амплитуда колебаний   см,  .

43.          Частица совершает гармонические колебания вдоль оси Х из положения равновесия. Циклическая частота колебаний частицы   рад/с. Найти момент времени   после начала движения, когда частица первый раз окажется в точке с координатой   см, со скоростью   м/с.

44.          Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое минимальное время  , считая от начала колебания, его потенци-альная энергия станет равна кинетической, если масса маятника   г, а жесткость пружины   Н/м?

45.          Частица совершает колебания вдоль оси   по закону  . Найти путь, пройденный частицей за период, а также среднее значение скорости   и среднее значение ускорения   за первую четверть периода.

46.          Математический маятник массой   г колеблется по закону   . Найти максимальную силу  , действующую на маятник, и полную механическую энергию   маятника.

47.          Частица совершает гармонические колебания. Период колебаний   с, амплитуда   см. Найти скорость частицы   в момент времени, когда смещение частицы от положения равновесия   см.

48.          Частица совершает колебания вдоль оси   по закону  . Найти промежуток времени  , за который частица проходит путь от положения равновесия до максимального смещения. Чему равны промежутки времени   и  , за которые частица проходит первую и вторую половину этого пути.

49.          Материальная точка совершает гармонические колебания так, что в начальный момент времени ее смещение   см, а скорость   см/с. Определить амплитуду   и начальную фазу   колебаний точки, если ее период   с.

50. Шарик массой   г колеблется с периодом   с. В началь-ный момент времени смещение шарика   см и он обладает энергией   Дж. Найти смещение   шарика и возвращающую силу   в момент  .

51. Найти среднюю кинетическую энергию поступательного и враща-тельного движения одной молекулы гелия   при температуре  , а также ее среднюю квадратичную скорость.

52. Водород  находится при температуре  . Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также кинетическую энергию всех молекул газа, если количество вещества  .

53. Азот   находится при температуре  . Определить сред-нюю кинетическую энергию поступательного и вращательного движения одной молекулы, а также ее среднюю квадратичную скорость.

54. Определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа, масса которого   заключена в сосуде объемом   под давлением  .

55. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетиче-скую энергию поступательного движения молекулы кислорода  , находящегося при температуре  .

56. Определить среднюю кинетическую энергию молекулы водорода   и внутреннюю энергию 2 молей этого газа, если водород находится при температуре  .

57. Определить среднюю кинетическую энергию молекулы азота  , если ее средняя квадратичная скорость равна  .

58. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения, среднюю кинетическую энергию вращательного движения и среднюю квадратичную скорость молекулы водорода  , если температура газа   К.

59. Определить внутреннюю энергию 1 моля водорода   и среднюю кинетическую энергию  молекулы водорода, если газ находится при температуре  .

60. Найти среднюю квадратичную скорость молекулы азота  , если внутренняя энергия 3 молей газа   Дж.

61. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу   Дж?

62. Найти молярную массу газа, если при нагревании   кг этого газа на   изобарически требуется на   кДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.

63. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на   К, сообщив ему количество тепла   кДж. Найти приращение его внутренней энергии и величину  .

64. Водород   занимает объем   м3 при давлении   МПа. Его нагрели при постоянном объеме до давления   МПа. Определить изменение   внутренней энергии водорода, работу  , совершенную им, и теплоту  , сообщенную газу.

65. Кислород   нагревают при постоянном давлении  . Его объем увеличивается от   до  . Определить изменение   внутренней энергии кислорода, работу  , совершенную газом при расширении, а также теплоту  , сообщенную кислороду при нагревании.

66. Азот   массой   кг изотермически расширили при температуре  , при этом его объем увеличился в 3 раза. Определить изменение   внутренней энергии азота, совершенную при расширении газа работу  , количество теплоты  , полученное газом.

67. Кислород   массой  , занимающий объем   при давлении  , нагревают при постоянном давлении до объема  , а затем нагревают при неизменном объеме до давления   . Найти изменение внутренней энергии   кислорода, совер-шенную газом работу   и теплоту  , переданную газу.

68. Два моля водорода   при температуре   изотермически расширили, сообщив ему теплоту  . Во сколько раз увеличится объем водорода?

69. Азот   массой   изобарно нагревают от температуры   до температуры  . Определить изменение внутренней энергии азота  , работу  , совершенную газом, и полученную им теплоту   в этом процессе.

70. Два моля идеального двухатомного газа при температуре   охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в 2 раза. Затем газ изобарически  расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равна первоначальной. Найти количество тепла, поглощенное газом в данном процессе.

71. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в   раза больше температуры холодильника. Какая доля   количества теплоты, полученного за один цикл от нагревателя, передается холодильнику?

72. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту  . Определить работу газа, если температура нагревателя   в 2 раза выше температуры холодильника  .

73. Идеальный газ совершает цикл Карно. Определить температуру холодильника   и КПД цикла, если теплота, полученная газом за цикл, в 4 раза больше совершенной им работы. Температура нагревателя  .

74. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя  , температура холодильника  . Определить КПД цикла, а также работу газа при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа  .

75. Идеальный газ совершает цикл Карно. Определить температуру   нагревателя, если за один цикл газ отдает холодильнику  , а при температуре холодильника   работа цикла  .

76. Идеальный газ совершает цикл Карно при температуре холодильника   и нагревателя  . Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя возрастает до 500 К?

77. Идеальный газ совершает цикл Карно при температуре холодильника   и нагревателя  . Во сколько раз уменьшится КПД цикла, если температура холодильника увеличится до 350 К?

78. Определить работу изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, если работа изотермического расширения  , а КПД цикла  .

79. Тепловой двигатель работает по циклу Карно. За цикл двигатель совершает работу   и 70 % теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Найти КПД цикла и количество теплоты  , полученной двигателем от нагревателя.

80. Тепловой двигатель работает по циклу Карно. Температура нагревателя  . Определить КПД цикла и температуру   холодильника, если за счет   теплоты, получаемой от нагревателя, двигатель совершает работу  .

 

2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

(Основные формулы)

 

2.1. Электростатическое поле в вакууме

 

Закон Кулона в скалярном виде:

 ,

где F – модуль силы взаимодействия между точечными зарядами q и  ;  ;   –  электрическая постоянная;  – точечный заряд, создающий электростатическое поле;  – точечный заряд, внесенный в электростатическое поле;  – расстояние между зарядами  и  .

Напряженность электростатического поля

 ,

где   – сила, действующая на точечный заряд  , внесенный в данную точку поля с радиусом-вектором  .

Потенциал электростатического поля

 ,

где   – потенциальная энергия точечного заряда  , помещенного в дан-ную точку поля.

Напряженность и потенциал поля точечного заряда  :

 ;

 .

Принцип суперпозиции полей:

 ;

 ,

где   – напряженность поля i-того заряда системы в рассматриваемой точке, создаваемого им в отдельности;   – напряженность поля, создаваемого системой зарядов в рассматриваемой точке.

Связь напряженности и потенциала электростатического поля:

 ,

где  .

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении то-чечного заряда   из точки 1 в точку 2, определяется формулой

 .

Работа сил электростатического поля через разность потенциалов   и  :

 ,

где   – потенциал поля в точке с радиусом-вектором   ;   – потенциал поля в точке с радиусом-вектором  .

Теорема о циркуляции вектора  :

 .

Теорема Гаусса:

 ,

  – суммарный заряд, охватываемый поверхностью  .

Линейная плотность заряда (в случае равномерного распределения заряда)

 ,

где l – длина нити, несущая заряд q.

Поверхностная плотность заряда (в случае равномерного распределения заряда)

 ,

где   – площадь поверхности, несущая заряд q.

Объемная плотность заряда (в случае равномерного распределения заряда)

 ,

где   – объем тела, несущий заряд q.

 

 

 

 

 

2.2. Постоянный ток

 

Сила тока

 ,

где   – заряд, перенесенный через поперечное сечение проводника за время  .

Для постоянного тока

 .

Плотность тока

 ,

где   – площадь поперечного сечения проводника.

Закон Ома для однородного участка цепи:

 ,

где   – сила тока;   – разность потенциалов (напряжение) на концах участка;   – электрическое сопротивление проводника.

Закон Ома для неоднородного участка цепи:

 ,

где   – электродвижущая сила (ЭДС), действующая на рассматриваемом участке цепи;   – внутреннее сопротивление источника тока.

Закон Ома для замкнутой цепи:

 .

Электрическое сопротивление однородного линейного проводника

 ,

где   – удельное электрическое сопротивление;   – длина проводника;   – площадь поперечного сечения проводника.

Первое правило Кирхгофа:

 .

Второе правило Кирхгофа:

 .

 

Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока:

 ,

где   – количество выделившейся теплоты при прохождении тока   по про-воднику за время  .

Работа тока

 .

Мощность тока

 .

Для последовательного соединения N проводников:

 ;

 ;

 .

Для параллельного соединения N проводников:

 ;

 ;

 .

Сила тока короткого замыкания

 ,

где r – внутреннее сопротивление источника тока;   – ЭДС источника тока.

КПД  источника тока  :

 ,

где U – напряжение на концах внешнего участка цепи;   – ЭДС источника тока.

Поскольку согласно закону Ома для однородного участка и полной цепи

  и  ,

то

 ,

где R – сопротивление внешней части цепи; r – внутреннее сопротивление ис-точника тока.

 

2.3. Магнитное поле в вакууме

 

Закон Био – Савара – Лапласа:

 ,

где  – индукция магнитного поля элемента тока  в рассматри-ваемой точке;   – вектор, проведенный от   к этой точке;  – магнитная постоянная.

Модуль вектора   определяется выражением

 ,

где   – угол между вектором   и направлением тока в элементе провода.

Если все   от различных элементов тока сонаправлены, то

 .

Закон Ампера:

 ,

где   – сила, действующая на элемент провода   с током I в магнитном поле с индукцией  .

Модуль силы Ампера

 ,

где   – угол между направлением   и  .

Если все  , действующие на различные элементы тока сонаправлены, то

 ,

где  – модуль силы Ампера.

Магнитный момент тонкого плоского контура с током

 ,

где   – единичный вектор нормали к плоскости контура, образующий правый винт с направлением тока; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь поверхности, ограниченной контуром.

Сила Лоренца

 ,

где   – электрическая составляющая силы Лоренца;   – маг-нитная составляющая силы Лоренца.

Модуль магнитной составляющей силы Лоренца

 ,

где   – угол между направлением скорости частицы   и направлением маг-нитного поля  .

Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора  ):

 ;

где   – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром (L).

Ток, текущий через поверхность  , можно представить через плот-ность тока j:

 ,

Поток вектора   через поверхность (S):

 ,

где   – угол между единичным вектором нормали   к поверхности   и вектором магнитной индукции  в данной точке поверхности.

Работа сил магнитного поля по перемещению замкнутого контура с то-ком в магнитном поле

 ,

где   и   – значения магнитного потока вектора   через ограниченную контуром поверхность в начальном и конечном положениях.

Потокосцепление (полный поток) через N одинаковых витков (солено-ид)  ;

где Ф – магнитный поток через один виток.

Закон Фарадея:

 ,

где   – электродвижущая сила индукции, возникающая в контуре при изменении потокосцепления.

 

2.4. Электромагнитные колебания

 

Дифференциальное уравнение гармонических электрических колебаний в идеальном колебательном контуре:

 ,

где   – изменение тока в контуре в единицу времени;   – заряд на об-кладках конденсатора.

Собственная циклическая частота колебаний контура

 ,

где L – индуктивность катушки; C – емкость конденсатора.

Формула Томсона:

  ,

где Т – период гармонических колебаний.

Закон изменения заряда   на обкладках конденсатора:

 ,

где   – заряд в момент времени t;   – амплитудный заряд;   – фаза колебаний;   – начальная фаза колебаний.

Закон изменения напряжения на конденсаторе

 ,

где   – амплитуда напряжения.

Закон изменения силы тока в катушке индуктивности:

 ,

где   – сила тока в момент времени t;   – амплитуда силы тока.

Дифференциальное уравнение затухающих электрических  колебаний в контуре:

 ,

где   – коэффициент затухания;  – ток.

Закон изменения заряда на обкладках конденсатора при затухающих колебаниях:

 ,

где   – частота затухающих колебаний контура.

Логарифмический декремент затухания

 .

Добротность контура

 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Примеры решения задач

 

Пример 2.1. По двум тонким длинным нитям равномерно распределен одинаковый заряд с линейной плотностью заряда  . Найти модуль напряженности электрического поля   в точке  , расположенной на пересечении нитей, на расстоянии   от ближайших концов нитей.

 

Дано:

                , 

                Решение. Поместим точку   в начало координат осей   и   (рис. 2.1). Обозначим стержень, располо-женный вдоль оси x,  цифрой 1, а стержень вдоль оси y – цифрой 2. Ближайшие концы стержней расположены от точки   на расстоянии  , противоположные концы уходят в бесконечность. На стержнях выделим элементы длиной   и  , несущие точечные заряды   и  . Эти заряды создадут в точке   напряженности   и  , модули которых равны

 

 

 

                                ,                             (1)

 .                             (2)

Проинтегрируем выражения (1) и (2) в пределах от   до  , получим

 ,                                             (3)

 .                                             (4)

 

По принципу суперпозиции полей напряженность поля  , создаваемого нитями  в точке  , может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей   и  , создаваемых каждым заряженным телом (в нашем случае нитями) в отдельности, т. е.

 ,                                                                                            (5)

где   и  .

Тогда

 .                                                                            (6)

Модуль напряженности поля   равен

 .                                             (7)

Ответ:  .

 

Пример 2.2. Шар радиусом   равномерно заряжен по объему зарядом  . Найти напряженности поля в точках, отстоящих от центра шара на расстояниях   и  .

 

Дано:

 

 

 

 

                Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Будем решать задачу по теореме Гаусса:

                                                                .                                                                            (1)

Поток вектора   напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность   равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью и деленной на  .

В нашей задаче надо рассмотреть два случая: 1)   и 2)  .

1.            Рассмотрим случай  .

 ,                             (2)

Здесь учтено, что поскольку  , то   и в каждой точке сферы   модуль напряженности одинаков.

Так как шар заряжен равномерно, то его объемная плотность в каждой точке одинакова и

  или  ,

где   – заряд шара, ограниченный сферой радиусом  ;   – объем сферы радиусом  .

 .                                                            (3)

Подставим (2) и (3) в (1):

    ,

    .                                                                                         (4)

2. Рассмотрим случай  .

Как и в первом случае  :

 .                                             (5)

Так как внутрь сферы   входит весь заряд шара  , то в соответствии с теоремой Гаусса (1)

 ,

откуда

       .                                                                                      (6)

Произведем вычисления:

 ;

 .

 

Ответ:  ;  .

 

Пример 2.3. Тонкое полукольцо радиусом   см заряжено равномерно зарядом  . Найти модуль напряженности электрического поля   и потенциал   в центре кривизны этого полукольца.

 

Дано:

 

 

                Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны полукольца. На полукольце выделим элемент длиной  , несущий точечный заряд  . Тогда  , где   – линейная плотность заряда.

 

  

 

Напряженность   поля, создаваемого зарядом  :

                                                 (1)

где   – вектор, направленный от   к точке 0, в которой вычисляется напря-женность.

Модуль вектора   с учетом, что  :

                      .                  (2)

Так как для равномерного распределения заряда по полукольцу

 ,

то

 .                                                                             (3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая, что  , получим

 .                                              (4)

Выразим вектор   через проекции   и  :

                                                                               (5)

Проинтегрируем (5) в пределах от 0 до  ,  подставив (4), получим

                                                               (6)

Напряженность   в точке 0:

 .                                                                            (7)

Из формулы (7) видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью  .

Модуль   равен

 .                                             (8)

Найдем потенциал электрического поля в точке 0.

Потенциал  , создаваемый точечным зарядом   в точке 0:

 .                                                            (9)

Интегрируя (9) от 0 до  , получаем

 .                                      (10)

Произведем вычисления по формулам (8) и (10):

 ;

 .

 

Ответ:  ;  .

 

Пример 2.4. Электрическое поле создано длинным цилиндром ра-диусом  , равномерно заряженным с линейной плотностью заряда  . Определить работу электростатического поля по перемещению точечного заряда   из точки, находящейся на расстоянии  , в точку, находящуюся на расстоянии   от поверхности цилиндра.

 

Дано:

 

 

 

 

 

                Решение. Работа по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 равна

                          .                        (1)

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и потенциалом:

 .

 

 

 

Для поля с осевой симметрией, ка-ким является поле цилиндра, это соотно-шение в проекции на радиальное направление дает следующее:

                             ,                      (2)

где   – напряженность поля на расстоя-нии  от оси цилиндра, создаваемого бесконечно длинным цилиндром. Эта напряженность равна

               .                        (3)

Из (2)

        .          (4)

Интегрируя уравнение (4), найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстоянии   и   от оси цилиндра:

 

или

                                          ,                                               (5)

где

                                                    и  .                                          (6)

Подставив (5) и (6) в (1), получим

                                             .                                (7)

Произведем вычисления:

 

             

 

Ответ:  .

 

Пример 2.5. В схеме, изображенной на рис. 2.5, сопротивление  ,  , ЭДС источника  , его внутреннее сопротивление  . Какой ток покажет амперметр? Сопротивление амперметра  .

Дано:

 

 

 

 

Решение. Амперметр покажет ток  , идущий через сопротивление  . Ток   в узле В разветвляется на   и  :

                             .                            (1)

Так как по условию  , то напряжения на  со-

 

 

 

 

противлениях   и   равны

 .                                                                                            (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что

        ,

откуда

           .                          (3)

Силу тока  найдем из закона Ома для полной цепи:

           ,                              (4)

где R – сопротивление внешней части це-пи; r – внутреннее сопротивление источ-ника.

Сопротивление внешней части цепи состоит из сопротивления   и  , соединенных параллельно, и поэтому

                                                          .                                                     (5)

Подставив (5) в (4), получим

                   (6)

Подставив (6) в (3), получим

                                   (7)

Произведем вычисления:

                       .

Решим задачу вторым способом по правилам Кирхгофа.

Для узла В на основании первого правила Кирхгофа

                                              .                                                    (8)

Рассмотрим контур   и   (см. рис. 2.5). Обходя контуры против часовой стрелки, на основании второго правила Кирхгофа составим уравнения:

 ,             (9)

 .             (10)

Подставив в уравнения (8), (9) и (10) числовые значения заданных величин, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

                                         

Из последнего уравнения (13) найдем   и подставим в (11).

Получим  , откуда  . Теперь подставим   и  в (12), получим

                                    или  ,

откуда  .

Ответ:  .

 

Пример 2.6. Спираль электрической плитки укоротили на 30 %. Во сколько раз изменилась при этом мощность тока в плитке?

 

Дано:

 

Решение. Обозначим через   мощность тока в плитке при длине спирали   и через   мощность тока в плитке при длине спирали  .   – изменение длины спирали. Мощность тока в элек-троплитке найдем по формуле

                                         ,                                  (1)

 

 

где   – напряжение в сети;   – сопротивление спирали, равное

                                                     .                                                       (2)

Здесь   – удельное сопротивление металла, из которого изготовлена спираль  электроплитки;   – площадь поперечного сечения спирали;   – длина спирали.

Для нашей задачи сопротивление спирали до ее укорочения

                                                    ,                                                       (3)

а сопротивление спирали после ее укорочения

                                                    .                                                     (4)

Найдем отношение мощности   к мощности  :

                                            .

Согласно условию  , откуда     или  , значит,  .

 

Ответ: мощность тока в укороченной спирали увеличивается в 1,43 раза.

 

Пример 2.7. По длинному проводу течет ток  . Определить магнитную индукцию   поля, создаваемого этим током в точке 0, находящейся на расстоянии   от провода.

 

Дано:

 

Решение. Считаем, что концы провода уходят в бесконечность. Для решения задачи воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био – Савара – Лапласа позволяет определить магнитную индукцию  , создаваемую элементом тока  :

 

 

 

 ,                         (1)

где  – вектор, проведенный от элемента проводника   к точке 0;   – магнитная постоянная;   – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (для вакуума  ).

Вектор   в точке 0 направлен за плоскость чертежа.

По принципу суперпозиции

               .                           (2)

Интегрирование ведется по длине проводника.

В нашем случае векторы   от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражение (2) можно переписать в скалярной форме:

                                                  ,                                                        (3)

 

где 

                                                     .                                                   (4)

В скалярном выражении закона Био – Савара – Лапласа угол   есть угол между элементом тока   и радиусом-вектором  .

Таким образом,    

                                                      .                                                 (5)

Выразим   через  . Для этого поместим длинный провод в систему координат  . Расстояние от начала координат до выбранного отрезка   обозначим через  . Тогда из треугольника на рис. 2.6  , где  , но   и, следовательно,  .

Тогда

                                            ,                                                   (6)

Из этого же треугольника

                                            .                                                    (7)

Подставим (6) и (7) в (4), заменив   на  :

                                   .

Таким образом выражение (5) можно представить в виде

                                           ,                                              (8)

где   и   – пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

                                           .                                    (9)

В нашей задаче  , а  , следовательно,

                                      .

Ответ:  .

 

Пример 2.8. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изобра-жено на рис. 2.7. Радиус R дуги окружности равен 15 см. Определить маг-нитную индукцию   поля, создаваемого током  , текущем по этому проводу в точке 0.

 

Дано:

 

 

Решение. Магнитную индукцию   в точке 0 найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей:

                          .

В нашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3) одним концом, уходящих в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиусом  .

 

 

 

Тогда

             ,             (1)

где   и   – магнитные индук-ции в точке 0, создаваемые током, те-кущим соответственно на первом, вто-ром и третьем участках провода.

Так как точка 0 лежит на оси провода 1, то  , и тогда

               .                   (2)

Векторы   и  сонаправлены и направлены перпендикулярно плоско-сти чертежа от нас (см. рис. 2.7). В этом случае векторную сумму можно заменить алгебраической, т. е.

            .                      (3)

Магнитную индукцию   в точке 0 создает половина кругового тока радиусом  . Она будет равна

                                                      .                                                    (4)

Магнитную индукцию   найдем, воспользовавшись соотношением (9) (из примера 2.7)             .

В нашем случае  ,  ,  .

Тогда

                                                     .                                                    (5)

Подставим (4) и (5) в (3):

                           .                               (6)

Произведем вычисления:

                                   .

Ответ:  .

 

Пример 2.9. По круглому бесконечно длинному проводнику радиусом   течет ток постоянной плотности  . Найти индукцию магнитного поля   как функцию расстояния от оси проводника. Построить график зависимости  .

 

Дано:

 

Решение. Силовые линии магнитного поля, созданные таким проводником с током, представляют собой концентрические окружности, охватывающие ось проводника внутри и снаружи. Магнитную индукцию   найдем, используя закон полного тока:

 

 

 

 

                        ,            (1)

где   – циркуляция магнитного поля   по замкнутому контуру  , совпадающему с силовой линией поля;    – поток вектора   через поверхность    ,   ограниченную  контуром    ;

  – магнитная постоянная; j – плотность тока; S – площадь, ограниченная выбранным контуром  .

1. Рассмотрим случай  .

Полагая, что  , и учитывая, что   совпадает с силовой линией поля, т. е.  ,  из (1) получаем

                                              ,                                                   (2)

откуда

                                                     .                                          (3)

2. Рассмотрим случай  .

Уравнение (1) для второго случая дает

                                                           .                                               (4)

Во втором случае площадь  , т. к. тока   вне провода нет. Отсю-да из (4)

 .                  (5)

Построим график зависимости  .

В области   зависимость   от   линейная, а в области   – гиперболическая.

 

Ответ: 

 

Пример 2.10. Длинный прямой провод с током   находится в одной плоскости с равносторонним треугольником, одна из сторон которого параллельна прямому проводу и находится от него на расстоянии b. Сторона треугольника а, ток текущий по треугольнику  . Найти силы, действующие на все стороны треугольника со стороны длинного прямого провода.

 

Дано:

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

Магнитное поле, созданное прямым бесконечно длинным проводом с током   определяется формулой

                                               ,                                                            (1)

где   – расстояние от провода с током   до выбранной точки треугольника (см. рис. 2.11).

Силы, действующие на все стороны треугольника, определим по закону Ампера

                            (2)

или в скалярном виде:

                     ,            (3)

где   – угол между вектором   и  .

В нашем  случае силовые линии   направлены перпендикулярно плоскости треугольника за чертеж, а все   для всех сторон треугольника перпендикулярны  , следовательно, силы  ,   и   в соответствии с (2) перпендикулярны сторонам треугольника, причем для любой стороны треугольника  :

                                     .                                                  (4)

Отсюда для сторон (1,2) и (2,3)

                              .                                     (5)

Представим   (см. рис. 2.11).

Тогда

                        .                     (6)

где   и   – пределы интегрирования.

                                  .                                (7)

Ответ:  ;  .

 

Пример 2.11. Квадратная проволочная рамка со стороной a и прямой проводник с постоянный током   лежат в одной плоскости. Сопротивление рамки  . Рамку повернули на 1800 вокруг оси  , отстоящей от проводника с током на расстоянии   (рис. 2.12). Найти количество электричества, протекшее в рамке.

 

Дано:

 

Решение. Магнитное поле   прямолинейного провода с током   направлено перпендикулярно площади рамки за чертеж.

При вращении рамки вокруг оси   в ней возникает индукционный ток.

Электрический заряд (количество электричества), который пройдет по рамке за время поворота ее на 1800, определим по формуле:

 

 

 

                 ,                      (1)

  где   – индукционный ток.

Индукционный ток можно определить по закону Ома для замкнутой цепи:

                    ,                                (2)

где   – ЭДС индукции, определяемая по закону Фарадея:

                  .                           (3)

Подставим (2) и (3) в (1), получим

                                       

                                                                                       .                        (4)

Проинтегрировав выражение (4) в пределах от 0 до   и от   до  , получим

                                                     

или

                                                          .                                                     (5)

Найдем   и  . Для этого воспользуемся формулой

                                             ,

где  , а единичный вектор   выберем в направлении поля  . Тогда при повороте рамки на угол 1800 вокруг оси    .

Учитывая, что   (заштрихован на рис. 2.12) и  , получаем

                  .              (6)

При повороте рамки на угол 1800 поток   через площадь рамки будет равен

                         , т. к.  .

Проинтегрируем это выражение с учетом пределов интегрирования

                                  .                              (7)

Подставим (6) и (7) в (5),  получим

                                                   .

Ответ:  .

 

Пример 2.12. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью   и катушки индуктивностью  . Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе  . Записать уравнение колебаний заряда, напряжения и силы тока в контуре как функций времени. Вычислить период колебаний. Начальная фаза  .

 

Дано:

 

 

 

 

Решение. Зависимость заряда   от времени:

                  .                           (1)

По формуле Томсона период колебаний   контура равен

                             .                        (2)

Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением

                                   .                    (3)

 ;  ;

 ;  

 

 

Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид

                                       ,

где   .

Уравнение колебаний тока в катушке индуктивности

                           ,                                 (4)

где  .

Произведем вычисления:

 ;

 ;

 ;

 ;

 .

 

Ответ:  ;  ,  ,  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Контрольная работа № 2

 

Табл. 2.1

 

Варианты           Номера задач

1             1             11           21           31           41           51           61           71

2             2             12           22           32           42           52           62           72

3             3             13           23           33           43           53           63           73

4             4             14           24           34           44           54           64           74

5             5             15           25           35           45           55           65           75

6             6             16           26           36           46           56           66           76

7             7             17           27           37           47           57           67           77

8             8             18           28           38           48           58           68           78

9             9             19           29           39           49           59           69           79

0             10           20           30           40           50           60           70           80

 

1. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды  . Какой отрицательный заряд   надо поместить в центр треугольника, чтобы система всех этих зарядов оказалась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым?

2. В трех вершинах квадрата со стороной a находятся одинаковые заряды +q. С какой силой F они будут действовать на отрицательный заряд  , помещенный в четвертую вершину?

3. Тонкий, бесконечно длинный стержень равномерно заряжен по всей длине с линейной плотностью заряда  . Найти модуль напряженности элек-трического поля в точке 0, находящейся на расстоянии a от стержня.

4. Тонкий, бесконечно длинный стержень, ограниченный с одной стороны, равномерно заряжен по всей длине с линейной плотностью заряда  . Определить модуль напряженности электрического поля в точке 0, лежащей на оси стержня на расстоянии a от его конца.

5. Тонкий стержень длиной l равномерно заряжен зарядом  . Найти модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от цента стержня до точки, лежащей на оси симметрии стержня, если  .

6. Тонкое проволочное кольцо радиусом R равномерно заряжено по всей длине с линейной плотностью заряда  . Найти модуль напряженности электрического поля на оси симметрии кольца, перпендикулярной его плоскости на расстоянии a от его центра.

7. Четверть тонкого кольца радиусом R равномерно заряжена зарядом q. Определить модуль напряженности электрического поля в точке 0, совпадающей с центром кольца.

8. Найти силу взаимодействия тонкого стержня длиной l, равномерно заряженного зарядом Q,  и точечного заряда q, находящегося на продолжении оси стержня, на расстоянии a от его ближайшего конца.

9. Найти силу взаимодействия тонкого, бесконечно длинного стержня равномерно заряженного с линейной плотностью заряда  ,  и тонкого стержня длиной l, равномерно заряженного по всей длине линейной плотностью заряда  . Стержень длины l расположен перпендикулярно бесконечно длинному стержню на расстоянии a от него.

10. Найти силу взаимодействия точечного заряда q и трети тонкого кольца радиусом R, равномерно заряженного зарядом Q, если точечный заряд помещен в центр кривизны кольца.

11. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ. Найти напряженность электрического поля как функцию расстояния r от  центра шара. Построить график зависимости  .

12. Полый шар радиусами   и   равномерно заряжен зарядом +q. Найти напряженность электрического поля как функцию расстояния r от  центра шара. Построить график зависимости  .

13. Два точечных заряда   мкКл и   мкКл находятся на рас-стоянии   см друг от друга. Найти разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 1 находится посередине на прямой соединяющей заряды, а точки 2 – на перпендикуляре от точки 1 на расстоянии   см от нее.

14. По 1/6 дуге окружности равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда   Кл/м. Найти потенциал в центре кривизны этой дуги.

15. Сфера радиусом   см равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда   Кл/м2. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда   мкКл из точки, находящейся на расстоянии    см от поверхности сферы, в точку, находящуюся на расстоянии   см от поверхности сферы.

16. По тонкому стержню длиной l равномерно распределен заряд с ли-нейной плотностью заряда   Кл/м. Найти разность потенциалов точек 1 и 2, лежащих на продолжении оси стержня на расстояниях 2l и 3l от центра стержня.

17. Определить напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x и y по закону  .

18. Тонкое кольцо радиусом   см имеет заряд   мкКл, распределенный по кольцу. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда   мкКл из центра кольца в точку, находящуюся на оси кольца перпендикулярной плоскости кольца на расстоянии l = 50 см от его центра.

19. Определить напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x и y по закону  .

20. Две концентрические проводящие сферы радиусами   и   несут соответственно заряды   и  .Найти напряженность электрического поля этих сфер как функцию расстояния r от их общего центра. Построить график зависимости  .

21. Два источника тока с   В и   В соединены одинаковыми полюсами. Вольтметр, подключенный к клеммам батареи, показывает 1,7 В. Определить отношение внутренних сопротивлений источников  . Током в вольтметре пренебречь.

22. Определить силу тока короткого замыкания  гальванического элемента, если при внешнем сопротивлении   Ом сила тока в цепи  A, а при сопротивлении   Ом сила тока   А.

23. ЭДС источника тока   В. При силе тока в цепи   A КПД ис-точника   %. Определить внутреннее сопротивление r источника.

24. ЭДС батареи   В, внутреннее сопротивление   Ом. Внешняя цепь потребляет мощность   Вт. Определить силу тока в цепи, напряжение на концах внешней цепи и ее сопротивление.

25. Аккумулятор при силе тока 8 А отдает во внешнюю цепь мощность  15 Вт, а при силе тока 5А – мощность 10 Вт. Найти ЭДС аккумулятора, его внутреннее сопротивление и ток короткого замыкания.

26. Сила тока в проводнике сопротивлением   Ом за время   с равномерно нарастает от   A до   A. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

27. Батарея состоит из   одинаковых источников тока с   В и внутренним сопротивлением   Ом каждый, соединенных параллельно. Какова максимальная мощность тока Pmax, потребляемая внешним участком цепи?

28. К источнику тока подключен реостат. При сопротивлении реостата   Ом и   Ом источник тока отдает во внешнюю цепь одинаковую мощность. Определить внутреннее сопротивление источника тока.

29. При двух различных сопротивлениях нагрузки отношение напряжений на зажимах источника тока равно 5, а полезная мощность в обоих случаях равна 25 Вт. Определить силу тока короткого замыкания, если ЭДС источника равно 25 В.

30. Определить количество Q, выделившегося за время   с в проводнике сопротивлением   Ом, если сила тока в нем равномерно уменьшилась от   A до  .

31. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид квадрата со стороной а, при токе в контуре I.

32. Ток   течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 2.13, а). Радиус изогнутой части проводника R, угол 2 . Найти магнитную индукцию в точке 0.

33. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током   имеет вид, показанный на (рис. 2.13, б) Радиус закругления R. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

34. Определить индукцию магнитного поля в точке, если проводник с током I имеет вид, показанный на (рис. 2.13, в) Радиус изогнутой части проводника R. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током   имеет вид, показанный на (рис. 2.14, а). Параметры проводника указаны на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током I имеет вид, показанный на (рис.  2.14,  б). Радиус изогнутой части проводника R. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

37. Длинный провод с током   изогнут под углом 2π/3 (рис. 2.14,  в). Определить индукцию магнитного поля в точке 0, находящейся на расстоянии d от изгиба проводника. Прямолинейные участки проводника бесконечно длинные.

38. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током I имеет вид, показанный на (рис. 2.15,  а). Параметры проводника указаны на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током   имеет вид, показанный на (рис. 2.15,  б). Параметры проводника указаны на рисунке.

40. Определить индукцию магнитного поля в точке 0, если проводник с током   имеет вид, показанный на (рис. 2.15,  в). Параметры проводника указаны на рисунке.

41. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов   В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией   Тл и начал двигаться по окружности. Найти радиус R окружности.

42. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией   Тл, стал двигаться по окружности радиусом   см. Определить магнитный момент   эквивалентного кругового тока.

43. Частица с зарядом   прошла ускоряющую разность потенциалов   B и влетела в область пространства, где действуют взаимно перпендикулярные электрическое   В/м и магнитное   Тл поля. Скорость частицы постоянна и перпендикулярна   и  . Найти отношение   для частицы.

44. Тонкое проводящее кольцо с током   A помещено в однородное магнитное поле с индукцией   мТл. Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной  индукции. Радиус кольца   см. Найти силу F, растягивающую кольцо.

45. Электрон, попав в магнитное поле с индукцией   Тл, стал двигаться по окружности радиусом   см. Определить кинетическую энергию электрона.

46. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи   А. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее стороне.

47. Протон движется по окружности радиусом   см в однородном магнитном поле с индукцией   мТл. Найти скорость и период обращения протона.

48. Найти силу, действующую на тонкий проводник в виде полуокружности радиусом   см, по которому течет ток   А, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией   Тл. Силовые линии   перпендикулярны плоскости проводника.

49. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током   А в точке 0, если проводник изогнут, как показано на (рис. 2.16,  а). Радиус закругления   см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током   А в точке 0, если проводник изогнут, как показано на (рис. 2.16,   б). Расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника   см.

51. Найти индукцию магнитного поля на оси бесконечно длинного соленоида, по которому идет ток  . Плотность витков  .

52. По бесконечно длинному проводнику радиусом R идет ток, плотность которого   где   – положительная постоянная;   – расстояние до оси проводника. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния   от оси  проводника.

 53. По бесконечно длинному проводнику радиусом R идет ток, плотность которого   где   – положительная постоянная;   – расстояние до оси проводника. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния   от оси проводника.

54. По длинной трубе, внутренний и внешний радиусы которой   и  , идет ток, плотность которого  , где   – положительная постоянная;   – расстоянии до оси трубы. Найти магнитную индукцию как функцию расстояния   от оси трубы.

55.Тонкое кольцо радиусом   см равномерно заряжено зарядом   мКл. Кольцо вращается с угловой скоростью   рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца. Найти магнитный момент  , обусловленный вращением кольца.

56. Полный магнитный поток, пронизывающий соленоид длиной   см,  равен   мкВб. Найти магнитный момент соленоида.

57. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если ра-диус витка   мм и индукция магнитного поля в его центре   мкТл.

58. Квадратный контур со стороной   см расположен в одно-родном магнитном поле с индукцией   Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. По контуру течет ток   А. Определить работу сил поля при повороте контура вокруг оси, лежащей в плоскости контура на угол  .

59. Квадратный контур со стороной  а = 10 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией   Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. По контуру течет ток   А. Определить работу сил поля по удалению контура за пределы поля.

60. Плоскость кругового витка с током   А расположена перпендикулярно линиям магнитной  индукции. Радиус витка 10 см. Определить работу сил поля при повороте витка на угол   вокруг оси, совпадающей с диаметром.

61. Контур находится в однородном магнитном поле с индукцией   (рис. 2.17,   а). Верхнюю часть контура – провод в виде полуокружности ра-диусом   вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси  . В мо-мент   магнитный поток через контур максимальный. Найти ЭДС  индук-ции в контуре как функцию времени t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62. Длинный прямой проводник с током   и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис. 2.17, б). Перемычку, длина которой  , перемещают вправо с постоянной скоростью  . Найти ЭДС  индукции в контуре как функцию расстояния r .

63. Квадратная рамка со стороной a и длинный прямой провод с током   находятся в одной плоскости (рис. 2.17,  в). Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью  . Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстояния x .

64. По двум гладким медным шинам, установленным под углом   к го-ризонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой   (рис. 2.18, а). Шины замкнуты на сопротивление  . Расстояние между ши-нами  . Система находится в однородном магнитном поле с индукцией  , перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопро-тивлением шин и перемычки пренебречь. Найти установившуюся скорость перемычки.

65. Система отличается от рассмотренной в задаче 64 лишь тем, что вместо сопротивления   к концам шин подключен конденсатор емкостью  . Найти ускорение перемычки.

66. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки   мм2, число витков  . При повороте катушки на 1800 вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд   мкКл. Найти модуль индукции магнитного поля между полюсами, если сопротивление электрической цепи   Ом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67. На расстояниях   и   от длинного прямого проводника с постоян-ным током   расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением   (рис. 2.18, б). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью   перемычку. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти значение и направление индукционного тока в контуре.

68. Плоский контур (рис. 2.18,  в), имеющий вид двух квадратов со сто-ронами   см и   см, находится в однородном магнитном поле, пер-пендикулярном к его плоскости. Индукция поля меняется во времени по закону  где   мТл и  . Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы длины его   мОм/м.

69. Внутри длинного соленоида находится катушка из   витков с пло-щадью поперечного сечения  . Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью   вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной к оси соленоида. Найти ЭДС индукции в катушке, если индукция магнитного поля в соленоиде меняется по закону   и в момент   ось катушки совпадает с осью соленоида.

70. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением R изменяется в течение времени   по закону  . Найти количество те-пла, выделенное в контуре за это время.

71. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Катушка содержит   витков медной проволоки диаметром   мм. Диаметр витка катушки   см, индуктивность катушки  . Определить добротность колебательного контура при частоте колебаний   МГц (удельное сопротивление меди  ).

72. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емко-стью   мкФ, наступает при частоте   Гц. Когда параллельно кон-денсатору   подключают конденсатор  , резонансная частота становится   Гц. Найти емкость конденсатора  .

73. Идеальный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора в виде двух квадратных пластин со стороной  , расположенных на расстоянии   друг от друга. Диэлектрик между обкладками имеет диэлектрическую проницаемость  . Катушка содержит   витков на единицу длины, диаметр витка  , длина катушки  . Найти период колебаний   в этом контуре.

74. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью   пФ и катушки индуктивности. Закон колебаний заряда на его обкладках имеет вид   Записать закон колебаний силы тока   и напряжения   Найти индуктивность катушки  , а также амплитудные значения заряда, силы тока и напряжения.

75. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью   мкФ и катушки индуктивностью   Гн. Найти логарифмический декремент затухания, при котором напряжение на обкладках конденсатора уменьшится в 2 раза за  .

76. Через какое время  , считая от начала колебаний, заряд на обкладках конденсатора   станет равен половине амплитудного заряда  ? Частота колебаний в контуре   МГц.

77. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью   мкФ и катушки индуктивностью   мГн. Активное сопротивление катушки   Ом. Определить логарифмический декремент затухания контура.

78. Найти промежуток времени τ, за который амплитуда колебаний силы тока в контуре с добротностью   уменьшается в 2 раза, если частота свободных колебаний   МГц.

79. Найти добротность колебательного контура с емкостью   мкФ, индуктивностью   мГн и активным сопротивлением   Ом.

80. Ток в колебательном контуре зависит от времени, как  , где   мА,  . Емкость конденсатора   мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент  .

 

 

. Контрольная работа № 3

 

Табл. 3.1

 

Варианты           Номера задач

1             1             11           21           31           41           51           61           71

2             2             12           22           32           42           52           62           72

3             3             13           23           33           43           53           63           73

4             4             14           24           34           44           54           64           74

5             5             15           25           35           45           55           65           75

6             6             16           26           36           46           56           66           76

7             7             17           27           37           47           57           67           77

8             8             18           28           38           48           58           68           78

9             9             19           29           39           49           59           69           79

0             10           20           30           40           50           60           70           80

 

1. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно  . Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной  1 см укладывается  10 темных интерференционных полос. Длина волны   = 0,68 мкм.

2. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними интерфе-ренционными полосами на экране в опыте Юнга, если фиолетовый свето-фильтр ( = м) заменить на красный ( = м)?

3. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом длиной волны   =  м, расстояние между отверстиями 1 мм и расстояние от отверстия до экрана 2,5 м. Найти положение первых трех светлых полос.

4. На мыльную пленку падает белый свет под углом 30°. При  какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в зеленый свет  ( =  м)? Показатель преломления мыльной пленки  .

5. На стеклянный клин падает нормально монохроматический свет с длиной волны   =  м. Угол между гранями клина равен 30′′. Какое число темных интерференционных  полос наблюдается на отрезке клина длиной   1 см? Показатель преломления стекла  .

6. Монохроматический свет с длиной волны   = 0,65 мкм падает нор-мально на стеклянный клин. В отраженном свете расстояние между соседними интерференционными максимумами на поверхности клина 0,2 мм. Определить угол   между гранями клина. Показатель преломления стекла  .

7. В установке для наблюдения колец Ньютона поверхность линзы освещается нормально падающим монохроматическим светом. В проходящем свете радиусы соседних темных колец равны соответственно 3,5 и 4,0 мм. Радиус кривизны линзы равен 7 м. Найти порядковые номера колец и длину волны падающего света.

8. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим белым светом. Найти радиус третьего синего кольца (  = м) и радиус четвертого красного кольца   в проходящем свете. Радиус кривизны линзы равен 5 м.

9. Расстояние между пятым и пятнадцатым светлыми кольцами Ньютона в отраженном свете равно 4 мм. Радиус кривизны линзы 10 м. Найти длину волны монохроматического света, падающего нормально на установку.

10. В установке для наблюдения колец Ньютона поверхность линзы освещается нормально падающим монохроматическим светом. После того как пространство между линзой и стеклянной пластиной заполнили жидкостью, радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,5 раза. Найти показатель преломления жидкости.

11. На диафрагму с круглым отверстием падает сферическая волна  . Расстояние от источника света до диафрагмы составляет 1,5 м и равно расстоянию от диафрагмы до экрана. При каком минимальном радиусе отверстия в центре дифракционной картины на экране будет наблюдаться темное пятно?

12. Вычислить радиусы первой, третьей и пятой зон Френеля, если расстояние от источника до диафрагмы с круглым отверстием равно 1 м, что составляет 0,75 расстояния от отверстия до экрана. Длина волны падающего света  .

13. Сферическая волна   падает на диафрагму с круглым отверстием. Диаметр отверстия 5 мм. Расстояние между источниками света и диафрагмой, диафрагмой и экраном одинаковые и равны 2 м. Сколько зон Френеля укладывается в отверстие диафрагмы? Изменится ли число зон Френеля, если оба расстояния увеличить в 2 раза?

14. На диафрагму с узкой щелью падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны  . Ширина щели равна 5 . Под какими углами будут наблюдаться  первых три дифракционных максимума света на экране?

15. На диафрагму с узкой щелью шириной  м падает нормально параллельный пучок света с длиной волны  . Найти угловую ширину главного дифракционного максимума.

16. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Синяя линия   видна в спектре четвертого порядка под углом  . Какая линия видна в спектре третьего порядка под этим углом?

17. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Постоянная дифракционной решетки в 5 раз больше длины световой волны. Найти число m дифракционных максимумов, которые можно наблюдать с помощью этой решетки.

18. На дифракционную решетку, содержащую   штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Угловое расстояние между максимумами  второго порядка равно  . Найти длину волны падающего света.

19. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если число m дифракционных максимумов, которые может дать эта решетка, равно 9, а длина волны монохроматического света, падающего на решетку, равна 0,6 мкм.

20. Найти наибольший порядок спектра для красной линии гелия   , если решетка имеет 100 штрихов на 1 мм.

21. Узкий пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения света на стекло 50º, угол преломления 35º. При каком угле падения пучок света, отраженный от границы раздела этих сред, будет максимально поляризован?

22. Пучок света падает на стеклянную пластину, погруженную в жид-кость. Угол между отраженным и падающим пучком составляет 92º. Отраженный пучок света максимально поляризован. Определить показатель преломления жидкости.

23. Пучок света переходит из глицерина в стекло. Определить угол Брюстера для этих сред.

24. Пучок света падает на некоторое вещество из воздуха. Предельный угол полного внутреннего отражения света от этого вещества равен 48º. Чему равен угол Брюстера?

25. Пучок света падает на стеклянную пластину, нижняя поверхность которой находится в воде. При каком угле падения на границу раздела стекло – вода отраженный луч будет максимально поляризован?

26. Естественный свет падает на систему из двух поляризаторов, плоскости пропускания которых образуют между собой угол 50º. Коэффици-ент поглощения   каждого поляризатора равен 20 %. Во сколько раз интенсивность света, вышедшего из второго поляризатора, меньше интенсивности падающего на систему света?

27. Естественный свет, проходя через систему из двух одинаковых поляризаторов, ослабляется в 4 раза. Коэффициент пропускания поляриза-торов  . Найти угол между плоскостями пропускания поляризаторов.

28. Естественный свет, проходя через систему из двух одинаковых поляризаторов, ослабляется в 5 раз. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов составляет 30º. Определить коэффициент поглощения поляризаторов  .

29. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляризаторов, причем плоскость пропускания среднего поляризатора составляет угол 60º с плоскостями пропускания двух других поляризаторов. Коэффициент пропускания каждого поляризатора   . Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?

30. Чему должен быть равен угол между плоскостями пропускания первого и второго поляризаторов, чтобы интенсивность света, вышедшего из второго поляризатора, оказалась в 4 раза меньше интенсивности естественного света? Потерями на поглощение света пренебречь.

31. Поток электромагнитной энергии, излучаемый из смотрового окошка плавильной печи,  , площадь окошка   = 5 см . Чему равна температура печи?

32. Длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности Солнца,  . Диаметр Солнца   =  м. Какую энергию излучает Солнце за счет теплового излучения за   = 100 лет? Солнце считать абсолютно черным телом.

33. Длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности Солнца,  . Радиус Солнца   м. Найти изменение массы Солнца   за счет теплового излучения за   = 10 лет. Солнце считать абсолютно черным телом.

34. Мощность электромагнитного излучения абсолютно черного тела равна 20 Квт. Найти площадь излучающей поверхности тела, если известно, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности этого тела, равна   м.

35. С раскаленного металлического тела площадью поверхности 20 см  излучается в одну минуту электромагнитная  энергия равная   Дж. Считая поверхность абсолютно черной, найти температуру этого тела.

36. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности, изменилась от 0,6 до 0,45 мкм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

37. Абсолютно черное тело находится при температуре   = 3000 К. В результате остывания этого тела длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности, изменилась на   = 10 мкм. До какой температуры   охладилось тело?

38. Считая Солнце абсолютно черным телом, найти массу, теряемую Солнцем за счет теплового излучения за год. Температуру поверхности Солнца принять равной 5800 К. За какое время масса Солнца уменьшится на 10 % за счет этого излучения?

39. Температура абсолютно черного тела изменилась при нагревании от  до 2500 К. Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость. На сколько изменилась при этом длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности этого тела?

40. Считая Солнце абсолютно черным телом, найти количество энергии, которое оно излучает за 1 мин. Температуру поверхности Солнца принять равной 5800 К.

41. Красная  граница  фотоэффекта  для  металла   .   Найти

величину задерживающего напряжения   для фотоэлектронов при освеще-нии металла светом с длиной волны   = 330 нм.

42. На вольфрамовый катод фотоэлемента падают ультрафиолетовые лучи с длиной волны   = 0,1 мкм. При каком задерживающем напряжении между катодом и анодом фотоэлемента фототок в цепи равен нулю? Работа выхода электронов из вольфрама   = 4,5 эВ.

43. Определить постоянную Планка  , если известно, что фотоэлектроны, выбиваемые светом с поверхности некоторого металла, полностью задерживаются задерживающим напряжением   при частоте света  , а когда частота света  , то задерживающее напряжение равно  .

44. Какую длину волны   имеют световые волны, падающие на поверхность цезия, если фотоэлектроны, вылетающие из цезия, имеют скорость  ? Красная граница фотоэффекта для цезия   = 690 нм.

45. Построить график зависимости скорости фотоэлектронов   от длины волны  , падающей на металл, если работа выхода электронов из этого металла   = 2,35 эВ. Из графика найти красную границу фотоэффекта   для этого металла.

46. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн   = 0,35 мкм и   = 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в 2 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

47. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 275 нм. Чему равно минимальное значение энергии фотона, вызывающего фотоэффект?

48. При фотоэффекте с платиновой поверхности величина задерживаю-щего напряжения равна 0,8 В. Найти длину волны падающего света, а также максимальную длину волны, при которой еще возможен фотоэффект. Работа выхода электронов из платины   = 5,29 эВ.

49. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 275 нм. Найти: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых с поверхности этого металла светом с длиной волны 180 нм; 3) максимальную кинетическую энергию этих элек-тронов.

50. Какая доля энергии фотона израсходована на работу выхода фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта   = 330 нм, максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна 2,4 эВ?

51. Вычислить дебройлевские длины волн электрона и протона, имеющих кинетическую энергию 100 эВ.

52. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?

53. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой  , где   – ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.

54. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером  .

55. Электрон с кинетической энергией   эВ локализован в области размером   = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

56. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину L одномерной прямоугольной потенциальной ямы, в которой минимальная энергия электрона  .

57. Альфа-частица находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину L ямы, если известно, что минимальная энергия   -частицы  .

58. Найти наименьшую и набольшую длины волн спектральных линий атома водорода в видимой области спектра (серия Бальмера).

59. Найти период обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость.

60. Найти полную энергию Е и скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода.

61. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   находится в возбужденном состоянии (  = 2). Найти вероятность нахождения частицы в области  .

62. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   находится в основном состоянии. Найти вероятность нахождения частицы в области  .

63. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   находится в возбужденном состоянии (  = 3). Найти вероятность нахождения частицы в области  .

64. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   находится в основном состоянии. Во сколько раз отличаются вероятности нахождения частицы в первой трети и в первой четверти ямы?

65. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной  . В каких точках ямы плотности вероятности нахождения частицы на первом и втором энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотности вероятности нахождения частицы в этих точках.

66. Частица в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   находится в возбужденном состоянии (  = 4). Определить, в каких точках интервала  плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значение.

67. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной  . В каких точках ямы плотности вероятности нахождения частицы на втором и третьем энергетическом уровнях одинаковы? Вычислить плотности вероятности в этих точках.

68. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной  . Найти число уровней на единичный интервал энергий в зависимости от  . Вычислить   для энергии   при  .

69. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме. Найти ширину ямы, если разность энергий между уровнями электрона   = 2 и   = 3 составляет   эВ.

70. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной   в возбужденном состоянии (  = 4). Найти вероятность нахождения частицы  в области  .

71. Активность радиоизотопа уменьшается в 2,5 раза за 7 суток. Найти его период полураспада.

72. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного изотопа, если его активность уменьшается на 4 % за час.

73. Сколько процентов радиоактивных ядер кобальта останется через  , если период полураспада кобальта   = 5,2 года?

74. На сколько процентов уменьшится активность изотопа иридия за время   = 20 суток? Период полураспада иридия T = 75 суток.

75. Определить число ядер, распадающихся в течение времени:   ; 2)   = 10 суток в радиоактивном изотопе фосфора массой   . Период полураспада фосфора T  = 14,3 суток.

76. Во сколько раз уменьшится активность изотопа фосфора через  ? Период полураспада фосфора T = 14,3 суток.

77. Активность радиоактивного вещества уменьшается в 4 раза за  . Найти период полураспада этого вещества.

78. Какая доля радиоактивных ядер некоторого химического элемента распадается за время  , равное половине периода полураспада этого элемента?

79. Из каждого миллиона изотопов некоторого радиоактивного вещества каждую секунду распадается 200 изотопов. Определить период полураспада этого изотопа.

80. Сколько атомов радиоактивного радона распадается за сутки из 1 миллиона атомов? Период полураспада радона   = 3,82 суток.