Контрольная работа

Контрольная работа предусмотрена только для студентов заочной формы обучения. Для каждой контрольной работы приведено тридцать вариантов заданий. Студент должен выполнить вариант, номер которого совпадает с двумя  последними цифрами номера его зачетной книжки. Если номер книжки превышает 30, то из него нужно вычесть 30, и т.д. В начале работы следует привести полностью задание и исходные данные, а в конце – список используемой литературы.

Оформляется контрольная работа в ученической тетради рукописным способом, либо печатается на компьютере на стандартных листах формата А4. Графики выполняются с соблюдением требований ЕСКД и следуют по ходу изложения текстового и расчетного материала. Работа предоставляется в деканат не менее, чем за пятнадцать дней до начала экзаменационной сессии. Неряшливо оформленные работы могут быть возвращены студенту без рецензирования. В случае существенных замечаний работа отправляется на доработку. Если замечаний нет, а также при несущественных замечаниях, работа допускается к защите.

Расчеты в контрольной работе частично выполнять вручную, используя асимптотические ЛАХ, частично с использованием пакета Matlab. В дополнительных файлах излагаются некоторые способы и методы расчёта систем автоматического управления с помощью пакета Matlab.

Исходные данные к контрольной работе

Структурная схема линейной САУ представлена на рисунке 1, где соответствующие передаточные функции имеют вид апериодических звеньев:

; ; .

Параметры Т₁, Т₂, Т₃, K₁, K₃ для каждого варианта задания представлены в таблице 2. Величина коэффициента  выбирается далее из условия устойчивости.

Рисунок 1

Варианты задания приведены в таблице 2.

Таблица 2

Задание

1. Найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы:  при ,  (т.е. разомкнута главная обратная связь); при  - главная передаточная функция замкнутой системы;  при  - передаточная функция замкнутой системы по ошибке;  при  - передаточная функция замкнутой системы по возмущению. Параметры ,  входят в передаточные функции в общем виде, т.е. в буквенных символах.

2. Найти характеристическое уравнение замкнутой системы. Используя критерий Гурвица, записать в общем виде условия устойчивости. При заданных в таблице 2 параметрах , , , ,  найти максимальное граничное значение коэффициента передачи  при котором система еще устойчива. В дальнейшем полагать  для первых 30 вариантов, К2=0.3*К2гр для вторых 30 вариантов, К2=0.2*К2гр для третьих 30 вариантов.

3. Найти  командой feedback передаточные функции  замкнутой системы Wz_u – по управлению, Wz_f – по возмущению, Wz_e – по ошибке. Использовать представление объекта из 3-х звеньев и пререраспределять звенья между прямой цепью и цепью обратной связи в команде feedback в соответствии со структурной схемой, отражающей входы и выходы  замкнутого контура.

4. Найти аналитические выражения и построить графики:

 – амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы и построить графики командой nyquist – амплитудо-фазочастотная характеристика (АФЧХ);

Найти аналитические выражения  для  − логарифмических амплитудно- и фазо-частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы;

Построить вручную асимптотическую ЛАХ и вычислить приближёно запас по фазе вручную без использования функции арктангенс.

Построить графики командами bode – логарифмические амплитудо- и фазочастотные (ЛАХ) и margin – определение запасов устойчивости по фазе и модулю;

Построить графики  – амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) разомкнутой системы командой bodemag;

Построить графики командой  step – на ступенчатое воздействие:

h(t) – переходные характеристики замкнутой системы по управлению, hf(t) – переходные характеристики замкнутой системы по возмущению,

 he(t) – переходные характеристики замкнутой системы по ошибке;

5. Используя полученные и построенные характеристики, найти и оценить следующие показатели качества системы:

-  - статическую ошибку при подаче на ее входе единичного ступенчатого воздействия;

- частоту среза системы , запасы устойчивости системы по амплитуде  и фазе ;

- показатель колебательности системы ; командой [M,wm]=norm(sys,inf) – вычисляет max модуля частотной характеристики (показатель колебательности M) и соответствующую частоту wm.

- время регулирования  t_p и перерегулирование  по графику h(t).

6. Решить задачу коррекции неустойчивой системы с помощью обратной связи.

Для этого делаем контур управления заведомо неустойчивым за счёт увеличения коэффициента усиления контура выше граничного. Т.е. задаём К2=10*К2гр для первых 30 вариантов, К2=5*К2гр для вторых 30 вариантов, К2=3*К2гр для третьих 30 вариантов.

Собираем разомкнутый контур управления с завышенным коэфициентом усиления

W1=tf(K1,[T1 1])

W2=tf(K2,[T2 1])

W3=tf(K3,[T3 1])

obj = zpk(W1*W2*W3)

Вычисляем частоту среза wc неустойчивого контура управления объектом obj с завышенным коэффициентом К2 по новой ассимптотической ЛАХ или командой margin(obj).

figure; margin(obj); xlabel('kontur gibkoi OC'); pause(0);

Для коррекции разомкнутый объект obj охватываем Гибкой Обратной Связью, состоящей из последовательного соединения реального дифференцирующего и форсирующего звеньев.

Звенья задаём в Матлабе командами

dif_zveno = tf([2/wc 0],[.2/wc 1])

for_zveno = tf([1/wc 1],[.2/wc 1])

где wc - новое значение частоты среза для неустойчивого контура управления.

Соединяем последовательно дифференцирующее и форсирующее звено, образующие Гибкую Обратную Связь - gib_OC

gib_OC = dif_zveno* for_zveno

Убеждаемся в устойчивости контура гибкой обратной связи по ЛАХ разомкнутого контура

figure; margin(obj* gib_OC); xlabel('kontur gibkoi OC'); pause(0);

Замыкаем контур гибкой обратной связи командой

kon_goc_zam = feedback(obj, gib_OC)

Просматриваем на ЛАХ как обратной характеристикой обратной связи  (1/gib_OC) отсекается часть спектра объекта и получается ЛАХ замкнутого контура (  kon_goc_zam)

figure; bode(obj, 1/gib_OC,  kon_goc_zam);

legend('obj', '1/goc', 'zam.k.goc', 3); pause(0);

Так как замкнутый контур гибкой обратной связи подлежит замыканию жёсткой (единичной) обратной связью, т.е.

kon_joc_raz = kon_goc_zam

 то проверяем и его на устойчивость

figure; margin(kon_goc_zam);xlabel('kontur jostkoi OC');pause(0);

После чего замыкаем и второй контур

kon_joc_zam = feedback(kon_goc_zam, 1);

Рассматриваемая система статическая, и установившееся значение переходной характеристики  меньше единицы

ust_znach = dcgain(kon_joc_zam)

на величину статической ошибки по управлению.

Для вычисления показателя колебательности M замкнутой системы используем команду вычисления максимума АЧХ

[Ma,wm] = norm(kon_joc_zam, inf);

M = Ma/ ust_znach,

который в системе с гибкой обратной связью обычно равен единице.

         По графику переходной характеристики замкнутой системы

figure; step(kon_joc_zam); pause(0);

         легко вычислить перерегулирование и длительность переходной характеристики, которая будет близка к 5/wc или даже 4/wc при выбранных параметрах коррекции.

 Сопоставить эти числа с длительностью переходной характеристики для возможного использования их в качестве прогноза.

         7. Дискретная реализация коррекции. Всегда дискретному варианту должен предшествовать непрерывный. Ключевой вопрос трансформации непрерывного варианта в дискретный – выбор периода дискретизации  Ts достаточно малым, чтобы не отрезать (согласно теореме Котельникова) частоту среза контура и область к ней близлежащую. В рассматриваемом случае дискретный вариант очень близок к непрерывному при

Ts=0.2/wc;

Если при устойчивом непрерывном контуре дискретный контур управления окажется неустойчивым, период дискретизации Ts надо уменьшить.

Второй  по важности выбор метода экстраполяции при пересчёте в дискретный вариант корректирующего устройства. Для гибкой обратной связи подойдёт любой, кроме  ‘zoh’ – «фиксатора нулевого порядка», выбираемого Матлабом по умолчанию. Обычно используют  'tustin' – билинейное преобразование Тастина.

         При цифровой обработке сигналов контура гибкой и жёсткой обратных связей могут быть объединены в один контур без потери точности, т.е. соединяем параллельно гибкую и жёсткую обратные связи 

gj_OC = gib_OC +1.

Тогда объединённая обратная связь может быть вычислена  в виде дискретной передаточной функции

objed_oc=c2d(gib_OC +1, Ts, 'tustin')

или системы разностных уравнений первого порядка

objed_oc=c2d(ss(gib_OC) +1, Ts, 'tustin')

что более удобно для программирования и обеспечивает большую точность вычисления микропроцессором. Близость дискретной и непрерывной обратных связей следует обязательно проконтролировать на частотных характеристиках

figure;bode(objed_oc, gib_OC +1);

legend('objed_oc ', 'gib_OC +1', 3); pause(0);

         Для проведения расчётов в Матлабе без погружения в Симулинк, нужно получить дискретную модель объекта с «фиксатором нулевого порядка»

obj_d =c2d(obj, Ts),

убедиться в устойчивости контура с микроконтролером

figure; margin(obj_d* objed_oc); xlabel('kontur s diskretnoi objedinennoi OC'); pause(0);

замкнуть его объединённой обратной связью

kon_disk_zam =feedback (obj_d, objed_oc),

и убедиться по переходным характеристикам, что он получился достаточно близким к непрерывному контуру

figure; step(kon_disk_zam, kon_joc_zam);

legend(kon_disk_zam ', ' kon_joc_zam ', 4); pause(0);

8. Найти дифференциальное уравнение замкнутой системы, связывающее  и   (полагая ).

9. Найти уравнения состояния замкнутой системы в векторно-мат-ричном виде, в нормальной форме, связывающие координаты  и  (полагая ). Можно использовать команды ss и  canon. Правильность уравнений легко проверить, построив в Матлабе две переходных характеристики (для уравнений и передаточной функции) на одном графике.

Методические указания

1.Передаточные функции находятся с использованием правил структурных преобразований [1, с. 27-34].

2.Если найдена главная передаточная функция замкнутой системы в виде , где K = K₁K₂K₃ − общий коэффициент передачи прямой цепи,  − полином относительно , то характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

.

Коэффициенты  зависят от параметров системы , . Условие устойчивости в соответствии с критерием Гурвица для системы третьего порядка имеет вид: , . При заданных  из полученных условий устойчивости определяется ограничение на величину коэффициента передачи  далее принимается  [1, c. 47-50].

3. Определение частотных характеристик и их построение подробно изложены в [1, c. 17, 34]. АФЧХ  строится на комплексной плоскости. Ось абсцисс − действительная (), а ось ординат − мнимая (). Частота изменяется от  до . Все остальные характеристики имеют ось абсцисс, на которой откладывается частота  (для ЛАЧХ и АФЧХ в логарифмическом масштабе) и соответствующую ось ординат (это модуль или фаза).

Все частотные характеристики строятся обычным способом. Задавая величину  дискретно:  , , ..., находят соответствующее значение ординаты и по точкам строят характеристику. ЛАЧХ  обычно строится в виде асимптотической характеристики, состоящей из отрезков прямых.

4. Статическая ошибка определяется по формуле , где  . Частота среза  определяется по графику ЛАЧХ. Это значение частоты, при котором  пересекает ось абсцисс и где . Запасы устойчивости  и  также находятся из логарифмических характеристик [1, с. 56]. Показатель колебательности определяют из графика амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы , как . Время регулирования  и перерегулирование  ориентировочно можно оценить, используя максимальное значение P_max вещественной частотной характеристики  и частоту среза .

Графики, связывающие , , P_max и  представлены в [1, с. 78].

5. Зная передаточную функцию, связывающую изображения входа и выхода системы, нетрудно получить дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную координаты системы [1, c. 33].

6. По дифференциальному уравнению, найденному в предыдущем пункте, легко найти уравнения состояния в нормальной форме [1, с. 90].