ИДЗ по физике для студентов ТПУ

admin
Аватар пользователя admin
Offline
Создано: 20/08/2012

ИДЗ №1

 

Индивидуальные задания из задачника

 

Чернов И.П., Ларионов В.В., Тюрин Ю.И. Физика. Сборник задач. Часть I. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие. –Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 389 с.

 

КИНЕМАТИКА

 

1.1. Что называется  механическим движением? Приведите примеры относительности движения.

1.2. Что называется траекторией движения?  Приведите примеры относительности траектории движения материальной точки.

1.3. Что называется материальной точкой? В каких случаях тело можно рассматривать как материальную точку. Приведите примеры.

1.4. Что называется вектором перемещения? В каком случае модуль вектора перемещения равен пути, пройденному точкой за одно и то же время?

1.5. Столкнутся ли две материальные точки, если известно, что траектории их движения пересекаются?

1.6. Что определяет закон движения тел?

1.7. Какое движение называется поступательным? Какое движение называется вращательным?

1.8. Что называется средней скоростью? мгновенной скоростью?

1.9. Что называется средним ускорением? мгновенным ускорением?

1.10. Что характеризует нормальное ускорение?

1.11. Что характеризует тангенциальное ускорение?

1.12. Приведите примеры движений, при которых отсутствует:   а) нормальное ускорение,  в) тангенциальное ускорение.

1.13.Какое движение называется свободным падением?

1.14. При каком условии падающее тело будет двигаться равномерно?

1.15. От чего зависит ускорение свободного падения?

1.16. Что называется  средней угловой  скоростью? мгновенной угловой скоростью? Как определяется направление угловой скорости?

1.17. Что называется  средним угловым ускорением? Мгновенным угловым ускорением? Как определяется направление углового ускорения?

1.18. Как по графику зависимости координаты от времени определить мгновенное и среднее значение  скорости для прямолинейного движения материальной точки?

1.19. Как по графику зависимости скорости от времени определить мгновенное и среднее значение  ускорения для прямолинейного движения материальной точки?

1.20. Выведите правило сложения скоростей материальной точки, участвующей одновременно в нескольких движениях.

1.21. Докажите, что при равноускоренном движении среднее значение скорости равно среднему арифметическому.

1.22. Выведите уравнение траектории тела, брошенного горизонтально. Изобразите траекторию этого движения.

1.23. Как записывается скалярное произведение векторов? Запишите свойства скалярного произведения.

1.24. Докажите теорему косинусов с использованием свойств скалярного произведения.

1.25. Запишите уравнения, описывающие движение материальной точки по круговой траектории: r(t), x(t), y(t).

 

2.1. Тело одну треть всего времени двигалось со скоростью 
30 м/с,  а остав­шиеся две трети - со скоростью 15 м/с. Чему равна средняя скорость тела за все время движения?

Ответ: 20 м/с.

2.2. Тело одну треть всего пути двигалось со скоростью  30 м/с,  а оставшиеся две трети - со скоростью 15 м/с. Чему равна средняя скорость тела на всем пути движения?            

Ответ: 18 м/с.

2.3. Движение тела вдоль оси х описывается уравнением 
x = 2 + 3×t + t2 (м). Определите среднюю скорость движения тела за третью секунду.

Ответ: 8 м/с.

2.4. Расстояние между двумя городами автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а обратный путь – со скоростью 40 км/ч. Опре­делите среднюю скорость автомобиля на всем пути.    

Ответ: 48 км/ч.

2.5. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v1 = 60 км/ч, остальную часть пути – со скоростью v2 = 80 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.                                                                                     

Ответ: 64 км/ч.

2.6. Две дороги пересекаются под углом  60 °. От перекрестка по ним удаляются машины. Одна – со скоростью 60 км/ч. Другая - 80 км/ч. Определить скорости удаления одной машины относи­тельно другой. Перекресток машины прошли одновременно.

Ответ: v1 = 122 км/ч;  v2 = 72,2 км/ч.

2.7. Корабль идет на запад со скоростью 6,5 м/с. Известно, что ветер дует с юго-запада. Скорость ветра, зарегистрированного приборами относи­тельно палубы корабля, равна 9,3 м/с. Определите скорость ветра относительно Земли. Какое направление ветра показывали приборы относительно курса корабля?

Ответ: 3,5 м/с;  165 °.

2.8. Автоколонна длиной 2 км  движется по шоссе со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью  60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины автоколонны?    

Ответ: 6 мин.

2.9. Два тела движутся взаимно перпенди­ку­лярными курсами соответственно со скорос­тями   v1 = 6 м/с и v2 = 8 м/с.  Чему равна величина скорости первого тела относительно второго?                            

Ответ: 10 м/с.

2.10. Эскалатор метро поднимает стоящего на нем пассажира за  1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир, идущий вверх по движущемуся эскалатору?

Ответ: 45 с.

2.11. Точка движется по оси х по закону х = 15 + 8t – 2t2 (м). Найти координату и ускорение точки в момент, когда скорость точки обращается в нуль.                                       

Ответ: 23 м; – 4 м/с2.

2.12. Движение материальной точки задано уравнением х = At + Bt2, где             A = 4 м/с, B = -0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость точки равна v = 0. Найти коорди­нату и ускорение в этот момент.              

Ответ: 40 с;  40 м;  – 0,1 м/с2.

2.13. Движения двух материальных точек выражаются урав­нениями: x1 = A +     + Bt + Ct2;  x= D + Et + Ft2 .  Здесь: А = 20 м, D = 2м, В = E = 2 м/с, С = -4 м/с2, F = 0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить ско­рости и ускорения точек в этот момент.

Ответ: t = 0 с; v1 = v2 = 2 м/с;  a1 = -8 м/с2a2 = 1 м/с2.

2.14. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x1 = At + Bt2 +      + Ct3; x2 = Dt + Et2 + Ft3 . Здесь: А = 4 м/с, В = 8 м/с2, С = -16 м/с3, D = 2м/с,        Е = -4 м/с2, F = 1 м/с3. В какой момент времени  t  ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скоро­сти точек в этот момент. 

Ответ: t = 0,235 с;  v1 = 5,1 м/с; v2 = 0,286 м/с.

2.15. Из одной точки одновременно в одном направлении начали равноускоренно двигаться две точки. Первая - с началь­ной скоростью v1 = 1 м/с  и ускорением  a1 = 2 м/с2. Вторая - с начальной скоростью v2 = 10 м/с  и ускорением  a2 = 1 м/с2. Когда и на каком расстоянии 1-я точка догонит 2-ю?

Ответ: 18 с; 342 м.

2.16. Предельная скорость падения человеческого тела в воздухе около 55 м/с. С какой высоты должно падать тело в вакууме, что­бы достичь такой скорости?

Ответ: 154 м.

2.17. Камень падает с высоты  h = 1200 м.  Какой путь S  прой­дет камень за последнюю секунду своего падения?         

Ответ: 150 м.

2.18. Тело последний метр своего пути прошло за время t = 0,1 с. С какой высоты h упало тело?

Ответ: 5,61 м.

2.19. Чему равно полное время падения тела, если за последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело 3/4  всего пути?

Ответ: 2 с.

2.20. С крыши высотного здания с интервалом времени 2 с падают один за другим два тела. Чему равно расстояние между телами через  2 с  после начала падения второго тела?       

Ответ: 60 м.

2.21. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 9 м/с. На какой высоте скорость тела уменьшится в 3 раза?            

Ответ: 3,6 м.

2.22. Мяч, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через     3 с. Определите величину скорости мяча в момент падения.

Ответ: 15 м/с.

2.23. С вертолета, находящегося на высоте 30 м, упал камень. Определите время, через которое камень достигнет Земли, если вертолет при этом опускался со скоростью 5 м/с.                

Ответ: 2 с.

2.24. С балкона вертикально вверх брошен мяч с начальной скоростью 8 м/с. Через 2 с мяч упал на Землю. Определите высоту балкона над Землей.                                                                                                                 

 Ответ: 3,6 м.

2.25. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 мс. На какой высоте скорость мяча будет в 2 раза  меньше, чем в начале движения?                                                                            

Ответ: 15,3 м.

3.1. Движение материальной точки задано уравнением r(t) = A×[i×cos(wt) +          + j×sin(wt)]. Здесь: А = 0,5 м, w = 5 рад/с, r(t) -  радиус-вектор i и j - единичные орты. Начертить траекторию точки. Определить модуль скорости и модуль нормального ускорения.                                  

Ответ: 2,5 м/с; 12,5 м/с2.

3.2. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r(t) =        = At3×i + Bt2×j. Здесь: r(t) - радиус-вектор; i и j - единичные орты; А = 2 м/с3 и    В = 1 м/с2. Получить зависимости v и a от времени t. Для момента времени t =    =  2 с вычислить модуль скорости и ускорения.  

Ответ: v(t) = 6t2×i + 2t×j; a(t) = 12t×i + 2×j; 24,3 м/с; 24,08 м/с2.

 

3.3. Движение материальной точки задано уравнением  r(t) = i×(A + Bt2) + j×Ct. Здесь: A = 10 м, B = -5 м/с2, C = 10 м/с. Начертить траекторию. Найти выражение v(t) и a(t). Для t = 1 с  вычислить: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения; 3) модуль тангенциального ускорения; 4) модуль нормального ускорения.

    Ответ: 1,41 м/с; -10м/с2;  7,07 м/с2; 7,07 м/с2.

3.4. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r(t) =        = At×i + Bt2×j. Здесь: r(t) -  радиус-вектор; i  и j - единичные орты; А = 2 м/с и    В = 1 м/с2. Получить зависимости v и a от времени t. Для момента времени t = 2 с вычислить модуль скорости и ускорения.      

Ответ: v(t) = A×i + 2Bt×j; a(t) = 2B×j;  4,47 м/с; 1,41 м/с2.

3.5. Движение точки по кривой задано уравнениями: x = At3 и y = Bt. Здесь:       A = 1 м/с3, B = 2 м/с. Для момента времени t = 0,8 с  найти: 1) уравнение траектории; 2) скорость точки; 3) полное ускорение.                                   

Ответ: y3 - 8x = 0;   2,77 м/с; 4,8 м/с2.

3.6. Диск радиусом R = 20 см  вращается согласно уравнению j = A + Bt + Ct3. Здесь: A = 3 рад, В = -1 рад/с, C = 0,1 рад/с3. Определить: тангенциальное, нормальное и полное ускорения для момента времени t = 10 с.               

Ответ: 1,2 м/с2;  168 м/с2;  168 м/с2.

3.7. Зависимость угла поворота радиуса колеса при его враще­нии дается уравнением:  j = A + Bt + Ct2 + D3. Здесь: B = 1 рад/с, C = 1 рад/с2 и D = 1 рад/с3. К концу второй секунды движения нормальное ускорение точек обода колеса равно 346 м/с2. Найти радиус  R  колеса.                                  

                                                                                                  Ответ: 1,2 м.

3.8. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см.  Зависимость пути от времени дается уравнением S = Ct3. Здесь: С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент времени, когда её линейная скорость равна 0,3 м/с.                                                              

Ответ: 4,5 м/с2; 0,06 м/с2.

3.9. Точка движется по окружности радиусом r = 10 см  с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 79,2 см/с.  Найти тангенциальное ускорение точки. 

Ответ: 0,1 м/с2.

3.10. Через время t = 2 с  после начала движения вектор полного ускорения лежащей на ободе точки составляет угол 60 ° с вектором ее линейной скорости. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ: 0,43 рад/с2.

3.11. Колесо начинает вращаться равноускоренно и через время t = 1 мин  приобретает частоту n = 720 об/мин.  Найти угловое ускорение колеса e и число оборотов n колеса за это время.

Ответ: 1,26 рад/с2; 360 об.

3.12. Равноускоренно вращающееся колесо достигло угловой скорости w =         = 20 рад/с через n = 10 оборотов после начала враще­ния. Найти угловое ускорение колеса.                  

Ответ: e = 3,2 рад/с2.

3.13. По дуге окружности радиусом r = 10 м движется точка. В некоторый момент времени t нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с2, и векторы полного и нормального ускорений образуют угол j = 60 °. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.                                                    

Ответ: 7 м/с;  8,5 м/с2.

3.14. Маховое колесо вращается с угловой скоростью 10 рад/с. Модуль линейной скорости некоторой точки маховика равен 2 м/с. Определить модуль линейной скорости точки, находящейся дальше от оси маховика на  0,1 м.                                        

Ответ: 3 м/с.

3.15. Ось с двумя дисками на расстоянии 0,5 м друг от друга вращается с частотой n = 1600 об/мин. Пуля летит вдоль оси и пробивает оба диска. Отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол j = 12 °. Найти скорость v  пули.                                                   

Ответ: 400 м/с.

3.16. Самолет, летящий горизонтально на высоте Н = 1960 м со скоростью         v = 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии S от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.                                                    

Ответ: 20 с; 2 км.

3.17. Пуля вылетает из ствола в горизонтальном направлении со скоростью       v = 1000 м/с.  На сколько снизится  пуля во время полета, если щит с мишенью находится на расстоянии, равном      400 м?                                                                            

Ответ: 78,4 см.

3.18. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью      v0 = 30 м/с. Определить скорость v, тангенци­альное и нормальное ускорение камня в конце первой секунды после начала движения.                   

Ответ: 31,6 м/с; 3,0 м/с2;  9,3 м/с2.

3.19. Тело бросили в горизонтальном направлении со скоростью  v = 20 м/с  с башни высотой h. Тело упало на землю на расстоянии S от основания башни. Причем S вдвое больше h.  Найти высоту башни.                                                      

Ответ: 20,4 м.

3.20. Камень брошен горизонтально с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с после начала движения.                               

Ответ: 305 м.

3.21. Тело брошено под углом 30 ° к горизонту. Найти танген­ци­альное и нормальное ускорение тела в начальный момент движения.                                                           

Ответ: 4,9 м/с2; 8,5 м/с2.

3.22. Тело брошено со скоростью v0 = 14,7 м/с под углом 30 ° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через время  t = 1,25 с  после начала движения.

Ответ: 9,2 м/с2; 3,5 м/с2.

3.23. Пуля пущена с начальной скоростью v = 200 м/с  под углом  a = 60 ° к горизонту. Определить максимальную высоту H подъема, дальность полета и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке.                       

Ответ: 1,5 км;  3,5 км;  1 км.

3.24. Двое играют в мяч. От одного к другому мяч летит 2 с. Определить максимальную высоту подъема мяча.           

Ответ: 4,9 м.

3.25. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность S полета тела оказалась в четыре раза больше высоты Н траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.                                   

Ответ: 45 °.

4.1. Ракета стартует с Земли вертикально вверх с ускорением
а = At2, где А = 1 м/с4.  На высоте h = 100 км  от Земли двигатели ракеты выключили. Через сколько времени (считая с момента выключения двигателей) ракета упадет на Землю? Определить скорость v0  ракеты в момент выключения двига­телей. Сопротивлением воздуха пренебречь.      

Ответ: v0 = 12,1 км/с, ракета не вернется на Землю.

4.2. Рассмотрим лунный модуль, движущийся по круговой орбите вокруг Луны. Пусть радиус его орбиты составляет одну треть радиуса Земли, а ускорение свободного падения на этой орбите равно g/12, где g = 9,8 м/с2.  Какова скорость модуля vл  по сравнению со скоростью спутника vз, движущейся по околоземной орбите?                                                      

Ответ: vл = vз/6.

4.3. Тело брошено со скоростью v под углом a к горизонту. Максимальная высота подъема тела h = 3 м и радиус кривизны траектории в верхней точке траектории R = 3 м. Найти v и a.

Ответ: 9,4 м/с;  55 °.

4.4. Колесо вращается с угловым ускорением  e = 2 рад/с2. Через время t = 0,5 с  после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса a = 13,6 м/с2. Найти радиус R колеса.

Ответ: 6,1 м.

4.5. Точка лежит на ободе вращающегося колеса. Во сколько раз нормальное ускорение больше её тангенциального ускорения в момент, когда вектор полного ускорения точки составит угол 30 ° с вектором ее линейной скорости?  

Ответ: в 0,58 раз.

4.6. Точка движется по окружности радиусом  R = 10 см  с постоянным тангенциальным ускорением. За время t1 точка сделала пять оборотов и ее скорость v1 в момент времени t1 была равна  10 см/с.  Найти нормальное ускорение в момент времени t2 = 20 с.                                                            

Ответ: 0,01 м/с2.

4.7. При снижении вертолет опускался вертикально с постоянной скоростью   19 м/с. Начиная с некоторой высоты h и до посадки он опускался равнозамедленно с ускорением 0,2 м/с2. Сколько оборотов сделал винт вертолета за время снижения с высоты h до посадки, если угловая скорость вращения винта 31,4 рад/с?                                                                                

Ответ: 475.

4.8. Тело начинает двигаться вдоль прямой с постоянным ускорением. Через    30 мин ускорение тела меняется по направлению на противоположное, оставаясь таким же по величине. Через какое время от начала движения тело вернется в исходную точку?  

                                                        Ответ: 102,3 мин.

4.9. На горизонтальном валу, вращающемуся с частотой 200 с-1, на расстоянии 20 см  друг от друга закреплены два тонких диска. Горизонтально летевшая пуля пробила оба диска на одинаковом расстоянии от оси вращения. Определите среднюю скорость пули при ее движении между дисками, если угловое смещение пробоин оказалось равным  18 °.       

Ответ: 800 м/с.

4.10. На учебных стрельбах поставлена задача: в минимальное время поразить снаряд после его вылета, выпущенный  вертикально вверх со скоростью       1000 м/с, вторым снарядом, скорость которого на 10 % меньше. Через сколько секунд после первого выстрела следует произвести второй, если стрелять с того же места?                                                                      

Ответ: 54,7 с.

4.11. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения проходит 1/3 всего пути. Найти время t его падения и высоту h, с которой  падало тело.                         

Ответ: 5,45 с; 145 м.

4.12. Два тяжелых шарика брошены с одинаковыми началь­ными скоростями из одной точки вертикально вверх, один через 3 с после другого. Они встретились в воздухе через 6 с после вылета первого шарика. Определите начальную скорость шариков. Сопротивлением воздуха пренебречь.          

Ответ: 44,1 м/с.

4.13. В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о eе стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен Т1, а при движении справа налево T2 (T2 ¹ T1). Определить радиус лунки.      

Ответ:            

4.14. Из пушки выпустили последовательно два снаряда с равными скоростями v0 = 250 м/с, первый – под углом a1 = 60 ° к горизонту, второй – под углом      a2 = 45 ° к горизонту. Азимут один и тот же. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени Dt между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.    

Ответ:  с.                                  

4.15. С какой наименьшей скоростью следует бросить тело под углом  60 ° к горизонту, чтобы оно перелетело через вертикаль­ную стену высотой 5,6 м, если стена находится от точки бросания на расстоянии 5 м?                                         

Ответ: 12,7 м/с.

4.16. Два тела одновременно бросили из одной точки. Начальная скорость первого тела равна 10 м/с и направлена вертикально вверх, скорость второго тела равна 20 м/с и направлена под углом  30 ° к горизонту. Определите расстояние между телами через 1 с  после начала движения.            

Ответ: 17,3 м.

4.17. Тело А брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с, тело В брошено горизонтально со скоростью 4 м/с с высоты 20 м  одновременно с телом А. Расстояние по горизонтали между исходными положениями тел равно 4 м. Определите скорость тела А в момент его столкновения с телом В.              

Ответ: 10,2 м/с.

4.18. Две частицы падают из одной точки, имея начальные скорости v01 = 3 м/с, v02 = 4 м/с, направленные горизонтально в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендику­лярными.                                   

Ответ:  2,5 м.

4.19. Маленький шарик падает с высоты 50 см на наклонную плоскость, составляющую угол 45 ° к горизонту. Найдите расстояние между точками первого и второго ударов шарика о плоскость. Соударения считать абсолютно упругими.      

Ответ: 2,8 м.

4.20. С высоты 2 м вниз под углом к горизонту 60 ° брошен мяч с начальной скоростью 8,7 м/с. Определите расстояние между двумя последова­тельными ударами мяча о землю. Удары считать абсолютно упругими.                                                           

Ответ: 8,7 м.

4.21. Мяч, брошенный со скоростью 10 м/с под углом 60 ° к горизонту, ударяется о стену, находящуюся на расстоянии 3 м от места бросания. Определите модуль скорости мяча после удара о стенку. Удары считайте абсолютно упругими.  

Ответ: 5,7 м/с.

4.22. Легковой автомобиль движется со скоростью 20 м/с за грузовым, скорость которого 16,5 м/с. В момент начала обгона водитель легкового автомобиля увидел встречный автобус, дви­жущийся со скоростью 25 м/с. При каком наименьшем расстоянии до автобуса можно начи­нать обгон, если в начале обгона легковая машина была в 15 м от грузовой, а к концу обгона она должна быть впереди грузовой на 20 м?        

Ответ: 450 м.

4.23. Колонна автомобилей движется по шоссе со скоростью
90 км/ч.  Длина каждого автомобиля  10 м. На ребристом участке шоссе автомобили движутся со скоростью 15 км/ч. Каким должен быть минимальный интервал между автомобилями, чтобы автомобили не сталкивались при въезде на ребристый участок шоссе?                                                                        

Ответ: 50 м.

4.24. Цилиндрический каток радиу­сом   1 м помещен между двумя парал­лельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v1 = 4 м/c и v2 = 2 м/с. Определите угловую скорость вращения катка.     

Ответ: 1 рад/с.

4.25. Муравей бежит из муравейника по прямой так, что его скорость обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится в точке А на расстоянии  l1 = 1 м  от центра муравейника, его скорость равна v1 = 2 см/с. За какое время t муравей добежит от точки А до точки  В,  которая находится на расстоянии l2 = 2 м от центра муравейника?                                                                          

Ответ: 75 с.

 

ДИНАМИКА

 

1.1. Дайте определение инерциальной и неинерциальной систем отсчета. Приведите примеры.

1.2. Приведите примеры физических моделей, используемых при изучении механических явлений.

1.3. Сформулируйте три закона Ньютона. В каких системах отсчета они справедливы? Какова взаимосвязь между этими законами?

1.4. Что называют массой тела? Каков физический смысл понятия «сила»?

1.5. Покажите на примерах различие между результирующей и равнодействующей нескольких сил.

1.6. Как могут двигаться относительно друг друга инерциальные системы отсчета? Запишите преобразования Галилея.

1.7. В чем состоит механический принцип относительности?

1.8. Получите уравнение движения тела переменной массы. От чего зависит возникающая в данном случае реактивная сила; определите ее направление.

1.9. Дайте определение импульса силы.

1.10. Получите выражение, определяющее изменение импульса  тела DP при действии на него переменной силы.

1.11. Приведите примеры траекторий (плоских и пространственных) с постоянным радиусом кривизны.

1.12. Дайте определение центра инерции или центра масс системы материальных точек.

1.13. Дайте определение внутренних и внешних сил, действующих в системе материальных точек.

1.14. Получите выражение, определяющее скорость центра масс системы материальных точек.

1.15. Как определить ускорение движения центра масс системы тел?

1.16. Как определяется вектор полного импульса системы материальных точек?

1.17. Докажите инвариантность уравнений Ньютона для материальной точки, а также для произвольных систем материальных точек относительно преобразований Галилея, соответствующих переходу от одной инерциальной системы к другой.

1.18. Примените второй закон Ньютона к движению заряженных частиц в электрическом и магнитных полях.

1.19. Докажите, что третий закон Ньютона не выполняется в случае взаимодействия заряженных частиц, движущихся относительно друг друга с большими скоростями.

1.20. Получите классическую формулу сложения скоростей.

1.21. Приведите закон Гука и дайте определение модуля Юнга .

1.22. Приведите классификацию и дайте определение сил трения.

1.23. Приведите примеры движения тела в состоянии невесомости.

1.24. Приведите примеры сил, играющих роль центростремительной силы. Определите характер движения.

1.25. Получите выражение, определяющее связь силы со скоростью и с ускорением в случае переменной массы.

 

2.1. Координата тела массой 1 кг, движущегося прямолинейно, изменяется от времени по закону y = at2bt3, где а = 2 м/с2, b = 1 м/с2. Определите силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

Ответ: F = m(2a – 6bt); F = -8 Н.

2.2. Координаты х и y тела массой 2 кг изменяются во времени по следующим законам соответственно: х = А1В1t + C1t2, y = A2 +   + D2t3, где С1 = 2 м/с2, D2 = 2 м/с3. Определите ускорение тела в начале шестой секунды.

Ответ: 60 м/с2.

2.3. Зависимость координаты тела задана уравнением x = Acos wt, где А =       = 2 см, w = 2p рад/с. Определите ускорение тела через 0,5 с после начала движения.

Ответ: а = 0,8 м/с2.

2.4. Зависимость координаты тела массой 0,5 кг, движущегося прямолинейно, задана уравнением х = А + ВtCt2 + Dt3, где B = 1 м/с, С = 5 м/с2 и D =         = 5 м/с3. Определите импульс тела и действующую на него силу по истечении 10 с после начала движения.

Ответ: Р = 2200 (кг×м)/с; F = 145 Н.

2.5. Тело массой 2 кг движется так, что его координаты y и z изменяются во времени. Зависимость y(t) задана соотношением у = В1t + C1t2, зависимость z(t) определяется выражением z = В2t - - C2t2, где В1 = 2 м/с; С1 = 4 м/с2; В2 = 1 м/с; С2 = 2 м/с2. Определите кинетическую энергию тела в конце третьей секунды движения.

Ответ: WК = 605 Дж.

2.6. По поверхности льда пущена шайба, которая, пройдя путь S = 400 м, остановилась через t = 40 с. Определите коэффициент  трения m шайбы об лед.

Ответ:  0,05.

2.7. После включения тормозной системы тепловоз массой m = 100 т прошел путь S = 200 м до полной остановки за время t = 40 с. Определите силу торможения.

Ответ:  25 кН.

2.8. При выключении двигателя автомобиль, движущийся со скоростью         v = 54 км/ч, проехал по инерции 100 м. Определите коэффициент трения автомобиля о поверхность дороги.

Ответ: 0,38.

2.9. Поезд массой m = 150 т двигался со скоростью v = 72 км/ч. При торможении до полной остановки поезд прошел путь S = 500 м. Определите силу сопротивления движению.

Ответ: 60 кН.

2.10. Пущенная по поверхности льда шайба со скоростью v = 30 м/с остановилась через время t = 50 с. Определите силу сопротивления движению и коэффициент трения m, если масса шайбы m = 500 г.

Ответ: 0,34 Н;  0,06.

2.11. Тело массой m = 3 кг брошено под углом a = 60 ° к горизонту с начальной скоростью v = 20 м/с. Определите, на сколько изменился импульс тела в верхней точке траектории по сравнению с начальным импульсом Р0 = mv0.

Ответ: DР = mv0×sin a » 52 (кг×м)/с.

2.12. Материальная точка массой m = 2 кг, двигаясь равномерно по окружности, проходит путь, равный длинам двух с половиной окружностей, т.е. S = 2,5×2pR. Определите, сколько раз в течение всего времени движения изменение импульса точки становится равным удвоенному значению ее начального импульса. Определите изменение импульса точки, если она прошла три четверти окружности радиусом 1 м за 6 с.

Ответ: N = 3; DР = Р2Р1 ; DР  » 2,2 (кг×м)/с.

2.13. Мячик массой m = 400 г упруго ударяется о неподвижную вертикальную стенку со скоростью v0 = 20 м/с, которая направлена под углом b = 60 ° к поверхности стенки. Определите изменение импульса мячика и импульс, полученный стенкой в результате соударения.

Ответ: DР =2mv×cos a = 13,8 (кг×м)/с; Рст = -13,8 (кг×м)/с.

 2.14. Тело массой 4 кг брошено горизонтально с некоторой начальной скоростью с высоты 45 м. Определите изменение импульса тела за время его движения, а также импульс силы, действующей на тело за это время. (Силой сопротивления воздуха пренебрегаем).

Ответ: DР = 120 (кг×м)/с; F×Dt = DР = 120 (кг×м)/с.

2.15. Шарик массой 200 г упал свободно с высоты 5 м на горизонтальную массивную плиту и отскочил от нее вверх после упругого удара. Определите импульс, полученный плитой при ударе шарика, а также среднюю силу, действующую на шарик при ударе, длящемся в течение времени Dt = 0,1 с.

Ответ: Рпл = 4 (кг×м)/с; Fср = 40 Н.

 = 5 vр

2.16. Космический корабль имеет массу m = 3 т. При движении расход горючего в единицу времени составляет Dm = 0,3 кг, при этом из его двигателей вырывается струя газа со скоростью v = 900 м/с. Определите ускорение, с которым движется корабль.                                                   

Ответ:  см/с2.

2.17. При маневрировании космического корабля из его двигателей вырывается струя газов со скоростью v = 850 м/с, при этом расход горючего составляет 0,25 кг/с. Определите реактивную силу двигателей корабля.

Ответ: F = -ma = - Н.

2.18. Вертолет массой m = 3 т с ротором, диаметр d которого равен 15 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли («висит» в воздухе). С какой скоростью ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха, если считать, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора? (Плотность воздуха r = 1,32 кг/м3).

Ответ:  м/с.

2.19. Вертолет с ротором, диаметр d которого равен 14 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли. Ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха со скоростью v = 10 м/с. Определите, какая масса воздуха ежесекундно отбрасывается ротором вертолета вертикально вниз (считайте, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора; плотность воздуха r = 1,32 кг/м3).

Ответ:  кг/с.

2.20. Ракета массой 1,5 т, запущенная вертикально вверх с поверхности Земли, поднимается с ускорением а = 1,5g. Определите скорость струи газов, вырывающихся из сопла, если расход горючего составляет 25 кг/с.

Ответ:  м/с.

2.21. Катер массой m = 2,5 т развивает максимальную скорость vmax = 30 м/с. После выключения двигателей в течение времени t = 30 с катер теряет половину своей скорости. Определите мощность, развиваемую катером при включенных двигателях. (Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости).

Ответ: = 2,5×103 Вт.

2.22. Катер массой 1,5 т, трогаясь с места, в течение некоторого времени достигает скорости v = 5 м/с (считать, что движение катера происходит в спокойной воде). Сила тяги мотора постоянна и равна F = 103 Н. Принимая, что сила сопротивления Fсопр движению катера пропорциональна скорости (Fсопр = k×v, где коэффициент сопротивления k = 100 кг/с), определите время, за которое катер достигает указанной скорости.

Ответ:  с.

2.23. При движении в воздухе пули массой m = 20 г ее скорость уменьшилась от v0 = 700 м/с до v = 100 м/с за время Dt = 1 с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определите коэффициент сопротивления движению k (Действием силы тяжести пренебрегаем).

Ответ:  кг/с.

2.24. Снаряд массой m = 20 кг выпущен из орудия вертикально вверх со скоростью v0 = 700 м/с. Определите время подъема снаряда на высоту, равную половине максимальной высоты, считая силу сопротивления постоянной и пропорциональной скорости движения (коэффициент сопротивления движению k =      = 0,2 кг/c).

Ответ: 26,5 с.

2.25. С большой высоты на Землю сброшен груз массой m = 20 кг. Принимая, что сила сопротивления воздуха движению груза изменяется пропорционально скорости, определите, через какой промежуток времени Dt ускорение движения груза будет равно одной трети ускорения свободного падения. (Коэффициент сопротивления движению k = 10 кг/с).

Ответ: 2,18 с.

3.1. Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь 0,4 м. Когда на тележку положили груз массой 0,2 кг, то под действием той же силы за тоже время тележка прошла из состояния покоя путь   0,2 м. Какова масса тележки, если мы трением пренебрегаем?

Ответ: m = 0,2 кг

3.2. Тело начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45 °. Пройдя по ней расстояние 0,355 м, тело приобрело скорость   2 м/c. Определите коэффициент трения тела о плоскость (g » 10 м/с2).

Ответ: μ » 0,2.

3.3. Шарик, прикрепленный к нити, движется в горизонтальной плоскости по окружности с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до горизонтальной плоскости равно h. Определите период колебания обращения шарика.

Ответ:.

3.4. В нижней точке мертвой петли реактивный самолет движется со скоростью 1200 км/час. Определите, какую нагрузку (отношение прижимающей силы к гравитационной) испытывает летчик, если радиус петли равен 1 км.

Ответ: Fнагр = 12,34 Н.

3.5. Груз на нити, вращаясь со скоростью 1 об/с, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 10 см. Какой угол образует нить с вертикалью?

Ответ: a » 22 °.

3.6. Центробежная стиральная машина наполнена мокрым бельем и вращается со скоростью 1200 об/мин. Во сколько раз центростремительная сила к моменту отрыва капли воды от ткани больше веса капли, если капля находится на расстоянии 0,3 м от оси вращения.

Ответ: Fц / Fтяж = 483.

3.7. В вертикальной плоскости вращается груз весом 20 Н с частотой 2 об/с. Шнур, на котором подвешен груз, может выдержать нагрузку 320 Н. Выдержит ли шнур натяжения в те моменты, когда груз проходит через высшую и низшую точки окружности? Определите максимальную и минимальную силы натяжения шнура, если его длина равна 1 м.

Ответ: Fmax = 368,6 H; Fmin = 328,6 H.

3.8. Поезд движется по закруглению радиусом 500 м. Ширина железнодорожной колеи 152,4 см. Наружный рельс расположен на 12 см выше внутреннего. При какой скорости движения поезда на закруглении колеса не оказывают давления на рельсы?

Ответ: v = 19,64 м/c.

3.9. Платформа движется по закруглению с линейной скоростью v. Шарик, подвешенный на нити на этой платформе, отклоняется на угол a. Определите радиус закругления.

Ответ:

3.10. Какова должна быть скорость движения мотоциклиста, чтобы он мог описывать горизонтальную окружность на внутренней поверхности вертикального кругового цилиндра радиусом r, если при езде по горизонтальной поверхности с таким же коэффициентом трения скольжения минимальный радиус поворота при скорости v1 равен R?

Ответ:

3.11. Груз, подвешенный к невесомой нити, описывает горизонтальную окружность с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до центра окружности равно h. Определите число оборотов маятника за     1 с.

Ответ:

3.12. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза 2 кг, нижнего 3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, длина пружины равна 0,1 м. Если же систему поставить вертикально на подставку, длина пружины равна 4 см. Определить длину ненапряженной пружины.

Ответ: 0,064 м.

3.13. Шарик подвешен на нити длиной 1 м. Шарик расположили так, что он начал двигаться равномерно по окружности в горизонтальной плоскости с периодом 1,57 с. При этом угол, образованный нитью с вертикалью, равен p/6 рад. Определите линейную скорость и центростремительное ускорение при движении шарика по окружности.

Ответ: v = 2 м/с; ацс = 8 м/с2.

3.14. Горизонтально летящая пуля пробила вращающийся с частотой 10 с-1 вертикальный барабан по его диаметру, равному 1 м. Какова скорость пули внутри барабана, если расстояние по окружности между пробоинами оказалось равным 0,942 м?

Ответ: v = 33 м/с.

3.15. Бусинка может скользить по обручу радиусом 4,5 м, который вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости обруча, с угловой скоростью 2 рад/с. На какую максимальную высоту относительно нижней точки обруча может подняться бусинка?

Ответ: h = 2 м.

3.16. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута нить – невесомая и нерастяжимая, к концам которой привязаны грузы m1 = 0,5 кг и m2 = 0,6 кг. Определите давление блока на ось при движении грузов и ускорение грузов (массой блока и трением в блоке пренебречь).

Ответ: Fд = 10,9 Н; а = 0,91 м/с2.

3.17. На внутренней поверхности сферы радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной оси, находится небольшой предмет. С какой постоянной частотой должна вращаться сфера, чтобы предмет находился в точке, направление на которую составляет угол 45 °? Коэффициент трения между предметом и поверхностью сферы равен 0,2 (g » 10 м/с2).

Ответ: n = 1,55 об/с.

3.18. С какой скоростью движется конькобежец по закруглению ледяной дорожки радиусом 10 м, если, проходя этот поворот, он наклоняется к горизонту под углом 76 °?

Ответ: v = 5 м/с.

3.19. Самолет летит горизонтально с ускорением. Шарик, подвешенный на нити в самолете, отклоняется от вертикали на угол a. Определите ускорение самолета.

Ответ: а = tg a.

3.20. Девочка массой 35 кг качается на качелях. Длина веревок качелей 2 м. Определите силу натяжения веревок в тот момент, когда качели проходят положение равновесия, если максимальная скорость движения равна 3 м/с.

Ответ: 70 Н.

3.21. Космическая ракета движется вертикально вверх с ускорением 5 м/с2. Определите вес космонавта, если его масса 75 кг (g » 10 м/с2).  

Ответ: Р = 1125 Н.

3.22. Автомобиль массой 100 кг движется по горизонтальному участку шоссе с ускорением 2 м/с2. При этом мотор развивает силу тяги 500 Н. Определите силу сопротивления движению.

Ответ: Fсопр = 300 Н.

3.23. К пружине жесткостью 500 Н/кг подвесили груз массой 1 кг, при этом длина пружины стала 0,12 м. До какой длины растянется пружина, если к ней подвесить еще один груз массой 1 кг?

Ответ: l2 = 0,14 м.

3.24. На рисунке представлен график зависимости скорости от времени для поднимающегося вверх лифта. Определите, с какой силой человек массой 60 кг, находящийся в лифте, давит на пол во время его движения.

Ответ: Fд = 576 Н.

 

3.25. Угол наклона доски к горизонту можно изменять от 0 °С до 90 °С. На доску помещен груз, который начинает скользить при значении угла a = a0 = 30 °. Определите ускорение груза при его движении по доске, если угол a = a1 = 60°.

Ответ: а » 3,7 м/с2.

 

4.1. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление радиусом 40 м. В месте закругления дорожка выполнена с наклоном 40 ° к горизонту. На какую скорость езды рассчитан такой наклон?

Ответ: v = 18 м/с.

4.2. Мотоциклист на мотоцикле участвует в гонках по вертикали и едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 15 м, при этом центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии d = 75 см от поверхности цилиндра. Угол наклона мотоциклиста к плоскости горизонта a составляет 30 °. Чему равен коэффициент трения m покрышек колес мотоцикла о поверхность цилиндра? С какой минимальной скоростью vmin должен ехать мотоциклист, чтобы не сорваться со стены?

Ответ: 0,58;   м/с.

4.3. Велосипедист движется по закруглению дороги радиуса R = 45 м с наибольшей возможной в данных условиях скоростью vmax = 15 м/с. (Это предельная скорость, при которой велосипедиста не заносит при данных условиях движения). Определите коэффициент трения скольжения m между шинами и асфальтом, а также угол a отклонения велосипедиста от вертикали, когда он движется по закруглению.

Ответ:   a = arctg m = 27 °.

4.4. С какой максимальной скоростью vmax может устойчиво, не опрокидываясь, двигаться вагон по закруглению радиусом R = 150 м, если высота центра масс вагона от уровня рельс Н = 1,8 м, а расстояние между рельсами d = 1,5 м.

Ответ:  м/с.

4.5. Определите наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью v = 30 км/ч, если коэффициент трения скольжения между колесами и землей m = 0,25. Определите также наибольший угол j наклона велосипеда, при котором велосипедист еще не будет падать.

Ответ:  м; j = arctg m = 14 °.

4.6. Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну (ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны g = 1,6 м/с2). При этом корабль движется равнозамедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с ускорением 8,4 м/с2. Определите вес космонавта массой 70 кг, находящегося в этом корабле.

Ответ: 700 Н.

4.7. Определите вес пассажира массой 60 кг, находящегося в движущемся лифте, в начале и конце подъема, а также в начале и в конце спуска. Ускорение (по модулю) лифта для всех случаев считать одинаковым.

Ответ: 720 Н; 480 Н; 480 Н; 720 Н.

4.8. С какой силой давит груз массой m = 60 кг на подставку, если подставка вместе с грузом движется вниз равнозамедленно с ускорением а = 1 м/с2?

Ответ: F = m(g + a) = 600 Н.

4.9. Определите вес тела массой 40 кг в положениях А и В (см. рисунок) если радиусы траекторий в точках А и В равны соответственно R1 = 20 м и       R2 = 10 м, а скорости движения тела в точках А и В равны соответственно v1 = 10 м/с и v2 = 5 м/с.

Ответ: РА = 600 Н; РВ = 300 Н.

4.10. Тело массой m = 2,5 кг движется вертикально вниз с ускорением а =           = 19,6 м/с2. Определите силу F, действующую на тело одновременно с силой тяжести mg во время движения. Сила сопротивления воздуха равна 10 Н.

Ответ: F = m(ag) + Fсопр = 34,5 Н.

4.11. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой подвешены два груза массой 200 г. Какой добавочный груз нужно поместить на один из висящих грузов, чтобы каждый из них переместился на 150 см за 5 с.

Ответ: » 5 г.

4.12. Тепловоз тянет состав, состоящий из 5 одинаковых вагонов с ускорением а = 10 м/с2. Определите силу натяжения сцепки между третьим и четвертым вагонами (считая от начала состава), если масса каждого вагона m = 100 кг, а коэффициент сопротивления m = 0,1.

Ответ: F = m(nk)×(a + mg), где n = 5; k = 3; k + 1 = 4.

F = 2200 Н.

4.13. Через блок перекинут шнур, к концам которого прикреплены грузы массами m1 = 3 кг и m2 = 6 кг. Блок подвешен к пружинным весам. Определите показание весов при движении грузов (массой блока и шнура, а также трением в блоке пренебрегаем (см. рисунок)).

Ответ:  Н.

 

4.14. К крaям стола (см. рисунок) прикреплены неподвижные блоки, через которые перекинуты два шнура, привязанные к бруску, массой m = 3 кг, лежащему на столе. (Силой трения между столом и бруском пренебрегаем). К висящим концам шнуров подвешены гири, массы которых m1 = 1,5 кг и m2 = 2,5 кг. Определите силу натяжения каждого из шнуров. (Массой блоков и трением в блоках пренебрегаем).

Ответ: Fнат1 = m1(g + a) = 17,1 Н;  Fнат2 = m2(ga) = 21,5 Н.

4.15. На наклонной плоскости находится легкая тележка, которая может скатываться с наклонной плоскости без трения. На тележке укреплен кронштейн с шариком массой m = 10 г на невесомой  и нерастяжимой нити. До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости. Определите ускорение тележки, силу натяжения нити отвеса при свободном скатывании тележки, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 °. (Силой трения тележки о плоскость пренебрегаем).

Ответ: а = g×sin a; Fнат = mg×cos a = 0,087 Н.

4.16. На рисунке изображена система грузов, находящихся в лифте, который движется вверх с ускорением  а = 1 м/с2. Коэффициент трения между грузом массой m2 и столом равен m = 0,1. Определите силу натяжения троса, связывающего грузы, если  m1 = 1 кг, а m2 = 2 кг.

Ответ: 8 Н,  при mm2 < m1.

4.17. По наклонной плоскости скользят два груза массами   m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны, соответственно: m1 = 0,7; m2 = 0,6. Определите силу натяжения нити, если угол наклона плоскости к горизонту  a = 30 °.

Ответ:  Н.

4.18. На наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту составляет 30°, лежит тело массой 1 кг. Коэффициент трения тела о плоскость m = 0,5. Определите силу трения, действующую на тело. Определите зависимость силы трения, действующей на тело, от угла наклона b плоскости к горизонту.

Ответ: Fтр = mg×sinb = 5 H; Fтр = mg×sinb, при tgb £ m;

Fтр = m×mg×cosb, при tgb ³ m.

4.19. Определите силу натяжения нити в системе тел, изображенной на рисунке, где m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; m3 = = 5 кг. Коэффициент трения между телами 1 и 2 m =      = 0,2. Угол наклона плоскости к горизонту b = 45°. (Трением между телом 2 и наклонной плоскостью, а также трением в блоке пренебрегаем).

Ответ: Fнат = 32,75 Н.

4.20. Определите силы натяжения нитей, связывающих грузы в системе, изображенной на рисунке. Массы тел соответственно m1 = 1 кг;    m2 = 2 кг; m3 = = 4 кг. Коэффициент трения первого тела о наклонную плоскость m1 = 0,1, коэффициент трения второго тела о наклонную плоскость  m2 = 0,2. Угол наклона плоскости к горизонту a = 30 °. (Трением в блоке пренебрегаем).

Ответ: Fнат1 = 8,8 Н; Fнат2 = 28,2 Н.

4.21. На платформе, вращающейся с частотой 3 об/мин, находится груз массой 0,2 кг. Груз прикреплен к центру платформы невесомой абсолютно упругой пружинкой длиной 10 см. При вращении платформы пружинка растягивается на 2 см. Определите силу реакции пружины, принимая во внимание силу трения (покоя) между грузом и платформой. Результат представьте в миллиньютонах.

Ответ: 1,2 мН; 60 мН/м.

4.22. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза 3 кг, нижнего 4 кг. Если эту систему поставить вертикально на подставку, длина пружины равна 3 см. Если же систему подвесить за верхний груз, а к нижнему грузу еще прикрепить груз 1 кг с помощью дополнительной нити, то длина пружины станет равной 12 см. Определите длину ненагруженной пружины. Результат представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.

Ответ: 6 см.

4.23. К резиновому шнуру прикреплен шарик массой m = 50 г. Длина шнура в нерастянутом состоянии l = 30 см. Известно, что под влиянием силы, равной    F = 9,8 Н, шнур растянется на Dl = 1 см. Считая растяжение шнура пропорциональным приложенной силе, определите, на сколько удлинится шнур при вращении шарика со скоростью n = 180 об/мин.

Ответ:  мм,

где k – коэффициент жесткости пружины.

4.24. Тело массой m = 0,01 кг, прикрепленное к пружине длиной l0 = 0,3 м, равномерно вращается в горизонтальной плоскости. При каком числе оборотов в единицу времени пружина удлинится на Dl = 0,05 м, если жесткость пружины равна 400 Н/м.

Ответ: 12 об/с.

4.25. Шарик массой m, прикрепленный к резиновому шнуру, совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью w. Длина нерастянутого резинового шнура равна l0. Определите радиус окружности R, по которой будет двигаться шарик и силу натяжения Fнат шнура, считая, что при растяжении шнура выполняется закон Гука, т.е. сила натяжения шнура растет пропорционально его растяжению (Fнат = kDl, здесь k – коэффициент жесткости пружины).

Ответ:  

 

 

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

 

1.1. На основе однородности пространства получите закон сохранения импульса.

1.2. Используя III закон, Ньютона получите закон сохранения импульса.

1.3. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы частиц.

1.4. Докажите, что в отсутствие внешних сил скорость центра масс постоянна. Сделайте рисунок, приведите пример.

1.5. Ядро распадается на три частицы, разлетающиеся по разным направлениям. Будет ли неизменным скорость центра масс этих трех частиц? Сделайте рисунок, приведите доказательство.

1.6. На каком принципе основана работа ускорителя на встречных пучках? Приведите расчеты.

1.7. Запишите уравнение Мещерского. Что называют реактивной силой?

1.8. Запишите аналитическое выражение для фразы: «Происходит переход энергии от тела, со стороны которого действует сила, к тому, на которое она действует».

1.9. Какую часть потребляемой электроэнергии вырабатывают ГЭС в настоящее время? Какую мощность развивает водопад?

1.10. Как вычисляется потенциальная энергия взаимодействия двух тел?

1.11. Приведите примеры консервативных и неконсервативных сил. Сделайте рисунок.

1.12. Как рассчитать потенциальную энергию силы тяжести?

1.13. Какой закон налагает строгие ограничения на возможности извлечения энергии и ее потребления? Приведите примеры.

1.14. Какая величина остается неизменной для материальной точки, находящейся в поле фундаментальных сил? Получите эту формулу.

1.15. Как из скалярной величины «построить» вектор? Покажите это на примере потенциальной энергии.

1.16. Если на тело действует несколько сил, например гравитационная и упругая. Чему равна полная потенциальная энергия такого тела?

1.17. Сформулируйте закон сохранения энергии для системы материальных точек.

1.18. Чему равна энергия двух протонов в гравитационном поле Земли?

1.19. Приведите несколько примеров вычисления импульса силы.

1.20. Докажите, что при любом нецентральном соударении двух одинаковых масс угол их разлета всегда равен 90 °.

1.21. При лобовом ударении грузовика и легкового автомобиля грузовик теряет около 20 % своей скорости. Докажите это.

1.22. Приведите несколько диаграмм потенциальной энергии и объясните их.

1.23. В чем состоит различие понятий: «энергия в химии» и «энергия в биологии»? Приведите примеры.

1.24. Как оценить расход топлива автомобиля? Приведите конкретные расчеты.

 

2.1. Шарик массой 200 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость 10 м/с, направленную под углом 30 ° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

Ответ: Р = 2 кг×м/с.

2.2. Частица массой m1 = 10-24 г имеет кинетическую энергию     Е1 = 9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2 = 4×10-24 г она сообщает ей кинетическую энергию Е2 = 5 нДж. Определить угол a, на который отклонится частица от своего первоначального направления.

Ответ: °.

2.3. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно по закону s = (2t2 + 4t + 1) м. Определить работу силы за 10 с от начала ее действия.

Ответ: А = 960 Дж.

2.4. Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со скоростью v = 20 м/с. Найти мощность N, необходимую для выбрасывания воды.

Ответ: N = pr2v3/8 = 1,26 кВт.

2.5. Гладкий неупругий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом a к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол b, под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии перейдет при столкновении в тепло?

Ответ: b = arctg (2tg a);

 2.6. Тележка массы m1 вместе с человеком массы m2 движется со скоростью u. Человек начинает идти с постоянной скоростью по тележке в том же направлении. При какой скорости человека относительно тележки она остановится? Трением колес тележки о землю пренебречь.

Ответ:

2.7. Гладкая упругая нить длины l и жесткости k подвешена одним концом к точке О. На нижнем конце имеется невесомый упор. Из точки О начала падать небольшая муфта массы m. Найти: а) максимальное растяжение нити; б) убыль механической энергии системы к моменту установления равновесия (из-за сопротивления воздуха).

Ответ: а)  б) Е1Е2 = mgl(1 + mg/2kl).

2.8. Боек автоматического молота массой 100 кг падает на заготовку детали, масса которой вместе с наковальней 2000 кг. Скорость молота в момент удара  2 м/с. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, идущую на деформацию заготовки.

Ответ: Е = 190 Дж.

2.9. Брусок массы m = 1,00 кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m = 0,27. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость v0 = 1,50 м/с. Найти среднюю мощность силы трения за все время движения бруска.

Ответ: Рср = -mmgv0/2 = -2 Вт.

2.10. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 400 м/с, попадет в брусок, подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определить угол a, на который отклонится брусок, если масса пули m1 = 20 г и масса бруска m2 = 5 кг.

Ответ: a = 15 °.

2.11. Тележка с песком катится со скоростью v2 =     = 1м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой m = 2 кг с горизонтальной скоростью v1 = 7 м/с. Шар после встречи с тележкой застрял в песке. В какую сторону и с какой скоростью u покатится тележка после падения шара? Масса тележки    М = 10 кг.

Ответ: u = 0,33 м/с.

2.12. Две пружины с жесткостями k1 = 0,3 кН/м и k2 = 0,5 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х2 второй пружины равна 3 см. Вычислить работу А растяжения пружины.

Ответ: 0,6 Дж.

2.13. Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найти, какую наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон с массой m0 может передать: 1) протону (масса m0) и 2) ядру атома свинца (масса m = 207m0). Наибольшая часть передаваемой энергии соответствует упругому центральному удару.

Ответ: 1) 100 %; 2) 1,9 %.

2.14. Брусок массой 1 кг скользит по наклонной плоскости; в начальный момент на вершине его скорость равна нулю. У основания наклонной плоскости скорость бруска равна 100 м/с. а) Какую работу совершает сила трения? б) Чему равна постоянная сила трения? в) Если покрыть наклонную плоскость масляной пленкой и уменьшить силу трения в 10 раз, то каким будет значение скорости бруска у основания наклонной плоскости?

Ответ: а) -0,48 Дж; б) Fтр = 2,4 Н; в) v = 1,365 м/с.

2.15. Самолет для взлета должен иметь скорость 25 м/с. Длина его пробега перед взлетом 100 м. Какова должна быть мощность моторов при взлете, если масса самолета 1 т, коэффициент сопротивления 0,02?

Ответ: N = 83 кВт.

2.16. Какова мощность N воздушного потока сечением S = 0,55 м2 при скорости воздуха v = 20 м/с и нормальных условиях?

Ответ: 2,56 кВт.

2.17. Акробат массой 60 кг прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. На сколько прогнется при этом сетка? Когда акробат стоит неподвижно на сетке, ее статический прогиб равен 5 см.

Ответ: 1 м.

2.18. Человек, сидящий в лодке, бросает камень вдоль нее под углом 60 ° к горизонту. Масса камня 1 кг, масса человека и лодки 150 кг, начальная скорость камня относительно берега 10 м/с. Найти расстояние между точкой падения камня и лодкой в момент, когда камень коснется воды.

Ответ: 8,8 м.

2.19. Груз массы m, подвешенный на пружине жесткости k, находится на подставке. Пружина при этом не деформирована. Подставку быстро убирают. Определите максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза.

Ответ: h = 2mg/k;

2.20. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в n = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетические энергии Е1 и Е2 атомов, если их суммарная кинетическая энергия Е = 0,032 нДж.

Ответ: нДж; нДж.

2.21. Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом R. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Ответ: h = (5/2)R.

2.22. Брусок В покоится на абсолютно гладкой (без трения) горизонтальной поверхности. Точно такой же брусок А укреплен на нити длиной R. Затем брусок А отпускают в горизонтальном положении, и он сталкивается с В. При соударении оба бруска слипаются и после соударения движутся как единое целое. а) Чему равна скорость обоих брусков непосредственно после соударения? б) Как высоко они могут подняться над поверхностью?

Ответ:   

2.23. Пуля массой m1 = 10 г вылетает со скоростью v = 300 м/с из дула автоматического пистолета, масса m2 затвора которого равна 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью k = 25 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.

Ответ:  = 4,25 см.

2.24. Конькобежец весом Р = 700 Н, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью v = 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед m = 0,02.

Ответ:  м.

2.25. а) Какая работа требуется для поднятия массы 10 кг по наклонной плоскости без трения длиной 3 м и высотой 0,5 м? б) Предположим, что теперь между телом и наклонной плоскостью существует сила трения 0,700 Н. Какая работа необходима в этом случае?

Ответ: а) А1 = mgh = 49 Дж; б) А2 = mgh + FтрS = 51,1 Дж.

 

3.1. Небольшому телу массой m, находящемуся на горизонтальной плоскости, сообщили скорость v0. Коэффициент трения зависит от пройденного пути s по закону m = as, где a - постоянная. Найти максимальную мгновенную мощность силы.

Ответ:

3.2. Небольшой шарик массой 0,5 кг, брошенный вертикально вниз с высоты 120 м, углубился в песок на глубину 0,1 м. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если начальная скорость падения шарика 14 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 6,4 кН.

3.3. Боек свайного молота массой m1 = 500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m2 = 100 кг. Найти к.п.д. h удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пренебречь.

Ответ: h = m1/(m1 + m2) = 0,833.

3.4. Брусок массой m = 2,0 кг медленно подняли по шероховатой наклонной поверхности на высоту h = 51 см при помощи нити, параллельной этой плоскости. При этом совершили работу  А = 16 Дж. На высоте h нить отпустили. Найти скорость бруска, достигшего первоначального положения.

Ответ: м/с.

3.5. Граната массой 1 кг разорвалась на высоте 6 м над землей на два осколка. Непосредственно перед взрывом скорость гранаты была направлена горизонтально и равна 10 м/с. Один из осколков массой 0,4 кг полетел вертикально вниз и упал на землю под местом взрыва со скоростью 10 м/с. Чему равен модуль скорости второго осколка сразу после взрыва?

Ответ: v2 = 3,6 м/с.

3.6. Шайба массой m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол a = 30 ° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения m = 0,15.

Ответ: А = -mgl/(1 – mctg a) = -0,05 Дж.

3.7. Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледенелую гору, поверхность которой образует угол a с горизонтом. Какой высоты гору может преодолеть автомобиль, если его начальная скорость при въезде на нее равна v, а коэффициент трения колес о лед m < tg a?

Ответ: h = v2/[2g(1 – m ctga)].

3.8. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v0. На задней тележке находится человек массой m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

Ответ: vзадн = v0um/(M + m); vпер = v0 + umM/(m + M)2.

3.9. Молот массой m1 = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса m2 наковальни равна 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить к.п.д. h удара молота при данных условиях.

Ответ:

3.10. Частица  находится в двумерном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = -axy, a = 6,0 Дж/м2. Найти модуль силы, действующей на частицу в точке, где U = -0,24 Дж и вектор силы составляет угол J = 15 ° с ортом оси Y.

Ответ:  Н.

3.11. Легкий пластмассовый шарик для игры в настольный теннис роняют с высоты h. В нижней точке его траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту, в n раз большую первоначальной. Определить скорость ракетки в момент удара. Считать удар упругим, сопротивлением воздуха пренебречь. Масса ракетки много больше массы шарика.

Ответ:

3.12. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу a опишет камешек, прежде чем оторваться от поверхности купола? Трением пренебречь.

Ответ: a = arcсos (2/3) = 0,268p рад.

3.13. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = a/r2b/r, где а и b – положительные постоянные; r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей U(r) и Fr(r)

 

 

Ответ: а) r0 = 2a/b, устойчиво;

б) Fmax = b3/27a2.

 

3.14. Для откачки нефти с глубины Н = 1000 м поставлен насос мощностью       N = 10 кВт. Коэффициент полезного действия насоса h = 0,8. Какова масса m нефти, добытой за t = 10 ч работы насоса, при подаче нефти на поверхность земли со скоростью v = 0,1 м/с. Каков радиус трубы, по которой подается нефть? Считать, что уровень нефтяного пласта не понижается.

Ответ:  кг;  м.

3.15. Груз массой m медленно поднимают на высоту h по наклонной плоскости с помощью блока и троса. При этом совершается работа А. Затем трос отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он приобретет, скатившись до исходной точки?

Ответ:

3.16. На чашку, подвешенную на пружине с коэффициентом жесткости k = 100 Н/м, падает с высоты h = 1 м груз массой m = 1 кг и остается на чашке, то есть удар груза о дно чашки можно считать абсолютно неупругим. Чашка начинает колебаться. Рассчитайте амплитуду колебаний чашки. Массой чашки пренебречь.              

Ответ: 0,46 м.

3.17. Цепочка массой m = 0,8 кг и длиной l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет h = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

Ответ: A = -(1 – h)hmgl/2 = -1,3 Дж.

3.18. На рисунке показан игрушечный автомобильный аттракцион. Автомобиль получает легкий толчок в положении А и начинает движение фактически с нулевой скоростью. Затем он скользит по гладкому желобу и взмывает по внутренней поверхности круглой петли радиуса R. Высота h такова, что автомобиль совершает «мертвую петлю», не теряя соприкосновения с желобом. Выразите высоту h через R. Какова сила реакции желоба на автомобиль в точке В?

Ответ:

3.19. Бассейн площадью S, заполненный водой до уровня h, разделен пополам вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвигают в горизонтальном направлении так, что она делит бассейн в отношении 1:3. Какую для этого нужно совершить работу? Плотность воды r.

Ответ:

3.20. Нить длины l с привязанным к ней шариком массой m отклонили на 90 ° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, зацепившись за него, порвалась, если она выдерживает силу натяжения Т?

Ответ:  при Т ³ mg.

3.21. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь. В момент выстрела ядра из пушки на него садится верхом барон Мюнхгаузен, и потому ядро падает, не долетая до цели. Какую часть пути Мюнхгаузену придется пройти пешком, чтобы добраться до вражеского лагеря? Принять, что Мюнхгаузен впятеро тяжелее ядра. Посадку барона на ядро считать абсолютно неупругим ударом.                       

Ответ:

3.22. Два тела массой m1 и m2 соединены недеформированной пружиной жесткости k. Затем к телам одновременно приложили противоположно направленные силы F. Найдите максимальную кинетическую энергию тел и максимальную потенциальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная скорость тел? 

Ответ: Emax = F2/2k; Umax = 2F2/k; vотн = F

3.23. Два одинаковых шарика налетают друг на друга со скоростями v1 и v2 под углом a и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями u1 и u2. Найти угол b разлета шариков после соударения.

Ответ: b = arcos [()/2u1u2].

3.24. Космонавт массой m1 приближается к космическому кораблю массой m2 с помощью легкого троса. Первоначально корабль и космонавт неподвижны, а расстояние между ними равно l. Какое расстояние пройдут корабль и космонавт до встречи?

Ответ: l1 = lm2/(m1 + m2); l2 = lm1/(m1 + m2).

3.25. Три лодки массой М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m каждый со скоростью u относительно лодок. Какие скорости v1, v2, v3 будут иметь лодки после перебрасывания грузов?

Ответ: v1 = Mv + m(v + u)/(M + m); v2 = v;

v3 = Mv + m(vu)/(M + m).

 

4.1. Частица массой m испытала столкновение с покоившейся частицей массой M, в результате которого частица m отклонилась на угол p/2, а частица М отскочила под углом q = 30 ° к первоначальному направлению частицы m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если М/m = 5,0?

Ответ: DЕ/Е = ((1 + m/M)tg2q + m/M – 1)×100 %.

4.2. Замкнутая система состоит из двух одинаковых частиц, которые движутся со скоростями v1 и v2 так, что угол между направлениями их движения равен q. После упругого столкновения скорости частиц оказались равными v1¢ и v2¢. Найти угол q¢ между направлениями их разлета.

Ответ: cos q¢ = (v1v2/v1¢v2¢) cos q.

4.3. С какой по величине и направлению скоростью должен прыгнуть человек массой m, стоящий на краю тележки массой М и длиной l, чтобы попасть на другой конец к моменту остановки тележки. Коэффициент трения тележки о землю равен m.

Ответ:  a = arctg

4.4. Тонкая цепочка массой m = 25 г и длиной l = 100 см лежит на столе в виде небольшой кучки. К одному из концов цепочки приложили направленную вертикально вверх  силу F = ay, где a = 0,47 Н/м; y – высота подъема от поверхности стола. Найти скорость цепочки в момент отрыва ее нижнего конца от стола.

Ответ:  м/с.

4.5. В некоторый момент две одинаковые частицы, образующие замкнутую систему, находятся на расстоянии l0 друг от друга и имеют скорости v, направление которых составляет угол a с прямой, их соединяющей. Масса каждой частицы m, сила отталкивания зависит от расстояния r между частицами как а/r2, где а – известная постоянная. Найти наименьшее расстояние, на которое сблизятся частицы.

Ответ: lmin = al0 / (a + l0mv2 cos2 a).

4.6. Тело массой m начинают поднимать с поверхности земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2(ay – 1)mg, где  а – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.

Ответ: А = 3mg / 4a; DU = mg / 2a.

4.7. Частицы массой m попадают в область, где на них действует встречная тормозящая сила. Глубина х проникновения частиц в эту область зависит от импульса р частиц как х = aр, где a - заданная постоянная. Найти зависимость модуля тормозящей силы от х.

Ответ: F = x / (ma2).

4.8. Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массой m, соединенная пружинкой длиной l0 с концом А. Жесткость пружины равна k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости w?

Ответ:  где

4.9. Прямая цепочка массой m = 50 г и длиной l = 52 см лежит на гладкой горизонтальной полуплоскости у ее границы с другой горизонтальной полуплоскостью, где коэффициент трения m = 0,22. Цепочка расположена перпендикулярно границе раздела полуплоскостей. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя горизонтальной силой на конец цепочки, находящейся у границы раздела, медленно перетащить всю цепочку через эту границу?

Ответ: А = mmgl/2 = 28 мДж.

4.10. На подставке лежит гиря массой m = 1,00 кг, подвешенная на недеформированной пружине с жесткостью k = 80 Н/м. Подставку начали опускать с ускорением а = 5,0 м/с2. Пренебрегая массой пружины, найти максимальное растяжение пружины в этом процессе.

Ответ:  см.

4.11. Небольшая шайба массой m = 5,0 г начинает скользить, если ее положить на шероховатую поверхность полусферы на высоте h1 = 60 см от горизонтального основания полусферы. Продолжая скользить, шайба отрывается от полусферы на высоте h2 = 25 см. Найти работу сил трения, действующих на шайбу при ее соскальзывании.

Ответ: Атр = mg(3h2/2 – h1) = -11 мДж.

4.12. С помощью электролебедки вверх по наклонной плоскости поднимают груз, причем канат параллелен наклонной плоскости. При каком угле наклона плоскости к горизонту скорость груза будет минимальной, если коэффициент трения 0,4, а мощность двигателя 1,5 кВт?

Ответ: a = arctg(1/m) = 68 ° 12¢.

4.13. В аттракционе поезд, как показано на рисунке, скатывается с горы высотой 50 м, проходит по склону расстояние   120 м и затем вновь поднимается на высоту 40 м. Какова при этом максимальная сила трения Fтр, действующая на поезд массой 500 кг? (Если бы Fтр была бы больше, то поезд не смог бы достичь второй вершины. Силу Fтр считать постоянной).

Ответ: Fтр = 3267 Н.

4.14. Цепочка массой m = 1,0 кг и длиной l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Ответ:  (кг×м)/с.

4.15. К небольшому бруску массой m = 50 г, лежащему на горизонтальной плоскости, приложили постоянную горизонтальную силу F = 0,10 Н. Найти работу сил трения за время движения бруска, если коэффициент трения зависит от пройденного пути х как m = gх, где g - постоянная.

Ответ: Атр = -2F2/gmg = -0,12 Дж.

4.16. Небольшое тело массой m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания  и коэффициент трения k.

Ответ: А = mg(h + kl).

4.17. К потолку привязан резиновый шнур, свободный конец которого находится на высоте h над полом. Если подвесить к нему небольшой  тяжелый груз, который затем плавно опустить, то конец шнура с грузом опустится на расстояние h/3. На какую наименьшую высоту над полом надо затем поднять груз, чтобы после того, как его отпустят, он ударился о пол. Как изменится ответ при замене резинового шнура пружиной?

Ответ: Н1 = (3/2)h; Н2 = (4/3)h.

 

ж р2 = (4.3)р..///

4.18. Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высотой h. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой Т. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина веревки 2l, масса мальчика с санками m. Трением пренебречь.

Ответ:

4.19. Водомерный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью u = 10,0 м/с относительно катера назад. Масса катера М = 1000 кг. Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна m = 10,0 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера v спустя время t = 1,00 мин после начала движения; б) какой предельной скорости vmax  может достичь катер.

Ответ: а) v = u[1 – exp(-mt/M)] = 4,5 м/с;

б) vmax = u = 10 м/с.

4.20. Небольшой шарик массой m = 50 г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой k = 63 Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нить, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась l = 1,5 м и скорость шарика v = 3,0 м/с. Найти силу натяжения нити в этом положении.

Ответ:  8 Н.

4.21. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска АВ длиной l = 100 см, на конце А которой находится небольшая шайба. Масса доски в h = 10 раз больше массы шайбы, коэффициент трения между ними m = 0,15. Какую начальную скорость надо сообщить шайбе в направлении от А к В, чтобы она смогла соскользнуть с доски?

Ответ: 1,8 м/с.

4.22. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на 1 мм. Насколько сожмет пружину эта гиря, брошенная вертикально вниз с высоты 0,2 м со скоростью 1 м/с?

Ответ: х = 8×10-2 м.

4.23. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин (см. рисунок). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние S? Чему оно равно?

Ответ: h = H/2, Smax = H.

4.24. На каком минимальном расстоянии от места закругления склона должна располагаться стартовая площадка лыжников, чтобы они, закончив закругление, начали свободный полет? Угол склона a, радиус закругления R, коэффициент трения между лыжами и склоном m < tg a. Стартовой скоростью лыжников пренебречь.

Ответ:

4.25. На наклонной плоскости с углом наклона a = 30 ° находится кубик. К кубику прикреплена невесомая пружина, другой конец которой закреплен в точке А. Кубик находится в положении, в котором пружина не деформирована. Кубик отпускают без начальной скорости. Определите максимальную скорость кубика в процессе движения. Масса кубика m = 1 кг, жесткость пружины k = 10 кН/м, коэффициент трения m = 0,1 (m < tg a), g = 10 м/c2.

Ответ: 0,04 м/с.

 

ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ.  ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

 

1.1. Сформулируйте и запишите закон всемирного тяготения согласно ньютоновской теории тяготения. Каковы пределы применимости этого закона?

1.2. Материальная точка взаимодействует с телом произвольной геометрической формы, которое материальной точкой считать нельзя. Можно ли применить закон всемирного тяготения в этом случае? Если можно, то каким образом?

1.3. Как определить ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, Луны, Марса и других небесных тел, зная массу и размеры этих тел?

1.4. Как изменяется ускорение свободного падения в зависимости от высоты h над поверхностью Земли? Получите зависимость g(h).

1.5. Кто первым предложил способ измерения очень малых сил, и каким образом на основе этого способа была определена экспериментально гравитационная постоянная?

1.6. Опишите способ «взвешивания» Солнца, Земли и других планет.

1.7. Сформулируйте три закона Кеплера. Сопроводите первый и второй законы поясняющими рисунками. Напишите формулу, выражающую третий закон Кеплера.

1.8. Какие точки орбит, по которым движутся планеты, называются перигеем и апогеем? В какой из этих точек скорость движения планеты максимальна?

1.9. Какие скорости называются первой и второй космической скоростями? Как вычислить эти скорости?

1.10. Какой искусственный спутник Земли называется стационарным? Как определить радиус орбиты такого спутника?

1.11. Законы сохранения каких физических величин применяются при описании движения планет и спутников? Сформулируйте и запишите эти законы.

1.12. Какое состояние тела называется состоянием невесомости?

1.13. Можно ли создать состояние невесомости в кабине самолета? Если можно, то каким способом?

1.14. Равны ли между собой сила тяжести и вес тела. Какой вес называют кажущимся весом?

1.15. Как определить кажущийся вес пассажира автобуса, движущегося с ускорением?

1.16. Каким способом можно создать искусственную тяжесть для пассажиров космического корабля?

1.17. Сформулируйте принцип эквивалентности. Докажите, что инертная и гравитационная массы точно совпадают.

1.18. Как определить поле тяготения Земли в зависимости от расстояния до ее центра? Приведите график этой зависимости.

1.19. Как определить поле тяготения шарового слоя со сферическим распределением массы? Приведите график зависимости гравитационного поля шарового слоя от расстояния до его центра.

1.20. Какая физическая величина называется потенциалом поля тяготения? Напишите формулу потенциала поля тяготения Земли для точек поля, расстояние которых до центра Земли больше или равно ее радиусу.

1.21. Напишите формулу, выражающую потенциальную энергию взаимодействия Земли и какого-либо ее искусственного спутника.

1.22. Сформулируйте основные положения теории тяготения Эйнштейна.

1.23. Сформулируйте принцип эквивалентности Эйнштейна.

1.24. Какое влияние оказывает поле тяготения на связь промежутков времени в неподвижной и подвижной системах отсчета? Напишите формулу, выражающую эту связь.

1.25. Как изменяется частота света при его приближении к космическим телам, создающим поля тяготения? Напишите формулу, выражающую это изменение частоты света.

 

2.1. Определите силу, с которой притягивается к Земле тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны.

Ответ: 2,73×10-3 Н.

2.2. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней в 9 раз меньше, чем на старте?

Ответ: 1,28×104 км.

2.3. Каково отношение сил тяготения, действующих на ракету на поверхности Земли и на высоте, равной радиусу Земли?

Ответ: 4.

2.4. Как изменится сила гравитационного притяжения между шарами, изготовленными из материала одинаковой плотности, если объем одного  шара в 2 раза увеличить, а другого – в 2 раза уменьшить, не изменяя расстояние между центрами шаров?

Ответ: уменьшится в 2 раза.

2.5. На каком расстоянии от поверхности Земли находится точка, в которой стальной шарик одинаково притягивается и Землей, и Луной?

Ответ: 3,4×105 км.

2.6. Ускорение свободного падения на Луне равно 0,17g, где g – ускорение свободного падения на Земле. Диаметр Луны в 3,7 раза меньше диаметра Земли. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны? 

Ответ: 81.

2.7. Если бы тело, находящееся на экваторе Земли, было бы в состоянии невесомости, то при какой продолжительности суток на Земле это было бы возможным?

Ответ: 84,6 мин.

2.8. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с2?

Ответ: 13,6×103 км.

2.9. На какой высоте ускорение свободного падения составляет 25 % ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли?

Ответ: 6400 км.

2.10. На какой высоте над поверхностью Земли сила тяготения уменьшится на 10 %?

Ответ: 350 км.

2.11. Ракета поднялась на высоту 1600 км над поверхностью Земли. На сколько процентов уменьшится сила тяготения, действующая на ракету?

Ответ: 36 %.

2.12. Определите ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты, средняя плотность которой равна средней плотности Земли, но радиус в n раз больше земного радиуса.

Ответ: 9,8n.

2.13. Определите массу Солнца, если известно, что средняя угловая скорость движения Земли вокруг Солнца равна 0,99 ° в сутки.

Ответ: 1,98×1030 кг.

2.14. С увеличением высоты полета искусственного спутника Земли его скорость уменьшилась с 7,79 км/с до 7,36 км/с. На сколько увеличился период обращения спутника вокруг Земли?

Ответ: 15 мин.

2.15. Определите период обращения искусственного спутника, движущегося в непосредственной близости от поверхности планеты, средняя плотность вещества которой равна r.

Ответ:

2.16. На каком расстоянии от поверхности Земли должен находиться ее искусственный спутник, если он движется в плоскости экватора с периодом, равным периоду вращения Земли вокруг своей оси?

Ответ: 6,1×103 км.

2.17. Первый спутник движется по круговой орбите на высоте, равной радиусу планеты, а второй – на высоте, в 7 раз большей. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?

Ответ: 2.

2.18. Скорость спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 5000 км над поверхностью планеты, равна 5 км/с. Ускорение свободного падения на поверхности этой планеты 10 м/с2. Определите радиус планеты.

Ответ: 5000 км.

2.19. Средняя высота спутника над поверхностью Земли равна 1600 км. Определите его скорость.

Ответ: 7,07 км/с.

2.20. Определите первую космическую скорость вблизи планеты Венера, если масса этой планеты 4,9×1024 кг, а ее радиус 6100 км.

Ответ: 7,3 км/с.

2.21. Определите первую космическую скорость вблизи планеты Марс, если радиус этой планеты 3380 км, а ускорение свободного падения 3,86 м/с2.

Ответ: 3,6 км/с.

2.22. Период искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, определите, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник.

Ответ: 1,69×106 м.

2.23. Радиус планеты Марс 3,4×106 м, а ее масса 6,4×1023 кг. Определите гравитационное поле на поверхности Марса.

Ответ: 3,7 Н/кг.

2.24. Получите в общем виде выражение для поля тяготения на поверхности планеты радиуса R, средняя плотность вещества которой равна r.

Ответ:

2.25. Определите значение потенциала j поля тяготения на поверхности Земли и Солнца.

Ответ: j1 = -6,62×106 Дж/кг; j2 = -0,19×1012 Дж/кг.

 

3.1. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу М. Определить силу гравитационного взаимодействия между этим диском и материальной точкой массой т, ле­жащей в цен­тре диска.

Ответ: F = 2GmM/R2.

3.2. По  какому закону падало бы тело по трубе, проложенной от Север­ного к Южному полюсу через центр Земли? За какой промежуток времени оно прошло бы это расстояние при отсутствии   сопротивления? Землю считать однородной сферой.

Ответ:

3.3. В однородной  сфере  плотности r и радиуса R  проделано   вдоль оси узкое цилиндрическое отверстие. Определить работу, совершаемую против гравитационной силы при перемещении тела малой массы m из центра сферы на ее поверхность А0.

Ответ: 2pGrmR2.

3.4. Бур поднимают на поверхность Земли из скважины глубиной h. Вычислить относительную погрешность, допускаемую при определении работы по поднятию бура без учета изменения его веса.

Ответ: DА/А = e = h/(2Rh).

3.5. Каким  должен быть радиус однородной сферы плотностью  r = 5500 кг/м3, чтобы потенциал ее гравита­ционного поля в точке, лежащей на поверхности сферы, был равен j  104 Дж/кг?

Ответ:  м.

3.6. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью 5500 кг/м3, чтобы потенциальная энергия Еп молекулы азота, расположенной у поверхности сферы, в гра­витационном поле этой сферы была равной 1,6×10-20 Дж?

Ответ:  м.

3.7. Какую работу необходимо совершить, чтобы вы­вести тело массой 500 кг на орбиту искусственной пла­неты Солнечной системы?

Ответ: 5,23×109 Дж.

3.8. Для осуществления всемирной телевизионной связи достаточно иметь три спутника Земли, вращающихся по круговой орбите в плоскости экватора с запада на во­сток и расположенных друг относительно друга под уг­лом 120 °. Период обращения каждого спутника Т = 24 ч. Определить радиус орбиты и линейную скорость такого спутника.

Ответ: R = 4,23×107 м; v = 3×103 м/с.  

3.9. Вычислить вторую космическую скорость для Луны. Как она отличается от соответствующей скорости для Земли?

Ответ: v = 2,5×103 м/с.

3.10. На какой высоте должен вращаться искусствен­ный спутник Земли, чтобы он находился все время над одной и той же точкой Земли?

Ответ: Н = 82400 м.

3.11. Найти вес тела m = 1 кг, находящегося между Землей и Луной на расстоянии х = 108 м от центра Земли.

Ответ: 0,04 Н.

3.12. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы переместить тело массой m с поверхности Луны на Землю? Считать, что в процессе движения взаимное расстояние Н между Луной и Землей не меняется.

Ответ:   

r0 – расстояние от Луны до точки, где сила тяготения равна нулю.

3.13. Найти выражение для напряженности поля и силы гравитационного взаимодействия между тонким одно­родным кольцом радиусом R и массой М и материальной точкой массой т, лежащей на высоте h на перпенди­куляре, восставленном из центра кольца к его плоскости.

Ответ:  

3.14. Вывести выражение для напряженности гравита­ционного поля, создаваемого тонкой сферической оболочкой радиусом R внутри и вне оболочки. Масса единицы по­верхности оболочки s. Построить график зависимости E = f(r).

 

3.15. Определить напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения), создаваемого сплошной однородной сферой радиусом R внутри сферы. Плот­ность материала сферы r. Построить график зависимости E = f(r).

Ответ: (4/3)pr2/G.

3.16. Найти силу гравитационного взаимодействия между тонкой однородной нитью длиной l и массой М и материальной точкой  массой т, лежащей на отрезке перпендикуляра длиной r0, восставленного к середине  нити. Рассмотреть также случай l >> r0.

Ответ: 2GMm/r0l.

3.17. Вычислить напряженность гравитационного поля в пространстве между двумя тонкими бесконечными одно­родными плоскостями и вне их. Масса единицы поверх­ности равна s.

Ответ: 0; 4pGs.

3.18. Определить напряженность гравитационного поля тонкой бесконечной однородной плоскости, масса единицы поверхности которой равна s.

Ответ: Е = 2pGs.

3.19. Определить напряженность гравитационного поля, создаваемого  тонкой  бесконечной однородной нитью на расстоянии r0. Масса единицы длины нити s. Задачу решить методом Гаусса.

Ответ: 2Gsm/r0.

3.20. Во сколько раз вес тела на полюсе отличается от веса тела на экваторе? Задачу решить двумя способами: 1) считая Землю шарообразной; 2) взяв значения уско­рений свободного падения из таблицы.

Ответ: 1,0035; 1,0053.

Сравнить полученные результаты и объяснить расхож­дение между ними.

3.21. Считая Землю шарообразной, найти зависимость ускорения   свободного падения от широты местности. Вычислить g на полюсе, экваторе и на широте (j = 50 °).

Ответ: gэ = 9,73 м/с2; 9,78 м/с2; 9,81 м/с2.

3.22. Тонкое однородное полукольцо радиусом R имеет массу М. Найти выражение для силы взаимодействия между этим полукольцом и телом массой m, помещенным в центре кривизны, и  для напряженности гравитацион­ного поля полукольца в этой точке.

Ответ:     

3.23. Доказать, что для случая точечной массы М поток вектора напряженности гравитационного поля через замкнутую сферическую поверхность произвольного ра­диуса, охватывающую массу М, равен N = 4pCM.

 

3.24. Найти изменение  ускорения   свободного падения тела на глубине h от поверхности Земли. На какой глу­бине ускорение свободного падения составит 0,3 от уско­рения свободного падения на поверхности Земли? Плот­ность Земли считать постоянной. Считать, что со стороны вышележащего слоя тело не испытывает никакого притя­жения.   

Ответ: h = 0,7R.

3.25. Найти зависимость ускорения свободного падения от высоты тела над уровнем моря на полюсе Земли. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение умень­шается вдвое?

Ответ: h = 0,41R.

 

4.1. Считая известным ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R, определите радиус круговой орбиты искусственного спутника, который движется по ней со  скоростью v.                                                              

Ответ: gR2/v2.

4.2. Определите период обращения вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической орбиты превышает большую полуось земной орбиты на       1,5×1010 м.

Ответ: 13,86 мес.

4.3. Минимальное удаление космического корабля от поверхности Земли равно 182 км, а максимальное – на 68 км больше минимального. Определите период обращения космического корабля вокруг Земли.

Ответ: 89 мин.

4.4. Большая ось орбиты одного из искусственных спутников Земли меньше большой оси орбиты второго спутника на 700 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника равен 78 мин. Определите величину большой оси второго спутника.

Ответ: 1,28×107 м.

4.5. Большая ось орбиты одного из искусственных спутников Земли меньше большой оси орбиты второго спутника на 580 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника равен 83 мин. Определите период обращения вокруг Земли второго спутника.  

Ответ: 88,9 мин.

4.6. Планета Марс имеет два спутника – Фобос и Деймос. Первый из них находится на расстоянии от центра Марса, равном  9500 км, а второй – на расстоянии 24000 км. Во сколько раз период обращения вокруг Марса Деймоса больше, чем период обращения Фобоса?

Ответ: 4.

4.7. Две материальные точки массами m1 и m2 вращаются с угловой скоростью w вокруг общего центра масс. Определите расстояние r между этими точками, считая, что в процессе их вращения расстояние r не изменяется.

Ответ:

4.8. Отношение работы А1 на поднятие спутника на высоту h над поверхностью Земли к работе А2 на сообщение спутнику скорости движения по круговой орбите равно 1,8. Определите радиус орбиты этого спутника.  

Ответ: 1,21×107 м.

4.9. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать параболической. Определите скорость движения кометы в тот момент, когда она находится в перигее, если расстояние от кометы до центра Солнца в этот момент равно 5×1010 м.

Ответ: 72,7 км/с.

4.10. Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентриситетом e = 0,8. Во сколько раз скорость кометы в ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее удаленной точке.

Ответ: 9.

4.11. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом e = 0,2. Во сколько раз скорость спутника в перигее больше, чем в апогее.

Ответ: 1,5.

4.12. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны пренебрежимо мала. Атмосфера на Луне отсутствует.

Ответ: 2,37 км/с.

4.13. На какое расстояние от поверхности Земли удалилось бы тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 5 км/с, если бы атмосфера у Земли отсутствовала.

Ответ: 1590 км.

4.14. В металлическом шаре радиусом R = 1 м сделана сферическая полость радиусом r = 0,5R, которая касается поверхности шара, как показано на рисунке. На расстоянии l = 10 м от центра шара находится маленький шарик, который можно рассматривать как материальную точку. Во сколько раз сила F гравитационного взаимодействия шара без полости больше силы F1 гравитационного взаимодействия шара с полостью с маленьким шариком?

Ответ: 1,16.

4.15. На расстоянии а = 0,25 м от бесконечно длинной тонкой проволоки против ее середины находится материальная точка массой 10 г. Масса нити равномерно распределена по ее длине с линейной плотностью t = 0,01 кг/м. Определите величину силы гравитационного притяжения материальной точки к нити.

Ответ: 53,4 фН.

4.16. В шаре радиусом R = 1 м сделана сферическая полость радиусом r = 0,5R, которая касается поверхности шара, как показано на рисунке. На расстоянии         l = 2 м от центра шара находится маленький шарик массой m = 100 г. Масса шара без полости равна 3,6×104 кг. Определите величину силы гравитационного притяжения маленького шарика к шару с полостью.

Ответ: 53,2 нН.

4.17. На оси кольца радиусом R, изготовленным из тонкой проволоки, находится материальная точка. При каком соотношении между расстоянием l от центра кольца до материальной точки и радиусом R сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой имеет максимальное значение?

Ответ:

4.18. Сила гравитационного взаимодействия между кольцом, изготовленным из тонкой проволоки, и материальной точкой, находящейся на оси кольца, имеет максимальное значение, когда точка находится на расстоянии lmax от центра кольца. Во сколько раз сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой, находящейся на расстоянии l = 0,5lmax от центра кольца, меньше максимальной силы?

Ответ: 1,3.

4.19. Сила гравитационного взаимодействия между кольцом, изготовленным из тонкой проволоки, и материальной точкой, находящейся на оси кольца, имеет максимальное значение, когда точка находится на расстоянии lmax от центра кольца. Во сколько раз сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой, находящейся на расстоянии l = 0,25lmax от центра кольца, меньше максимальной силы?

Ответ: 2,28.

4.20. Два медных шара диаметрами d1 = 8 см и d2 = 10 см находятся в соприкосновении друг с другом. Определите потенциальную энергию взаимодействия этих шаров.

Ответ: -12 нДж.

4.21. Два одинаковых однородных шара, изготовленных из одинакового материала, соприкасаются друг с другом. Как изменится сила гравитационного притяжения этих шаров, если массу каждого шара увеличить в 5 раз за счет увеличения их размеров, не нарушая при этом соприкосновение шаров?

Ответ: увеличится в 8,55 раз.

4.22. Два однородных шара радиусами R1 и R2 соприкасаются друг с другом. Как изменится потенциальная энергия гравитационного взаимодействия этих шаров, если радиус каждого шара увеличить в 2 раза, не нарушая при этом соприкосновение шаров?

Ответ: увеличится в 32 раза.

4.23. Предположим, что на экваторе некоторой малой планеты, плотность вещества которой равна 3 г/см3, все тела весят в 1,2 раза меньше, чем на полюсе. Каким должен быть период обращения планеты вокруг оси, чтобы выполнялось это предположение?

Ответ: 4,67 ч.

4.24. Считая радиус Земли и ускорение свободного падения вблизи ее поверхности известными, найдите зависимость ускорения свободного падения от высоты над поверхностью Земли.

Ответ:

4.25. Тело массой m = 3 кг находится на поверхности Земли. Определите изменение силы тяжести при подъеме тела на высоту    h = 7 км над поверхностью Земли.

Ответ: 64,5 мН.

5.1. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, определите, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца.

Ответ: 5,2.

5.2. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозных двигателей ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце. Считая, что начальная скорость падения ракеты равна нулю, определите, сколько времени будет продолжаться падение.

Ответ: 65 сут.

5.3. Двойная звезда – это система из двух звезд, движущихся вокруг общего центра масс. Расстояние l между компонентами двойной звезды и период Т ее вращения известны. Считая, что l не меняется, определите суммарную массу двойной звезды.

Ответ: 4p2l3/GT2.

5.4. Материальную точку массы m переместили из центра основания однородного полушара массы М и радиуса R на бесконечность. Какую работу совершила при этом гравитационная сила, действующая на материальную точку со стороны полушара?

Ответ: -3GmM/2R.

5.5. Определите собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего тонкий однородный сферический слой массой m и радиусом R.

Ответ: -Gm2/2R.

5.6. Искусственный спутник движется в экваториальной плоскости Земли с востока на запад по круговой орбите радиусом 1×104 км. Определите скорость этого спутника относительно Земли.

Ответ: 7 км/с.

5.7. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость в направлении его движения необходимо кратковременно сообщить кораблю, чтобы он смог преодолеть земное тяготение?

Ответ:

5.8. Какую наименьшую скорость необходимо совершить, чтобы доставить космический корабль массой m = 2×103 кг с поверхности Земли на Луну? Сопротивлением атмосферы Земли пренебречь.

Ответ: 1,3×108 кДж.

5.9. Найдите приближенно третью космическую скорость v3 – наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно могло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг ее оси пренебречь.

Ответ: 17 км/с.

5.10. Определите массу Земли, если спутник, движущийся в ее экваториальной плоскости с запада на восток по круговой орбите радиусом 2×104 км, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые 11,6 ч.

Ответ: 6×1024 кг.

5.11. Планета массой m движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наименьшее и наибольшее расстояния ее от Солнца равны соответственно r1 и r2. Определите момент импульса этой планеты относительно центра Солнца.

Ответ: L = (1/2)m(r1 + r2) v.

5.12. Спутник Марса Фобос обращается вокруг него по орбите радиусом 2400 км с периодом 7 ч 39 мин. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?

Ответ: 9,3.

5.13. Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы масса Земли сравнялась с массой Солнца, а расстояние между ними осталось бы прежним?

Ответ: стала бы равной 256 сут.

5.14. На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на 0,5 %. Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости?

Ответ: в 10 раз.

5.15. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите равна К. Чему равна его потенциальная энергия?

Ответ: -2К.

5.16. Космический корабль движется по круговой орбите радиусом R вокруг Земли со скоростью v, вдвое большей скорости свободного движения по той же орбите. Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса m?

Ответ: 3mv2/4R.

5.17. Наибольшее расстояние от Солнца до кометы Галлея равно 35,4 радиуса земной орбиты, а наименьшее – 0,6. Прохождение ее вблизи Солнца наблюдалось в 1986 году. В каком году произошло ее предыдущее прохождение?

Ответ: в 1910 г.

5.18. Спутник имеет перигей над Южным полушарием Земли на высоте около 500 км, а апогей – на высоте около 40000 км над Северным полушарием. Каково отношение угловых скоростей обращения этого спутника в перигее и апогее?

Ответ: 45.

5.19. Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массой m, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях r1 и r2 от ее центра так, что трос всегда направлен вертикально. Масса Земли М.

Ответ:

5.20. Определите минимальный период обращения спутника нейтронной звезды, если известно, что ее плотность r = 1017 кг/м3.

Ответ: 1,2×10-3 с.

5.21. Вес тела на экваторе астероида на 10 %  меньше веса на полюсе. Каков период обращения астероида вокруг своей оси, если астероид представляет собой шар с плотностью вещества r = 5×103 кг/м3.

Ответ: 280 мин.

5.22. Определите вес тела массой m = 1 кг, находящегося между Землей и Луной на расстоянии 108 м от центра Земли.

Ответ: 40 мН.

5.23. Найдите сумму кинетической и потенциальной энергии планеты массой m, обращающейся вокруг Солнца по эллипсу, большая полуось которого равна а.

Ответ:

5.24. Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в полете?

Ответ: » 69 мин.

5.25. Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала на Землю через неделю, вторая – через 30 дней. Определите, на сколько различались их начальные скорости.

Ответ: » 70 м/с.

 

 

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

1.1. Что является причиной изменения параметров вращательного движения?

1.2. Как определить момент силы относительно центра и относительно оси вращения?

1.3. Сформулируйте принцип суперпозиции моментов сил.

1.4. Сформулируйте условия равновесия тел.

1.5. Как определить момент импульса летящей прямолинейно материальной точки?

1.6. Что называют моментом импульса (моментом количества движения) вращающихся систем?

1.7. Запишите основной закон динамики вращательного движения.

1.8. Обоснуйте закон сохранения момента импульса, используя основной закон динамики вращательного движения.

1.9. Что называют моментом инерции тела и какую роль он играет в динамике вращательного движения?

1.10. Поясните принцип расчета момента инерции тел произвольной формы относительно неподвижной оси.

1.11. Как выразить момент импульса через момент инерции системы?

1.12. Сформулируйте частный случай основного закона динамики вращательного движения при неизменном моменте инерции.

1.13. Сформулируйте теорему Штейнера.

1.14. Как рассчитать работу, совершаемую системой (над системой) при вращательном движении?

1.15. Чему равна кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в поступательном и вращательном движении?

1.16. Сопоставьте между собой динамические параметры поступательного и вращательного движения.

1.17. Что называют гироскопом и где его применяют?      

1.18. Что такое прецессия гироскопа и какова ее количественная характеристика?

 

 

 

1.19. Диск посажен на неподвижную ось. К нему приложены пары сил F1и F2 так, как показано на рисунке. Причем модули сил равны F1 = F2 = F1¢ = F2¢¢. В каком случае угловое ускорение будет большим (одинаково).

 

 

 

1.20. На вершине наклонной плоскости находятся три предмета: сплошной цилиндр, обруч и шар. Массы и радиусы всех трех предметов одинаковы. Предметы начинают скатываться без проскальзывания. Какой из них скатится раньше остальных и какой придет к финишу последним?

1.21. По какой формуле можно вычислить момент инерции произвольного по форме тела (см. рисунок) относительно оси ОО¢?      

1)     2)

3)

 

 

 

 

1.22. Будет ли сохраняться момент импульса системы «Земля – Луна» относительно Солнца, если пренебречь влиянием других планет на их движение?

 

1.23. На рисунке представлены графики зависимости моментов инерции двух тел от квадрата расстояния между центром масс и фиксированной осью вращения Z. Что можно сказать о собственных моментах инерции J0(1,2) и их массах (m1,2)?

1.24. На рисунке приведены две механические системы. Массы и размер l у них одинаковы. Сравните между собой: а) моменты инерции; б) моменты импульсов.

 

 

 

 

1.25. В предыдущей задаче сравните: а) модули импульсов; б) кинетические энергии систем.

 

2.1. Момент силы относительно центра вращения задан определителем  Найдите: а) модули момента силы относительно центра вращения; б) момент силы относительно оси Z.

Ответ: а)  |M| = 44 Н×м; б) Мz = 18 Н×м.

2.2. Момент импульса частицы относительно центра вращения задан определителем:  Определите: а) скорость частицы; б) модуль момента импульса относительно центра вращения; в) момент импульса относительно оси Z.

Ответ: а) v = 47,4 м/с; б) |L| 14,4 кг×м2/с; в) Lz = 13 кг×м2/с.

2.3. К телу с закрепленной осью Z приложена сила F =   = 3i + 4j + 5k в точке, отстоящей от оси Z на расстоянии          d = 0,5 м, где i, j, k – орты осей x¢, y¢, z¢ системы координат, начало которой совпадает с точкой приложения сил (см. рисунок). Найти момент силы относительно оси Z.

Ответ: М = 2 Н×м.

 

 

2.4. Два небольших искусственных спутника равной массой вращаются вокруг Земли по круговым орбитам. Расстояние спутников от поверхности Земли равно соответственно R1 и R2. Определите момент импульса первого спутника как функцию (m, MЗ, G и RЗ).

Ответ:

2.5. Лестница прислонена к стене. Угол между лестницей и полом медленно уменьшается. Если коэффициент трения лестницы о пол m = 0,25, то при каком минимальном угле лестница начнет скользить? Считать, что трение между лестницей и стеной отсутствует.                                                        

 Ответ: q = 63 °.

2.6. Сила, приложенная к телу, выражается зависимостью F = 2,1i + 3,4j (Н). Чему равен момент этой силы относительно оси Z, если точка приложения этой силы имеет координаты: х = 4,2 м, y = 6,8 м, z = 0?                                           

  Ответ: Мz = 0.

2.7. Горизонтально расположенный обруч радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени задается уравнением:  w = А + Bt, где А = 5 рад/с; В = 8 рад/с. Найти: а) момент силы, приложенной к обручу;          б) момент импульса на третьей секунде.

Ответ: М = 1,6 Н×м; L = 5,8 кг×м2/с.

2.8. Однородный диск массой m = 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости. Уравнение вращения имеет вид: j = 5 + 4t2t3 рад (время в секундах). По какому закону будет меняться момент силы, действующей на шар, и каково его значение при t = 2 с? Рекомендации. Диск разбить на круговые элементы, ширина которых стремится к нулю, а момент силы определить как сумму элементарных моментов.

Ответ: М = mR2(4 – 3t); Mt=2 = -0,8 Н×м.  

2.9. На столе лежит стержень длиной l = 10 см. Перпендикулярно стержню летит шарик из пластилина  со скоростью v = 20 м/с массой 20 г и попадает в конец стержня. Какой момент импульса был передан стержню при соударении?         

Ответ: 8×10-2 кг×м2/с.

2.10. Какую силу следует приложить к рукоятке (см. рисунок), чтобы поднять груз массой m?   

Ответ:  

2.11. На шарик действует сила, касательная к его боковой поверхности, которая изменяется по закону F = At + Bt2 Н, где А = 10 Н/с; В = -2 Н/с2. Через какое время после начала движения маховик остановится?                                    

Ответ: t = 7,5 с.

2.12. Шарик массой 10 г находится в стакане. Вращая стакан, шарик раскрутили так, что он стал иметь 10 об/с. Систему предоставили самой себе. Через Dt =      = 10 с шарик остановился. Определить силу трения шарика о дно и стенки стакана.     

Ответ: Fтр = 6,28×10-2 Н.

2.13. Как изменится момент импульса вращающейся системы, если на нее действует в течение 10 с момент силы трения равный 10 Н×м.                           

 Ответ: DL = 100 кг×м22.

2.14. На диск, вращающийся с угловой скоростью w = 100 рад/с, в течение t =    = 10 с действует тормозящая сила F = 5 Н. Какой будет угловая скорость диска после действия силы, если его радиус 10 см, а масса 5 кг?                                     

Ответ: w2 = 50 рад/с.

2.15. Маховик в виде обруча на спицах приводится в движение через приводной ремень двигателем мощностью N. Масса маховика рассредоточена по ободу маховика и равна m. Радиус маховика R. Определить число оборотов маховика через время t. Считать, что потерь мощности нет.          

Ответ: n =

2.16. Момент силы, действующий на маховик по закону М = а + bt2, где а =        = 0,5 Н×м; b = 0,5 Н×м/с2. Определить массу маховика, если известно, что его радиус R = 0,4 м и что угловое ускорение стало равным e = 4,5 с-2, через Dt = 2 с после начала действия вращательного момента.                   

Ответ: m = 6,2 кг.

2.17. На маховик действует вращающий момент М = 140 Н×м. В результате маховик получил угловое ускорение e = 1 с-2. Определить радиус маховика, если его масса m = 300 кг.         

Ответ: R = 0,68 м.

2.18. Зависимость момента количества движения вращающейся системы относительно неподвижной оси определяется уравнением: L = act2. Определите зависимость w = f(t) и каким будет движение, если с = 3а (ускоренным, замедленным).

                  Ответ:  замедленным.

2.19. Гироскоп одним концом закреплен в подшипнике (см. рисунок). На другой конец гироскопа подействовали силой F = 10 Н. Считая, что элементарное угловое смещение оси вращения в направлении действия силы равно dq, определите угловую скорость прецессии гироскопа, если известно, что его длина l = 20 см, а момент импульса L0 = 1,5 кг×м2/с.

                                                             Ответ: W = 1,3 рад/с.

2.20. На горизонтальную ось насажан шкив на спицах. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз m1. Опускаясь равноускоренно, груз прошел за первые 3 с расстояние h = 1,8 м. Масса шкива m = 480 г равномерно распределена по ободу. Используя основной закон динамики вращательного движения, определите массу подвешенного к шнуру груза.          

 Ответ: m1 » 430 г.

2.21. Найти момент инерции равностороннего треугольника, сторонами которого являются однородные стержни длиной l = 20 см и массой m = 10 г, относительно оси, проходящей через пересечение высот этого треугольника и перпендикулярно его плоскости.                                                         

Ответ: J = 2×10-4 кг×м2.

2.22. В однородном диске массой m = 1 кг и радиусом R = 30 см вырезано круговое отверстие диаметром d = 20 см. Центр отверстия удален от оси диска на расстояние l = 15 см. Определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.

Ответ: J = 4,2×10-2 кг×м2.

2.23. Найти момент инерции равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся шарики массой m = 10 г. Шарики соединены невесомыми стержнями, длины которых l = 20 см. Момент инерции определить: а) относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; б) относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин.

Ответ: J1 = 4×10-4 кг×м2; J2 = 2×10-4 кг×м2.

2.24. Найти момент инерции и момент количества движения земного шара относительно оси вращения, если принять Землю за однородный шар массой m = 5,96×1024 кг и радиусом R = 6,37×106 м.                

Ответ: J = 9,7×1037 кг×м2; L = 2×1033 кг×м2/с.

2.25. Четыре шара одинакового радиуса  R = 10 см закреплены на концах двух взаимно перпендикулярных невесомых стержней. Расстояние между центрами шаров l = 1 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Стержни пересекаются в центре их симметрии. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, в которой лежат стержни:          а) считая шары объемными телами; б) считая шары материальными точками.

                    Ответ: J1 = 1,016 кг×м2; J2 = 1 кг×м2.

3.1. Через блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы, масса которых равна m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определить силы натяжения шнура по обе стороны блока во время движения, если массу блока считать равномерно распределенной по ободу. Шнур невесом. Трением пренебречь.

Ответ:  Т1 = 3,92 Н; Т2 = 3,27 Н.

3.2. Горизонтально расположенный однородный диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Масса диска m = 5 кг, радиус R =       = 0,2 м. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением w = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.                          

 Ответ: F = 4 Н.

3.3. Найти момент инерции барабана, радиус которого равен R = 0,2 м, если известно, что груз массой m = 5 кг, прикрепленный к намотанному на барабан шнуру, опускается с ускорением а = 2 м/с2.                                      

          Ответ: J = 0,8 кг×м2.

3.4. Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый соединены тонким невысомым стержнем длиной l = 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и а) проходящей через центр масс;      б) смещенной относительно центра по перпендикуляру к стержню на расстояние l/2.

Ответ: J1 = 2×10-4 кг×м2; J2 = 4×10-4 кг×м2.

3.5. Определить момент инерции стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.                                     

Ответ: J = 1,1×10-3 кг×м2.

3.6. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом       R = 2 м, стоит человек. Масса платформы М = 200 кг, масса человека 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек пойдет вдоль ее края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы.                                                    

Ответ: w = 0,8 с-1.

3.7. На скамье Жуковского стоит в центре человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью w1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться система, если повернуть стержень в горизонтальном положении так, что его середина совпадает с осью вращения? Длина стержня l = 2,4 м, его масса m = 8 кг. Суммарный момент инерции скамьи и человека    J0 = 6,0 кг×м2.

                                               Ответ: w2 = 0,61 рад/с.

3.8. Платформа в виде диска может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек обойдет ее по краю и вернется в исходную точку? Масса платформы М = = 240 кг, масса человека m = 60 кг. Момент инерции для человека считать как для материальной точки.                                        

Ответ: j = 180 °.

3.9. Шарик массой m = 50 г, привязанный к нити длиной l = 1 м, вращается с частотой n1 = 1 об/с, описывая окружность в горизонтальной плоскости. Нить укоротили до значения l2 = 0,5 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик?    

Ответ: n2 = 4 об/с.

3.10. Однородный стержень длиной l = 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец попадает пуля массой m0 = 7 г, летящая перпендикулярно стержню, и застревает в нем. В результате стержень приобрел угловую скорость w = 3,78 рад/с. Определить массу стержня, если скорость пули равнялась v0 = 360 м/с.

Ответ: m = 2 кг.

3.11. Студент на скамье Жуковского держит на вытянутых руках гантели и вращается с угловой скоростью w1. Затем он прижимает руки к груди. В первоначальном положении расстояние между гантелями l1 = 120 см, а во втором l2 = = 20 см. Считая, что момент импульса платформы и студента много меньше момента импульса гантелей, сравните начальную и конечную угловую скорости вращения.                                              

Ответ: w1/w2 = 0,028.

3.12. Имеются две одинаковые шайбы А и Б. Шайба А лежит неподвижно на абсолютно гладкой поверхности, а шайба Б движется поступательно и вращается с угловой скоростью wБ = 2 рад/с. Определить угловую скорость вращения системы из двух шайб после соударения, если удар был центральным и абсолютно неупругим.                                                   

Ответ: w = 0,33 рад/с.

3.13. На краю платформы массой М = 200 кг и радиусом R = 2 м стоит человек, масса которого равна m = 70 кг. Платформа вращается с угловой скоростью    w1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек пойдет по ее краю со скоростью 5 км/ч относительно платформы? Рассмотреть два случая: а) человек движется по ходу вращения; б) против хода.

                                    Ответ: w1 = 0,51 рад/с; w2 = 1,49 рад/с.

3.14. В лаборатории для исследования магнитных полей используют магнитную стрелку на подставке. Муха, летящая на запад, села на конец стрелки. Определить начальную угловую скорость, приобретенную стрелкой после посадки. Принять: массу стрелки М = 20 г; длину стрелки l = 7 см; массу мухи m = 5 г; скорость полета v = 5 м/с.                                    

Ответ: w = 71,4 рад/с.

3.15. Флюгер в виде однородного  стержня может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии. Масса флюгера М = 100 г, а длина l = 20 см. Мальчик выстрелил в него из рогатки кусочком жвачки массой m =    = 30 г. Жвачка  летела под углом a = 30 ° к линии флюгера в плоскости вращения последнего, и, попав в его конец, прилипла. При этом флюгер приобрел начальную угловую скорость w = 2 рад/с. Определить жесткость резины рогатки, если мальчик растянул ее на Dх = 10 см. (Учесть, что у рогатки две резинки).                 

Ответ: k = 0,25 Н/м.

3.16. Диск весом Р катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью v. Найти кинетическую энергию диска.

Ответ:

3.17. Обруч и сплошной цилиндр поднимаются вверх по наклонной плоскости и достигают одинаковой высоты подъема. Определить отношение их линейных скоростей в начале подъема.

Ответ: v1/v2 =/2.

3.18. Маховик, обладающий кинетической энергией К = 160 Дж, останавливается под действием тормозящего момента, равного 1 Н×м. Сколько оборотов сделает маховик до полной остановки?

Ответ: N = 25,5.

3.19. Сплошной цилиндр вращается вокруг оси, совпадающей с одной из образующих цилиндра. Цилиндр имеет массу m = 10 кг и радиус R = 20 см. Угловая скорость его вращения соответствует n = 1 об/с. Определить: а) импульс цилиндра; б) его кинетическую энергию.                             

Ответ: Р = 12,56 кг×м/с; К = 11,8 Дж.

3.20. На покоящийся маховик, момент инерции которого равен J = 4,5 кг×м2, начинает действовать вращающийся момент. Сколько оборотов сделает маховик к этому моменту, когда его угловая скорость достигнет величины, соответствующей частоте n = 100 об/мин?                                                 

 Ответ: N = 3,14.

3.21. Твердое тело с моментом инерции J вращается с угловым ускорением e и мгновенной угловой скоростью w вокруг своей оси. Чему равна мощность, сообщенная телу?

Ответ: P = (1/2)Jwe.

3.22. Медный шар радиусом R = 10 см вращается, делая n = 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр масс. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения в два раза? Принять плотность меди r = 3,6×103 кг/м3.  

Ответ: А = 34,6 Дж.

3.23. С верхнего уровня наклонной плоскости одновременно скатывается без скольжения сплошной цилиндр и шар с одинаковыми массами и радиусами. Найти отношение скоростей этих тел в любой точке наклонной плоскости.     

    Ответ: vц/vш = .

3.24. Плотность железного маховика r1 = 8×103 кг/м3, а маховика из плавленого кварца r2 = 2,8×103 кг/м3. Оба маховика имеют одинаковые прочности на разрыв и одинаковые массы. Каково отношение максимальных запасов энергии для этих маховиков? Известно, что максимальная кинетическая энергия зависит от предела прочности на разрыв по уравнению  где V – объем; s - предел прочности.                     

Ответ: К1/К2 = 0,35.

4.1. Вокруг горизонтальной оси может вращаться барабан радиусом R и моментом инерции J. На барабан намотан гибкий невесомый шнур. По шнуру вверх лезет обезьяна массой m. Определите ее ускорение, если ее скорость относительно Земли постоянна.                                                            

Ответ:

4.2. Уравнение силы, приложенной к частице, имеет вид F = 3i + 1j (Н). Чему равен момент силы относительно точки с координатами, определяемыми радиусом-вектором roo¢ = 5j, если известно, что относительно начала координат (точки О) момент силы M0 = 10k. Изобразите расположение точки О¢, силы F и моментов M0 и M0¢.                                 

Ответ: М0¢ = 25k Н×м.

4.3. Вращающийся с угловой скоростью w0 = 40p рад/с сплошной однородный цилиндр радиусом R = 0,2 м ставят без начальной поступательной скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол a = 30 ° с горизонтом и начинают вкатывать вверх. Определите время, в течение которого цилиндр достигнет наивысшего положения на наклонной плоскости.

Ответ:  с.

4.4. Сила F = 1,0 Н приложена к вершине куба со стороной а = 0,2 м вдоль его ребра. Найти момент силы относительно вершин куба.        

Ответ: M1 = 0; M2 = 0,2i; M3 = -0,2j; M4 = 0,2(ij).

4.5. Тонкий однородный стержень длиной l = 5 м и массой m = 500 кг лежит на двух опорах, расположенных по его концам. Одну из опор убрали. Какова будет максимальная нагрузка на оставшуюся опору?

                                               Ответ: 1226 Н.

4.6. Схема дисковой мельницы показана на рисунке. Цилиндрический каток (бегун) вращается вокруг вертикальной оси ОО¢ с угловой скоростью W, соответствующей n = 1 об/с, и катится по горизонтальной поверхности. Радиус бегуна 0,5 м и масса m = 10 кг. Определить полную силу давления бегуна на дно мельницы.            

Ответ:  Н.

4.7. Концы тонкой нити плотно намотаны на ось радиуса r = 1 см диска Максвелла и прикреплены к горизонтальной штанге. Когда диск раскручивается, штангу поднимают так, что диск остается все время на одной высоте. Масса диска М = 2 кг и радиус R = 5 см. Масса стержня оси пренебрежимо мала. Найти натяжение каждой нити и ускорение штанги.   

Ответ: Т = 9,8 Н; а = 0,78 м/с2.

4.8. На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a = 30° с горизонтом, находится катушка с ниткой, конец которой прикреплен к вертикальной стенке так, что нитка параллельна наклонной плоскости. Масса катушки m = 200 г, ее момент инерции относительно собственной оси J = 0,45 г×м2, радиус намотанного слоя ниток r = 3,0 см. Найти ускорение оси катушки.

Ответ: м/с2.

4.9. Однородный сплошной цилиндр радиусом R может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, подвешенной к потолку. На цилиндр в один ряд намотан тонкий шнур длиной l и массой m. Найти зависимость углового ускорения цилиндра от длины Х свешивающегося шнура при раскручивании.

Ответ:

4.10. По шару массой m = 5 кг и радиусом R = 10 см, лежащему на гладкой горизонтальной поверхности, быстро наносят удар в горизонтальном направлении, сообщая ему импульс Р = 10 Н/с. Высота удара над центром шара равна R/2. Найти скорость центра масс шара после удара и его частоту вращения.

Ответ: v = 0,9 м/с; n = 1,4 об/с.

4.11. К однородному стержню массой m = 5 кг и длиной l = 1 м приложены две силы F1 и F2 (см.  рисунок). Найти ускорение центра масс стержня и его угловое ускорение. Как изменится ответ, если силу F2 приложить к точке А? Модули сил соответственно равны |F1| = 2 Н; |F2| = 3 Н.

 

 

4.12. Маховик в виде диска радиусом R и массой М может вращаться вокруг горизонтальной оси. На его цилиндрическую поверхность намотан шнур. К другому концу шнура привязан груз массой m. Груз подняли на высоту h и отпустили свободно. После падения с высоты h груз натянул шнур и привел маховик во вращательное движение. Какую угловую скорость приобрел при этом маховик?

Ответ:

4.13. Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара v1 = 10 см/с, после удара v2 = 8 см/с. Найти количество тепла, выделившееся при ударе.                     

 Ответ: Q = 2,52 Дж.

4.14. Два горизонтально расположенных диска вращаются вокруг общей оси. Ось проходит через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны: J1 = 5 кг×м2, J1 = 10 кг×м2, а угловые скорости: w1 = 2p с-1  и w2 =       = p с-1. После падения верхнего диска на нижний, благодаря трению между ними, оба диска через некоторое время начинают вращаться как одно целое. Найти общую угловую скорость системы из двух дисков и работу, которую совершили силы трения.

Ответ: w = 1,3p с-1, А = 16,4 Дж.

4.15. На гладкой горизонтальной поверхности движется небольшая шайба со скоростью v. Двигаясь перпендикулярно к стержню, шайба ударяет абсолютно упруго стержень в конец. Масса стержня в h раз больше массы шайбы, а его длина равна l. Определить: а) скорость шайбы и угловую скорость вращения стержня после столкновения; б) значение h, при котором скорость шайбы после удара будет равна нулю; в) значение h, при котором шайба изменит направление движения на обратное.

Ответ: а)   б) h = 4; и) h > 4.

4.16. Корабль движется  со скоростью v = 36 км/ч по дуге радиусом R = 200 м. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипник со стороны вала с маховиком, которые имеют момент инерции относительно оси вращения J = 3,8×103 кг×м2 и делают  n = 300 об/мин. Ось вращения ориентирована вдоль корабля.

Ответ: М = 6 кН×м.

4.17. Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент инерции ротора турбины относительно собственной оси J = 240 кг×м2. Найти добавочную силу давления на рельсы, обусловленную гироскопическими силами, когда локомотив движется по закруглению радиусом R = 250 м со скоростью v = 50 км/ч. Расстояние между рельсами l = 1,5 м. Турбина вращается с частотой n = 1500 об/мин.

Ответ: Fдоб = ± 14 кН.

На наружный рельс давление увеличивается, на внутренний – уменьшается.

4.18. С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R = 3 м, и не оторваться в верхней точке петли? Масса велосипедиста с велосипедом М = 75 кг, причем на массу колес приходится m = 3 кг. Колеса считать обручами.                    

Ответ:  м.

4.19. Система состоит из груза m1 = 1 кг, невесомого блока и сплошного цилиндра массой m2 = 10 кг и радиусом R = 10 см (см. рисунок). Груз m1 движется по горизонтальной плоскости без трения. Одновременно с цилиндра сматывается шнур. Определите: а) ускорение центра масс цилиндра; б) ускорение груза m1;  в) силу натяжения нити; г) угловое ускорение цилиндра.

Ответ:

а)  м/с2; б) м/с2;

в)  Н; г)  с-1.

4.20. Сплошной однородный диск радиусом R = 10 см, имеющий начальную угловую скорость w0 = 50 рад/с (относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через центр масс), кладут на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов сделает диск до остановки, если коэффициент трения между поверхностью и диском m = 10-1 и не зависит от угловой скорости вращения диска?

Рекомендации. Примите метод дифференцирования и интегрирования.                                                            

Ответ:

4.21. Пользуясь приемом интегрирования, выведите формулу для определения момента инерции шара.                       

Ответ: 

4.22. На вершине наклонной плоскости длиной l и углом наклона a находится сплошной цилиндр радиусом r. Цилиндр скатывается, не проскальзывая. Найти скорость центра масс внизу, если коэффициент трения качения равен k. Получить численное значение при условиях: l = 1 м, a = 30 °, r = 10 см, k = 5×10-4 м. Трение качения обусловливает сцепление цилиндра с поверхностью, не давая цилиндру проскальзывать. Сила трения качения

Ответ:  м/с.

4.23. Среднюю широту распространения льда на Земле можно принять равной 85 ° с.ш. и ю.ш. Если весь лед в приполярных областях растает, то талая вода повысит уровень Мирового океана на DR = 61 м. Пренебрегая неравномерным распределением талой воды по поверхности, а также моментом инерции льда до таяния, определить на сколько увеличится длительность суток. Землю считать однородным шаром и принять радиус Земли RЗ = 6370 км, массу Земли     МЗ = 6×1024 кг, плотность воды r = 103 кг/м3.                                        

Ответ:  с.

4.24. Найти кинетическую энергию гусеницы трактора, движущегося со скоростью v = 36 км/ч, если масса гусеницы m = 300 кг.

Ответ: К = 30 кДж.

4.25. Однородный шар массой     m = 5 кг и радиусом r = 10 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, вращаясь вокруг оси симметрии. При этом центр шара движется со скоростью v = 5 м/с по окружности радиуса R =   = 40 см (см. рисунок). Определить кинетическую энергию шара.

Ответ:  Дж.

 

 

 

Величина

Числовое значение

Постоянная тяготения           

G

6,67×10-11 м3/(кг×с2)

Масса покоя протона  

mР

1,672×10-27 кг

Масса покоя нейтрона

mН

1,675×10-27 кг

Средний радиус Земли

RЗ

6,37×106 м

Средняя плотность Земли

rЗ

5,5×103 кг/м3

Масса Земли

МЗ

5,96×1024 кг

Радиус Солнца

RC

6,95×108 м

Масса Солнца   

МС

1,97×1030 кг

Радиус Луны

RЛ

1,74×106 м

Масса Луны

МЛ

7,3×1022 кг

Среднее расстояние между центрами Земли и Луны

 

RЗ-Л

 

3,84×108 м

Среднее расстояние между центрами Земли и Солнца

 

RЗ-С

 

1,5×1011 м

Период обращения Луны вокруг Земли

 

ТЛ-З

 

27 сут 7 ч 43 мин

 

НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ  СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

 

1.1. Какую мощность Р развивает сила Кориолиса?

1.2. Какой рельс изнашивается сильнее в Северном полушарии (правый или левый)?

1.3. В какую сторону (влево или вправо относительно своего направления) отклоняются пассатные ветры, притекающие к экватору, в Северном полушарии и в Южном?

1.4. Когда в каком-нибудь месте получится минимум атмосферного давления, возникают течения воздуха (ветры), которые должны были бы направляться со всех сторон к месту минимума давления, но на деле наблюдается образование вихревого расположения ветров. По часовой или против часовой стрелки закручен вихрь «циклона» в Северном полушарии?

1.5. Какой берег (левый или правый) сильнее подмывают реки Северного полушария? Зависит ли это от направления реки? Зависит ли это явление от скорости течения воды в реках?

1.6. Поезд движется вдоль параллели с такой скоростью, что результирующая сил инерции обращается в нуль. В каком направлении двигался поезд?

1.7. На экваторе с некоторой высоты падает тело без начальной скорости относительно Земли. В какую сторону отклоняется тело при падении?

1.8. Пусть gК – кажущееся ускорение силы тяжести на экваторе, определенное в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей с угловой скоростью w. Чему равна истинная величина ускорения силы тяжести gК после введения поправки на центробежную силу инерции?

1.9. На экваторе произведено два выстрела из ружья. Один – в направлении вращения Земли, второй – против вращения. Какая пуля пролетит большее расстояние относительно Земли? Скорость пули в момент выстрела параллельна Земле.

1.10. Какую работу совершает над частицей кориолисова сила при перемещении частицы относительно вращающейся системы отсчета из точки 1, отстоящей от оси вращения на расстояние r1, в точку 2, отстоящую от оси вращения на расстояние r2?

1.11. Шарик массой m движется с относительной скоростью v¢ вдоль жесткого стержня, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, перпендикулярной к плоскости вращения. Чему равна сила бокового давления шарика на стержень.

1.12. Как направлена сила бокового давления (относительно направления вращения), когда шарик: 1) приближается к оси вращения; 2) удаляется от оси вращения (см. вопрос 1.11)?

1.13. В каком направлении (если смотреть сверху) поворачивается плоскость качения маятника Фуко, помещенного на Северном полюсе Земли?

1.14. Представим себе, что в земном шаре просверлен канал по диаметру в плоскости экватора. Каково направление силы давления на стенку канала со стороны тела, падающего по нему?

1.15. По часовой или против часовой стрелки закручен вихрь «антициклона» в Северном полушарии? В какую сторону отклоняется воздух, движущийся от центра этой зоны?

1.16. Относительно горизонтально расположенного диска, вращающегося с угловой скоростью w0, тело, лежащее на диске, находится в покое. Масса тела равна m, расстояние от оси вращения r. а) Какие силы действуют на тело в неподвижной системе отсчета? б) В какой системе отсчета к предыдущим силам добавится только центробежная сила инерции? в) В какой системе отсчета появится еще и сила Кориолиса?

1.17. Неинерциальная система отсчета S ¢ совпадает в момент t = 0 с инерциальной системой S. В этот момент система S ¢ начинает двигаться вдоль оси Х с ускорением а. Как положение Х ¢ материальной точки в системе S ¢ связано с ее положением Х в системе отсчета S? Написать относительно системы отсчета S уравнение движения материальной точки, находящейся под действием постоянной силы F. Преобразовать это уравнение для системы S ¢.

1.18. Две неинерциальные системы отсчета движутся с постоянной относительной скоростью. Что можно сказать о приложенных силах и силах инерции?

1.19. Чему равен период колебаний Т ¢ математического мятника, находящегося в неинерциальной системе отсчета, движущейся с постоянным ускорением а относительно инерциальной системы, если в инерциальной системе отсчета период колебаний равен Т0?

1.20. Изменится ли период колебаний груза массы m, подвешенного на пружине с жесткостью k, если его поместить в неинерциальную систему отсчета (см. вопрос 1.19)?

1.21. Какую работу совершает над частицей центробежная сила инерции при перемещении частицы с массой m (относительно системы отсчета, вращающейся с угловой скоростью w) из точки 1, отстоящую от оси вращения на расстояние r1, в точку 2, отстоящей от оси вращения на расстояние r2?

1.22. Может ли сила Кориолиса изменить скорость частицы?

1.23. Как изменится модуль центробежной силы инерции, если скорость вращения системы отсчета увеличить в n раз?

1.24. Чему равна сила Кориолиса в случае, когда скорость частицы параллельна оси вращения системы отсчета?

1.25. Из орудия произведен выстрел в направлении на восток. К югу или к северу отклонится снаряд от плоскости стрельбы?

 

2.1. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной l = 60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти наименьшую скорость вращения, при которой вода не выливается из ведерка в верхней точке траектории. Задачу рассмотреть с точки зрения вращающейся системы отсчета.                  

Ответ: 2,42 м/с.

2.2. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка 3 м, начала подниматься с ускорением 1,3 м/с2. Через 1 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти время свободного падения болта. Задачу решить относительно системы отсчета, связанной с лифтом.                                     

Ответ: 0,735 с.

2.3. В ракете установлен математический маятник длиной l. Чему равен период колебаний такого маятника, если ракета начнет подниматься с Земли вертикально вверх с ускорением а. Что станет с маятником в состоянии невесомости, если ракета будет выведена на орбиту и станет искусственным спутником Земли?

Ответ:

2.4. Тело массой m = 1 кг, привязанное к нити длиной l = 1 м, равномерно вращают в вертикальной плоскости. С какой максимальной частотой можно производить вращение, чтобы нить не порвалась, если максимальный груз, который может выдержать нить, равен 25 кг. Задачу рассмотреть относительно вращающейся системы отсчета.                                              

Ответ: v = 2,44 с-1.

2.5. На экваторе с высотой h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). На какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении?                                        

 Ответ: см.

2.6. Мотоциклист совершает крутой поворот, двигаясь по дуге окружности радиусом 20 м со скоростью 20 м/с. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие? Задачу рассмотреть с точки зрения вращающейся системы отсчета.                                                                   

  Ответ: a = 63,9 °.

2.7. Горизонтально расположенный гладкий стержень АВ вращают с угловой скоростью w = 2,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню свободно скользит муфточка массой m = 0,50 кг, движущаяся из точки А с начальной скоростью v0 = 1,00 м/с. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной со стержнем) в момент, когда муфточка оказалась на  r = 50 см от оси вращения.

Ответ:  Н.

2.8. Поезд массой m = 2000 т движется на северной широте j = 60 °. Определить: а) модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль меридиана со скоростью v = 54 км/ч; б) в каком направлении и с какой скоростью должен был бы двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующих на поезд в системе отсчета «Земля», была равна нулю.        

Ответ: F = 2mvw sinj = 3,8кН (на правый рельс);

v = (wR/2) cos j = 420 км/ч.

2.9. Трамвайный вагон массой m = 5 т идет по закруглению радиусом R = 128 м. Найти силу бокового давления F колес на рельсы при скорости движения v =    = 9 км/ч. Задачу рассмотреть  с точки зрения вращающейся системы отсчета.         

Ответ: 4×106 Н.

2.10. На экваторе выстрелили вертикально вверх пулей из ружья. На какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали пуля при подъеме на максимальную высоту? Начальная скорость пули v0 = 500 м/с.                                     

Ответ:  м.

2.11. Самолет летает на постоянной высоте по окружности радиуса R с постоянной скоростью v. В кабине самолета установлены пружинные и маятниковые часы. Какое время полета t¢ покажут маятниковые часы, если это время, измеренное пружинными часами, равно t. Силу Кориолиса, ввиду ее малости, не учитывать.

Ответ: t¢ = t(1 + v4 / 4R2g2).

2.12. Тонкий стержень длины l = 1 м вращается с угловой скоростью w = 5 рад/с вокруг одного из концов, описывая круговой конус (физический конический маятник). Найти угол отклонения стержня от вертикали. Задачу рассмотреть с точки зрения вращающейся системы отсчета.                                      

Ответ: j = 54 °.

2.13. Какова должна быть наименьшая скорость мотоциклиста, для того чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 4 м по горизонтальной окружности? Коэффициент трения скольжения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра равен 0,4. Задачу рассмотреть с точки зрения вращающейся системы отсчета.

Ответ: м/с.

2.14. Через невесомый блок перекинута веревка с грузами массой m и М. Блок движется вверх с ускорением а. Пренебрегая трением на блоке, найти давление блока на ось, силу натяжения веревки и ускорения грузов.

Ответ: F = 2T;  

2.15. Человек массой m = 60 кг идет равномерно по периферии горизонтальной круглой платформы радиусом R = 3,0 м, которую вращают с угловой скоростью w = 1,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на человека со стороны платформы, если результирующая сил инерции, приложенных  к нему в системе отсчета «платформа», равна нулю.

Ответ: F = mw2R/4 = 45 Н.

2.16. Мотоциклист, масса которого вместе с мотоциклом равна    m = 500 кг, совершает крутой поворот, двигаясь по окружности радиуса R = 20 м. При этом он наклонился на угол a = 30 ° от вертикали. Найти скорость мотоциклиста и центробежную силу инерции, действующую на мотоциклиста.

Ответ: м/с; F = 2829 Н.

2.17. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с w = 5,0 рад/с, движется небольшое тело массой m = 100 г. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2, которые расположены на расстояниях r1 = 30 см и r2 = 50 см от оси вращения?                                    

Ответ: А =  Дж.

2.18. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (см. рисунок). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОО¢. Найти угол J, соответствующий устойчивому положению муфточки.

Ответ: 1) при w2R > g   q1 = 0 и q2 = arcos(J/w2R);

2) при w2R < g   q1 = 0.

2.19. Как изменится период колебаний математического маятника при перемещении его точки подвеса: 1) в горизонтальном направлении с ускорением 4,9 м/с2; 2) в вагоне, движущемся со скоростью 90 м/с на повороте пути радиусом 100 м.

Ответ: 1) Т ¢ = 0,946Т; 2) Т ¢ = 0,347Т.

2.20. На широте j = 45 ° из ружья, закрепленного горизонтально в плоскости меридиана, произведен выстрел по мишени, установленной на расстоянии l =   = 100,0 м от дула ружья. Центр мишени находится на оси ружейного ствола. Считая, что пуля летит горизонтально с постоянной скоростью v = 500 м/с, определить, на какое расстояние и в какую сторону отклонится пуля от центра мишени, если выстрел произведен в направлении: а) на север;  б) на юг.

Ответ: а) Dх = wl2 sin j/v = 1,03 мм вправо на восток;

б) Dх = 1,03 мм вправо на запад.

2.21. Во вращающейся системе отсчета частица массой m = 20 г переместилась из точки, отстоящей от оси вращения на расстояние R1 = 1 м, в точку, отстоящую на расстояние R2 = 2 м. При этом силы инерции совершили над частицей работу А, равную 2 Дж. Найти угловую скорость вращения системы отсчета.

Ответ: w = 8,165 рад/с.

2.22. Шарик массой m = 500 г, движется с относительной скоростью v¢ = 1 м/с вдоль жесткого стержня, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью 100 рад/с, перпендикулярной к плоскости вращения. Чему равна сила бокового давления шарика на стержень?                                            

 Ответ: F = 100 Н.

2.23. Поезд массой m = 3000 т движется на северной широте j = 30 °. С какой боковой силой давят рельсы на колеса поезда, если скорость поезда равна v =    = 60 км/ч и направлена вдоль меридиана? В каком направлении и с какой скоростью должен двигаться поезд, чтобы сила бокового давления была равна нулю?

Ответ: а) F = 2mvwsin j = 3,66 кН; б) wR cos j / 2 = 727,5 км/ч.

2.24. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной высоте. Под каким углом по отношению к полу салона самолета установится нить отвеса? Найти период малых колебаний математического маятника внутри самолета, если длина маятника равна l, корпус самолета наклонен к направлению горизонта под углом a.                    

Ответ:

2.25. Небольшое тело падает без начальной скорости на Землю на экваторе с высоты h = 10,0 м. В какую сторону и на какое расстояние х отклонится тело от вертикали за время падения t? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сравнить найденное значение х с разностью Ds путей, которые пройдут вследствие вращения Земли за время t точка, находящаяся на высоте h, и точка, находящаяся на земной поверхности.

Ответ: мм; ,

где wЗ – угловая скорость вращения Земли.

3.1. Вода течет по трубе диаметром d = 0,2 м, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 20 м. Найти боковое давление воды, вызванное центробежной силой. Расход воды через поперечное сечение составляет mt = 300 т/ч.                                                    

Ответ: р = 4mt /p2d2R2r.

3.2. Тело массой m1 = 1 кг находится на наклонной плоскости подвижного клина массой m2 = 5 кг. Плоскость клина составляет угол a = 30 ° с горизонтом. Найти величину силы инерции, действующей на тело массой m1 в системе отсчета, связанной с клином. Силами трения пренебречь.

Ответ: Fин = m1gsina cosa / (sin2a + m2/m1) = 0,8 Н.

3.3. Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Расстояние от оси до другого конца стержня  l = 1,5 м. На стержень надета муфта массой m = 200 г. Муфта закреплена с помощью нити на расстоянии l = 0,3 м от оси вращения. В момент t = 0 нить пережигают, муфта начинает скользить и, спустя время t = 0,5 с, слетает со стержня. Найти угловую скорость вращения стержня и силу, с которой стержень действует на муфту в момент t. Трением пренебречь.                                         

Ответ: w = 4,59 рад/с; F = 12,5 Н.

3.4. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью w. По диску движется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращения частица. Найти мгновенное значение:   а) скорости частицы v¢ относительно диска, при которой сила Кориолиса будет уравновешиваться центробежной силой инерции. Выразить v¢ через мгновенное значение радиуса-вектора r, проведенного к частице из центра диска; б) скорости частицы v относительно неподвижной системы отсчета при тех же условиях.

Ответ: а) v¢ = (1/2)[r w]; б) v = (1/2)[ w r].

3.5. По диаметру вращающегося диска движется небольшое тело массой m = 0,3 кг с постоянной относительно диска скоростью v¢ = 0,5 м/с. Когда тело находится на расстоянии r = 20 см от оси вращения диск, действует на тело силой   F = 3 Н. Найти угловую скорость вращения диска.                                       

Ответ: 1,86 рад/с.

3.6. По поверхности вращающегося с угловой скоростью w диска от его центра по радиусу начинает двигаться небольшое тело. Ускорение тела относительно диска равно а¢. Найти зависимость от времени ускорения тела относительно Земли.

Ответ:

3.7. Найти дальность полета тела, брошенного со скоростью v0 = 10 м/с под углом a = 30 ° к горизонту, в неинерционной системе отсчета, движущейся с ускорением а = 1 м/с2 в горизонтальном направлении, совпадающем с направлением полета тела.

Ответ: S = 8,3 м.

3.8. Имеется горизонтально расположенное ружье, дуло которого совпадает с осью вертикального цилиндра. Цилиндр вращается с угловой скоростью w. а) Считая, что пуля, выпущенная из ружья, летит горизонтально с постоянной скоростью v, найти смещение s точки В цилиндра, в которую попадает пуля, относительно точки А, которая находится против дула в момент выстрела. Решить задачу двумя способами: в неподвижной системе отсчета и в системе отсчета, связанной с цилиндром. б) Зависит ли результат от того, вращается ружье вместе с цилиндром или неподвижно?

Ответ: а) S = wR2/v; б) не зависит.

3.9. Горизонтально расположенный диск вращается с угловой скоростью w.Вдоль радиуса диска движется частица массой m, расстояние которой от центра диска изменяется со временем по закону r = at, где а – константа. Найти результирующий момент N сил, действующих на частицу в системе отсчета, связанной с диском. Имеется в виду момент относительно центра диска.

Ответ: N = -2ma2tw.

3.10. Горизонтально расположенный диск вращается с угловой скоростью w = 5,0 рад/с вокруг своей оси. Из центра диска с начальной скоростью v0 = 2,00 м/с движется небольшая шайба массой m = 160 г. На расстоянии r = 50 см от оси ее скорость оказалась равной v = 3,00 м/с относительно диска. Найти работу, которую совершила при этом сила трения, действующая на шайбу, в системе «диск».                                                             

Ответ: -1 Дж.

3.11. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте         j = 60 °, скорость пули v = 900 м/с, расстояние до мишени             s = 1,0 км.                                           

Ответ: h = (wS2/v) sin j = 7 см.

3.12. Груз массой М находится на столе, который движется горизонтально с ускорением а. К грузу присоединена нить, перекинутая через блок. К другому концу нити подвешен груз массой m. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов.

Ответ:   .

3.13. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом a = 30 ° к горизонту в неинерциальной системе отсчета, движущейся с ускорением а = 1 м/с2, совпадающим с направлением полета тела. Под каким углом к горизонту тело упадет на Землю?

Ответ: j = 33,2 °.

3.14. Имеется система отсчета, вращающаяся относительно инерциальной системы вокруг оси z с постоянной угловой скоростью w. Из точки О, находящейся на оси z, вылетает в перпендикулярном к оси направлении частица массой m и летит относительно инерциальной системы прямолинейно с постоянной скоростью v. Найти наблюдаемый во вращающейся системе отсчета момент импульса М(t) частицы относительно точки О. Показать, что возникновение M(t) обусловлено действием силы Кориолиса.

Ответ: M(t) = -mv2t2w.

3.15. Горизонтальный диск радиусом R вращается с угловой скоростью w вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы m. В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции Fин, действующих на частицу в системе «диск», обращается в нуль. Найти: а) ускорение а¢ частицы относительно диска; б) зависимость Fин от расстояния до оси вращения.

Ответ: а) а¢ = w2R; б) Fин = mw2r

3.16. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью w = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массой m = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью v¢ = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии r = 30 см от оси вращения.                             

Ответ:  Н.

3.17. По поверхности вращающегося с угловой скоростью w диска из центра по радиусу начинает ползти жук. Расстояние от жука до оси вращения зависит от времени как r = bt 2. Определить ускорение жука как функцию времени.

Ответ:

3.18. Через блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута веревка, соединяющая грузы с массой m и М. Стол движется вниз с ускорением а. Найти ускорение груза m. Трением и массой блока пренебречь.                                     

Ответ:

 

 

3.19. Стержень ОА вращается относительно вертикальной оси ОВ с угловой скоростью w. Угол между осью и стержнем a. По стержню без трения скользит муфта массой М, связанная с точкой О пружиной жесткостью k. В недеформированном состоянии диска длина пружины l0. Определить положение муфты при вращении.

Ответ: l = (kl0Mg cosa)/(kMw2sin2 a).

3.20. Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростью     w = 1,00 рад/с. Расстояние от оси до конца стержня l = 1 м. На стержень надета муфта массой m = 0,1 кг. Муфта закреплена с помощью нити на расстоянии l0 = = 0,1 м от оси вращения. В момент t = 0 нить пережигают, и муфта начинает скользить по стержню практически без трения. Найти: а) время t, спустя которое муфта слетит со стержня; б) силу F, с которой стержень действует на муфту в момент t; в) работу А, которая совершается над муфтой за время t в неподвижной системе отсчета.

Ответ: a) 3 c;

б) Н;   в) А = mw2(ll0) = 0,1 Дж.

3.21. Горизонтально расположенный гладкий стержень АВ вращают с угловой скоростью w = 2 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню свободно скользит муфточка массой m = 0,5 кг, движущаяся из точки А с некоторой начальной скоростью. В тот момент, когда муфточка находится на расстоянии r = 50 см от оси вращения, на нее действует сила Кориолиса, равная 3 Н. Найти начальную скорость муфточки.

Ответ:  м/с.

3.22. Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От центра пластинки к ее краю ползет строго вдоль радиуса маленький жучок. Его скорость относительно пластинки  постоянна по величине  и составляет 10 см/с. При каком минимальном коэффициенте трения жучка о поверхность пластинки он сумеет добраться, таким образом, до края пластинки?

Ответ: m = 0,14.

3.23. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиусом R. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение а0, и тело начало скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва.

Ответ:

3.24. Гладкий горизонтальный диск вращают с угловой скоростью w = 5,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой  m = 60 г и сообщили ей толчком горизонтальную скорость v0 = 2,6 м/с. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета «диск» через t = 0,50 с после начала движения.                            

 Ответ:  Н.

3.25. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящуюся точно в северном направлении, и выстрелили. На каком расстоянии s находилась мишень, если пуля, попав в мишень, отклонилась на 7 см от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте j = 60 °, скорость пули v =    =  900 м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.

Ответ:  м.

 

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ  ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1.1. В каком случае неверна механика Ньютона?

1.2. В чем состоят важнейшие понятия теории электромагнетизма?

1.3. В каких случаях скорости сравнимы со скоростями света?

1.4. В каких случаях необходимо использовать релятивистские соотношения между массой, энергией и импульсом?

1.5. В каких опытах доказывается конечность скорости света?

1.6. Какие выводы следуют из опыта Майкельсона – Марли?

1.7. Расскажите об опыте Бертоуци и что из него следует?

1.8. Принцип относительности Эйнштейна.

1.9. Запишите преобразования координат и времени по Эйнштейну.

1.10. Дайте понятие четырехмерного интервала.

1.11. Лоренцово сокращение длины.

1.12. Связь между длительностями событий в различных инерциальных системах отсчета.

1.13. Одновременность событий в СТО.

1.14. Сложение скоростей в СТО.

1.15. В чем состоит оптический эффект Доплера?

1.16. В чем состоит смысл парадокса близнецов?

1.17. Дайте понятие четырехмерного вектора.

1.18. Запишите инвариант для массы, импульса и энергии.

1.19. Закон сохранения четырехмерного вектора энергии – импульса.

1.20. В чем состоит смысл взаимосвязи массы и энергии.

1.21. В чем состоит ограничение на величину энергии, которая может быть извлечена из массы покоя?  

1.22. Какова величина дефекта масс при кулоновском взаимодействии?

1.23. Запишите схему аннигиляции электрона с позитроном.

1.24. Может ли кинетическая энергия превратиться в массу покоя?

1.25. Как вычислить кинетическую энергию свободной частицы?

 

2.1. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза? 

Ответ: 2,6×108 м/с.

2.2. Стержень, собственная длина которого равна l0, покоится в системе отсчета К ¢: он расположен так, что составляет с осью х¢ угол j. Какой угол составляет этот стержень с осью х другой системы отсчета К? Чему равна длина этого стержня в системе К?

Ответ:  

2.3. В системе К ¢ покоится стержень, собственная длина l0  которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол   j0 = 45 ° с осью Х¢. Определите длину l стержня и угол j в системе К, если скорость v0 системы К  относительно К¢ равна 0,8 с.

Ответ: l = 0,825 м;

2.4. Какое расстояние проходит p+ -мезон при b = 0,73 за среднее время его жизни?  Среднее время жизни t0 = 2,5×10-8 с.       

Ответ:  800 см.

2.5. Какое расстояние прошел бы мезон при отсутствии релятивистских явлений? Собственное время жизни t принять равным  2,5×10-8 с.                    

Ответ:  500 см.

2.6. Найти расстояние, которое пролетела в К-системе отсчета нестабильная частица от момента ее рождения до распада, если ее время жизни в этой системе отсчета Т = 3 мкс, а собственное время t = 2,2 мкс.                                                           

Ответ: 0,6 км.

2.7. Мезоны космических лучей достигают поверхности Земли с самыми разнообразными скоростями. Найти релятивистское сокращение размеров мезона, имеющего скорость, равную 95 % скорости света.                                                             

 Ответ: 68,8 %.

2.8. Чему равно релятивистское сокращение размеров протона в синхрофазотроне с кинетической энергией 10000 МэВ?

Ответ: 91,5 %.

2.9. Космический корабль движется относительно неподвижного наблюдателя на Земле со скоростью v = 0,99 с. Найти, как изменяются линейные размеры тел и плотность вещества в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя.

Ответ: l = l0×0,14.

2.10. В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью  v = 0,99 с, пролетел от места рождения до точки распада расстояние l = 3 км. Определить: 1) собственное время жизни мезона; 2) расстояние, которое пролетел мезон в К-системе с «его точки зрения».

 Ответ:   мкс;  км.

2.11. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Dl =   = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l0 которого равна 1 м?                                               

Ответ: 134 км/ч.

2.12. Космический корабль с постоянной скоростью v = (24/25) с движется по направлению к центру Земли. Какое время в системе отсчета, связанной с Землей, пройдет на корабле за промежуток времени Dt¢ = 7 с, отсчитанного по корабельным часам? Вращение Земли и ее орбитальное движение не учитывать.

Ответ: 24 с.

2.13. Фотонная  ракета движется относительно Земли со скоростью v = 0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?                  

Ответ: 1,25.

2.14. Две нестабильные частицы движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с одинаковой скоростью v = 0,99 с. Расстояние между частицами в этой системе отсчета l = 12 м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в К ¢-системе отсчета, связанной с ним. Найти:   1) промежуток времени между моментами распада обеих частиц в исходной    К-системе; 2) какая частица распалась позже в К-системе.

Ответ: t1t2 = 2 мкс.

2.15. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость v0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время t0 = 0,5 года?                               

Ответ: t = 0,57 с.

2.16. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К¢, движущиеся относительно друг друга. При какой скорости u их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность t0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью до Dt = 10 пс.

Ответ: 1,34 км/с.

2.17. В лабораторной системе отсчета (К-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l = 75 м. Скорость v пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни t0 мезона.                                     

Ответ: 25 нс.

2.18. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95 % скорости света. Какой промежуток времени по часам земного наблюдателя соответствует одной секунде «собственного времени» мезона?             

Ответ: Dt = 3,2 с.

2.19. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99 % скорости света?                              

Ответ: в 7,1 раза.

2.20. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t0 = 10 нс. Найти путь, который пройдет эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни t = 20 нс.

Ответ:  5 м.

2.21. В лабораторной системе отсчета (К-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l = 75 м. Скорость v пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни t мезона.                       

Ответ: t = 25 мс.

2.22. Мю-мезоны, экспериментально обнаруживаемые на дне глубоких шахт, образуются в земной атмосфере и успевают до распада пролететь расстояние = 6×103 м при скорости v = 0,955 с. Найти время жизни мю-мезона Dt  для земного наблюдателя и собственное время жизни мю-мезона Dt0.

Ответ:  Dt » 2×10-5 с;  Dt0 » 2×10-6 с. 

2.23. Диаметр Галактики равен примерно 105 световых лет. Сколько времени потребуется протону с энергией 1010 ГэВ, чтобы пройти сквозь Галактику, с точки зрения наблюдателя, связанного с Галактикой, и «с точки зрения протона».  

Ответ: tГ = 105 лет; tР » 5 мин.

2.24. Мю-мезоны, экспериментально обнаруживаемые на дне глубоких шахт, образуются в земной атмосфере и успевают до распада пролететь расстояние    S = 6×103 м при скорости v = 0,955 с. Найти время жизни мю-мезона Dt  для земного наблюдателя и собственное время жизни мю-мезона Dt0.

Ответ:  Dt » 2×10-5 с;  Dt0 » 2×10-6 с. 

2.25. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99 % скорости света?                              

Ответ: в 7,1 раза.

 

3.1. Протон летит к северу со скоростью vР = 0,7 с,  альфа-частица – к югу со скоростью va = 0,2 с. Куда движется центр масс этой системы?        

                                    Ответ: к северу.

3.2. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v1 = 0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения b-частицу со скоростью v2 = 0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость u21 частицы относительно ядра.                                              

Ответ: 0,5 с.

3.3. Две частицы движутся в К-системе отсчета под углом друг к другу, причем первая со скоростью v1, а вторая со скоростью v2. Найти скорость одной частицы относительно другой. 

Ответ:

3.4. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v1 = 0,6 с и v2 = 0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u21 в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

Ответ: 1) 0,195 с; 2) 0,974 с.

3.5. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость составила 95 % скорости света?

Ответ: U = 1,1×106 В.

3.6. Две частицы движутся в К-системе отсчета под углом друг к другу, причем первая со скоростью v1, а вторая со скоростью v2. Найти скорость одной частицы относительно другой. 

Ответ:

3.7. Протон летит к северу со скоростью vР = 0,7 с,  альфа-частица – к югу со скоростью va = 0,2 с. Куда движется центр масс этой системы?        

                                    Ответ: к северу.

3.8. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со скоростями |v| = 0,9 с. Определить относительную скорость сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц.                                                     

 Ответ: 0,994 с.

3.9. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если скорость v иона относительно ускорителя равна 0,8 с.   

                                                      Ответ: 6.

3.10. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v1 = 0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения              b-частицу со скоростью v2 = 0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость u21 частицы относительно ядра.                                                

Ответ: 0,5 с.

3.11. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v1 = 0,6 с  и v2 = 0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u21 в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

Ответ: 1) 0,195 с; 2) 0,974 с.

3.12. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) скорости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную скорость сближения частиц (в с).

 Ответ: 1)0,866 с; 2) 0,9897 с.

3.13. Какую долю скорости света должна составлять скорость частицы, чтобы ее кинетическая энергия была равна ее энергии покоя?       

                                 Ответ: b = 86,6 %.

3.14. Сравните величину релятивистского и классического импульсов электрона при скорости v = (24/25) с = 0,96 с.

Ответ: g =

3.15. До какой энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать 5 %? Задачу решить для: 1) электронов; 2) протонов.

Ответ: Е1 = 2,5610-2 МэВ; Е2 = 47 МэВ.

3.16. Найти  скорость мезона, если его полная энергия в 10 раз больше энергии покоя.                              

Ответ: 2,985 м/с.

3.17. До какой энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать 5%? Задачу решить для: 1) электронов, 2) протонов,

3) дейтонов.

Ответ: 1) К = 2,56×10-2 МэВ; 2) К = 47 МэВ; 3) К = 94 МэВ.

3.18. Определить кинетическую энергию К релятивистской частицы (в m0c2), если ее импульс P = m0c.

Ответ: 0,414m0c2.

3.19. Импульс Р релятивистской частицы равен m0c. Под действием внешней силы импульс частицы увеличивается в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная?                                             

Ответ: 1) 2,98; 2) 1,58.

3.20. Релятивистская частица с массой покоя m0 и зарядом q движется в постоянном однородном магнитном поле, индукция которого В. Движение происходит по окружности радиуса R. Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по окружности.

Ответ: P = qRB; w = qB/m.

3.21. Считая, что энергия покоя электрона равна 0,511 МэВ, вычислить: 1) импульс электрона с кинетической энергией, равной его энергии покоя; 2) кинетическую энергию электрона с импульсом 0,511 МэВ/с, где с – скорость света. (В настоящее время импульсы релятивистских частиц выражают в единицах – энергия, деленная на скорость света).

Ответ: Р = 0,9 МэВ/с; К = 0,21 МэВ.

3.22. Определить импульс протона, масса которого равна массе покоя изотопа Не. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы приобрести этот импульс?

Ответ: Р » 19,6×10-19 кг×м/с2; U » 2,8×109 В.

3.23. Солнце излучает ежеминутно энергию Е = 6,6×1021 кВт.ч. Считая излучение Солнца постоянным, найти, за какое время масса Солнца уменьшится вдвое (1 кВт.ч = 3,6×106 Дж).

Ответ: t » 7×1012 лет.

3.24. Протон имеет кинетическую энергию 76 ГэВ. Найти: 1) массу; 2) скорость ускоренного протона.

Ответ: m = 24m0; v » 0,9999c.

3.25. Мощность излучения Солнца » 4×1026 Вт. На сколько уменьшается ежесекундно масса Солнца? С каким ускорением двигалось бы Солнце и какую скорость оно приобрело бы за 1 год (» 3×107 с), если бы весь свет испускался только в одном направлении (фотонный двигатель)?

Ответ: а = 6,7×10 -13 м/с2; v = 2×10 -5 м/с.

 

4.1. Найти расстояние, которое пролетела в К-системе отсчета нестабильная частица от момента ее рождения до распада, если ее время жизни в этой системе отсчета Dt = 3,0 мкс, а собственное время жизни Dt0 = 2,2 мкс.                                           

Ответ: 0,6 км.

4.2. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t0 = 10 нс. Найти путь, который пройдет эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни t = 20 нс.

Ответ: .

4.3. Стержень, собственная длина которого равна l0, покоится в системе отсчета К¢: он расположен так, что составляет с осью х¢ угол j. Какой угол составляет этот стержень с осью х другой системы отсчета К? Чему равна длина этого стержня в системе К?

Ответ: tgj¢ = Dy¢/Dx¢; .

4.4. В системе К¢ покоится стержень, собственная длина l0 которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол     j  = 45° с осью х¢. Определить длину l стержня и угол j в системе К, если скорость v0 системы К относительно К равна 0,8 с.

Ответ:  = 59°.

4.5. На сколько процентов изменятся продольные размеры протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов U = 106В?                              

Ответ:  = 66,1%;   » 0,1%.

 

4.6. Синхрофазотрон дает пучок протонов с кинетической энергией в 10000 МэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в этом пучке?                               

Ответ: b = 99,6%.

4.7. Чему равно релятивистское сокращение размеров протона в условиях предыдущей задачи?                      

Ответ: .

4.8. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Dl = 0,1 мкм. При какой относительной скорости U двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l0 которого равна 1 м.                                            

Ответ: U = 134 км/с.

4.9. Космический корабль с постоянной скоростью v = (24/25)с движется по направлению к центру Земли. Какое расстояние в системе отсчета, связанной с Землей, пройдет корабль за промежуток времени Dt¢ = 7 с, отсчитанный по корабельным часам? Вращение Земли и ее орбитальное движение не учитывать.

Ответ: 24 с.

4.10. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95 % скорости света. Какой промежуток времени по часам земного наблюдателя соответствует одной секунде «собственного времени» мезона?              

 Ответ: t = 3,2 с.

4.11. В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью  v = 0,99с, пролетел от места рождения до точки распада расстояние l = 3 км. Определить:     1) собственное время жизни мезона; 2) расстояние, которое пролетел мезон в К-системе с «его точки зрения».                                        

 Ответ: ; .

4.12. Собственное время жизни t0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l = 6 км. С какой скоростью v (в долях скорости света) двигался мезон?             

Ответ: b = 0,995.

4.13. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость U в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.                                                 

Ответ: 0,268с.

4.14. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость U в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.                                                

 Ответ: 0,268с.

4.15. При какой скорости кинетическая энергия любой элементарной частицы равна ее энергии покоя?            

 Ответ: v = 0,866с.

4.16. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в k раз превышает энергию покоя.           

Ответ: .

4.17. Отдача при гамма-излучении. Каков импульс отдачи относительно лабораторной системы для ядра Fe57, отскакивающего при испускании фотона с энергией в 14 КэВ? Является ли этот импульс релятивистским?                      

 Ответ: 7,5×10-19 г×см/с.

4.18. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастает импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n = 4 раза? 

       Ответ: 2,82.

 

4.19. Показать, что выражение релятивистского импульса через кинетическую энергию  при v << с переходит в соответствующее выражение классической механики.

4.20. Частица с массой покоя m0 и зарядом ze влетает со скоростью v в тормозящее электрическое поле. Какую разность потенциалов она сможет преодолеть?                

Ответ: U = 1209 МВ.

4.21. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от 0,6 до 0,8 с? Сравним полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.                       

Ответ: А = 0,42m0с2; А = 0,14m0с2.

4.22. Частицы с зарядами z1e  и  z2e  и с массами покоя m01 и m02 соответственно прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса частицы 1 составила 1/k массы частицы 2. Найти разность потенциалов.

Ответ:

4.23. Пара протон – антипротон может образоваться при соударении протона с кинетической энергией К » 6 ГэВ с неподвижным протоном. Найти, каковы должны быть наименьшие одинаковые энергии встречных протонных пучков для осуществления этой реакции.                                              

 Ответ: К » 0,965 ГэВ.

4.24. При делении ядра урана 92U235 освобождается энергия, равная приблизительно 200 МэВ. Найти изменение массы при делении одного киломоля урана.          

Ответ: Dm = 0,217 кг/Кмоль.

4.25. Солнце излучает ежеминутно энергию Е = 6,6×1021 кВт.ч. Считая излучение Солнца постоянным, найти, за какое время масса Солнца уменьшится вдвое (1 кВт.ч = 3,6×106 Дж).

Ответ: за 7×1012 лет.

 

 

admin
Аватар пользователя admin
Offline
Создано: 20/08/2012

ИДЗ №2

 

Индивидуальные задания из задачника

 

Чернов И.П., Ларионов В.В., Тюрин Ю.И. Физика. Сборник задач. Часть I. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: Учебное пособие. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 389 с.

 

ДАВЛЕНИЕ ГАЗА. ТЕМПЕРАТУРА И СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ

ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

 

1.1.  В чем состоит статистический и термодинамический метод анализа вещества?

1.2. Каков физический смысл, размерность и численное значение универсальной газовой постоянной R?

1.3. Запишите уравнение состояния идеального газа.

1.4. Что понимают под идеальным газом? Основные допущения, принимаемые в данной модели.

1.5. На чем основан вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов?

1.6. Что называют числом степеней свободы молекул?

1.7. Из соотношения Р = nkT получите уравнение Менделеева – Клапейрона.

1.8. Каково содержание закона о равнораспределении энергии по степеням свободы?

1.9. Как связаны давление газа и давление его среднеквадратичной скорости?

1.10. Перечислите макроскопические и микроскопические параметры, описывающие состояния вещества.

1.11. Каков физический смысл постоянной Больцмана К?

1.12. Дайте определение единицы вещества моль. Сколько молекул содержится в одном киломоле любого вещества?

1.13. Как оценить линейные размеры одной молекулы?

1.14. Что понимают под абсолютной температурой идеального газа? Получите формулу для расчета Т.

1.15. Как найти полную энергию одноатомного газа? Как выглядит уравнение состояния, если в качестве идеального газа выступают фотоны?

1.16. Как можно измерить температуру с помощью столба идеального газа?

1.17. Сколько килокалорий должен ежедневно потреблять человек, чтобы не умереть?

1.18. Как вычислить давление при наличии силы тяжести?

1.19. Как найти общее число степеней свободы молекулы? Найдите температуру, при которой «размораживаются» колебательные степени свободы водорода?

1.20. Как связана температура и средняя кинетическая энергия теплового движения атомов и молекул?

1.21. Сформулируйте закон Архимеда. Приведите пример.

1.22. Из уравнения Менделеева – Клапейрона получите связь между давлением и средней кинетической энергией теплового движения частиц газа.

1.23. Покажите, что для фотонного газа справедливо следующее соотношение: PV = 0(33)×U, где U – полная энергия фотонного газа.

1.24. В чем состоит смысл гипотезы Авогадро?

1.25. Как вычислить для молекулы среднее от квадрата ее скорости?

 

2.1. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления Р = 4×10-15 атм. Считая, что газом является азот (при комнатной температуре), найти число его молекул в 1 см3.

Ответ: 1×105 см3.

2.2. Воздух в аудитории находится при нормальных условиях. Найти число его молекул в 1 см3.

Ответ: 2,5×1019 см-3.

2.3. Определить давление, при котором 1 см3 газа содержит 2,4×1026 молекул. Температура газа равна 0 °С.

Ответ: 1,1 МПа.

2.4. Давление газа при 293 К равно 107 КПа. Каково  будет давление газа, если его нагреть при постоянном объеме до 423 К?

Ответ: 1,54×105 Па.

2.5. Давление газа при 293 К равно 107 КПа. Каково будет давление газа, если его охладить при постоянном объеме до 250 К?

Ответ: 0,91×105 Па.

2.6. Баллон электрической лампы при изготовлении заполняют азотом под давлением 50,65 КПа при температуре 288 К. Какова температура газа в горящей лампе, если давление в ней повысилось до 1,11×105 Па. Объясните практическое значение пониженного давления при изготовлении ламп.                

Ответ: Т = 633 К.

2.7. Давление в баллоне с газом равно 284 КПа. При повышении температуры на 85 К давление стало равным 101 КПа. Найти значения температуры в обоих случаях.

Ответ: Т1 = 323 К; Т2 = 238 К.

2.8. Манометр на баллоне с кислородом показывает давление   0,23 МПа в помещении с температурой 24 °С. Когда баллон вывесили на улицу (t = -12 °С), манометр показал 0,19 МПа. Не было ли утечки газа?                

                              Ответ: нет.

2.9. Находившийся в закрытом баллоне нагрели от 300 до 360 К, при этом давление возросло на 81 КПа. Определить первоначальное давление.   

Ответ: 4,1 МПа.

2.10. Давление в рентгеновской трубке при 15 °С равно 1,2 МПа. Каково будет давление в работающей трубке при 80 °С и 150 °С?

Ответ: 1,47×10-3 Па; 1,76×10-3 Па.

2.11. В баллоне содержится газ при температуре t1 = 100 °С. До какой температуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?      

Ответ: 473 °С.

2.12. В цилиндр длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении Р, начали  медленно вдвигать поршень площадью S =            = 200 см2. Определить силу F, которая будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии  h = 10 см от дна цилиндра.                                  

   Ответ: 32,3 кН.

2.13. Полый шар объемом V = 10 см3, заполненный воздухом при температуре Т1 = 573 К, соединили с чашкой, заполненной водой. Определить массу m воды, вошедшей в шар при остывании воздуха в нем до температуры Т2 = 293 К. Изменением объема шара пренебречь.                                                      

Ответ: m = 66,4 г.

2.14. В сосуде А объемом V1 = 2 л находится газ под давлением    Р1 = 3×105 Па, а в сосуде В объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением Р2 = 1×105 Па. Температура обоих сосудов одинакова и постоянна. Под каким давлением Р будет находиться газ после соединения сосудов А и В трубкой.            

Ответ: 1,7×105 Па.

2.15. Плотность некоторого газа при температуре t = 14 °С и давлении Р = 4×105 Па равна 0,68 кг/м3. Определить молярную массу m  этого газа.             

Ответ: 4 кг/моль.

2.16. Найти давление Р смеси газа в сосуде объемом V = 5 л, если в нем находится N1 = 2×1015 молекул кислорода, N2 = 8×1015 молекул азота и m = 1×10-9 кг аргона. Температура смеси Т = 290 К.

          Ответ: 20 мПа.

2.17. В баллоне находится m1 = 290 К и под давлением Р = 1,8×105 Па. Определить молярную массу смеси m.

          Ответ: m = 4,5 кг/Кмоль.

2.18. Определить наименьший объем Vmin баллона, вмещающего m = 6 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 27 °С выдерживают давление       15 МПа.                             

Ответ: 31 л.

2.19. Имеется два сосуда объемом V1 = 4 л и V2 = 5 л. Какое давление будет иметь газ, если сосуды соединить, выполнив условие Т = const. Давление в первом Р1 = 2 атм; во втором – Р2 = 1 атм.

          Ответ: 1,44×105 Па.

2.20. Под каким давлением находится 0,1 кг метана в баллоне объемом 15 л и температуре 27 °С? Какова средняя энергия одной молекулы?

                               Ответ: 106 Па; 1,24×10-20 Дж.

2.21. В закрытом сосуде емкостью 2м3 находятся 1,4 кг азота и    2 кг кислорода (О2). Найти давление газовой смеси в сосуде, если температура Т = 300 К.        

Ответ: 1,4×105 Па.

2.22. Емкость закрытого объема 4 м3, температура 600 К. Найти давление газовой смеси, состоящей из 2,2 кг углекислого газа и    2 кг кислорода. 

                                                   Ответ: 1,4×105 Па.

2.23. Сухой атмосферный воздух при нормальных условиях содержит 23,1 % О2, 75,6 % азота и 1,3 % аргона. Определить парциальное давление каждого газа.

Ответ:  = 0,21 атм;  = 0,782 атм;  Par = 0,01 атм.

2.24. В колбе объемом 2 м3 содержится газ при температуре t = 17 °С. Каково давление газа, если в колбе находится 3,3×1022 молекул.       

Ответ: 6,6×104 Па.

2.25. При какой температуре кислород О2, находясь под давлением 2×105 Па, имеет плотность 1,2 кг/м3.              

   Ответ: Т = 642 К.

2.26. Определить давление смеси окиси азота и азота в баллоне емкостью 2 м3, если масса окиси азота 13,5 кг, масса азота 0,5 кг, температура равна 300 К.                       

Ответ: Р = 6×105 Па.

 

3.1. В баллоне емкостью 0,05 м3 находятся 0,12 Кмоль газа при давлении 6×106 Па. Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекулы газа.                              

Ответ: 0,62×10-20 Дж.

3.2. Масса крупной молекулы органического вещества m = 10-18 г. Найти полную среднюю кинетическую энергию теплового движения такой молекулы, взвешенной в воздухе при температуре 27 °С.                                                                            

Ответ: 1,26×10-20 Дж.

3.3. Масса легкой молекулы неорганического вещества m = 3,6×10-24 кг. Найти полную среднюю кинетическую энергию теплового движения такой молекулы, взвешенной в воздухе при температуре 27 °С.                                  

Ответ: 1,26×10-20 Дж.

3.4. Найти полную среднюю кинетическую энергию молекул аммиака при температуре 27 ° С.                      

  Ответ: 1,26×10-20 Дж.

3.5. Восемь граммов кислорода занимают объем V = 560 л. Определить давление этого газа в том же объеме при температуре Т1 =  820 К и Т2 = 10 кэВ, когда атомы кислорода полностью ионизованы.                              

 Ответ: Р1 = 0,03 атм; Р2 = 7,6×104 атм.

3.6. Вычислить, исходя из классических представлений, средние энергии поступательного и вращательного движения двухатомной молекулы при Т =          = 4500 К.

Ответ: 9,32×10-20 Дж; 6,21×10-21 Дж.

3.7. Вычислить, исходя из классических представлений, угловую скорость вращения молекулы кислорода при температуре t = 27 °С.                                                                

Ответ: 3,6×1011  1/с.

3.8. Вычислить, исходя из классических представлений, угловую скорость вращения молекулы азота при температуре t = 27 °С.

Ответ: 3,6×1011 1/с.

3.9. Найти энергию теплового движения молекул NH3, находящихся в баллоне объемом 10 л при давлении 2,45 КПа. Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного движения?

                                                        Ответ: 74 Дж;   37 Дж.

3.10. Найти энергию теплового движения молекул метана СН4, находящихся в баллоне объемом 5 л при давлении 4,9 КПа. Какую часть этой энергии составляет энергия вращательного движения? Колебательное движение «заморожено».

Ответ: 7,4 Дж;  3/7.

3.11. Найти энергию теплового движения молекул воздуха, находящегося в баллоне объемом 10 л при давлении 2,45 КПа. Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного движения. Дать анализ полученного результата:  3.9 и 3.10.

Ответ: 61,7 Дж; 37 Дж.

3.12. Азот нагрет до температуры Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы. Вычислить молярную теплоемкость СV и g = Ср/СV.            

Ответ: СV = 3,5R; g = 1,3.

3.13. Углекислый газ нагрет до температуры Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы. Найти СV и Ср газа при этих условиях.                                

Ответ: СV = 6,5R; Ср = 7,5R.

3.14. Аммиак нагрет до температуры Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы. Найти СV и Ср газа при этих условиях. Сделайте анализ. Как зависят СV и Ср от Т?

Ответ: СV = 9RСр = 10R.

3.15. Вычислить среднюю энергию поступательного, вращательного и колебательного движения двухатомной молекулы газа при температуре Т = 3000 К.

Ответ: 6,2×10-20 Дж; 4,1×10-20 Дж; 4,1×10-20 Дж.

3.16. Вычислить энергию теплового движения молекул двухатомного газа, занимающего объем V = 2,5 л при давлении Р = 20 Па. Молекулы считать жесткими. Что произойдет, если колебательные степени свободы «разморожены»?

Ответ: 0,125 Дж.

3.17. Баллон содержит азот массой 2 г при температуре Т = 280 К. Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул газа. Сделать анализ решения задачи.

Ответ: 249 Дж.

3.18. Газ занимает объем V = 2 л под давлением Р = 0,5×106 Па. Определить примерную кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.

                                    Ответ: 1,5 кДж.

3.19. Теплота диссоциации (энергия, необходимая для расщепления молекул на атомы) водорода Q = 419×106 Дж/Кмоль. При какой температуре Т средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул достаточна для их расщепления.

Ответ: 33600 К.

3.20. Определить среднее значение полной кинетической энергии молекулы гелия, кислорода и водяного пара при Т = 400 К.

Ответ:  8,28×10-21 Дж; 13,8×10-21 Дж; 16,6×10-21 Дж.

3.21. Известно, что теплоемкость является функцией числа степеней свободы молекулы и согласно формуле  не зависит от температуры. В экспериментах,  как известно, такую зависимость легко определяют. Чем это объяснить?

3.22. Баллон содержит водород массой m = 10 г при температуре Т = 280 К. Определить кинетическую энергию поступательного движения и полную кинетическую энергию всех молекул газа.

Ответ: 17,5 кДж; 29,1 кДж.

3.23. Газ, состоящий из N-атомных молекул газа, имеет температуру Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные, колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газа. Молекулу считать линейной.

3.24. Газ состоит из N-атомных нелинейных молекул. Какую часть полной энергии одной молекулы газа составляет «колебательная энергия».

3.25. Найти число степеней свободы молекулы газа, молярная теплоемкость которого при постоянном давлении равен 29 Дж/моль×К.       

Ответ: i = 5.

 

4.1. В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре        0 °С. После того как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на DР = 0,78 атм. Найти массу выпущенного газа. Температура остается неизменной, плотность газа равна r = 1,3 кг/м3.                                       

  Ответ: 30 г.

4.2. Смесь объемом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20 °С и давлении Р = 2×105 Па. Масса смеси  m = 50 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.                                      

            Ответ: 0,5.

4.3. В сосуде находится смесь m1 = 7,0 г азота и m2 = 11 г углекислого газа при температуре Т = 290 К и давлении Р0 = 1×105 Па. Найти плотность этой смеси.

Ответ: 1,5 кг/м3.

4.4. Из сосуда объемом 100 л выпустили часть идеального газа при температуре 17 °С. Найти массу выпущенного газа. Если плотность газа 2 кг/м3, а изменение давления в ходе процесса изменилось на 0,5×105 Па.                                  

     Ответ: 100 г.

4.5. Найти изменение давления в сосуде объемом V = 30 л, из которого выпустили 50 г. Плотность газа r = 1,8 г/м3, температура   0 °С, давление атмосферное.                      

       Ответ: 0,93 атм.

4.6. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V . За один ход поршня насос захватывает объем DV. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в h раз. Процесс изотермический.              

    Ответ:

4.7. В баллоне вместимостью V = 30 л находится кислород при давлении         7,3 МПа и температуре 264 К. Затем часть газа из баллона выпустили, причем температура газа повысилась до 290 К, а давление упало до 2,94 МПа. Найти количество кислорода, выпущенного из баллона.                      

          Ответ: 2 кг.

4.8. В стеклянной, запаянной с одного конца трубке находится водород, «закрытый»  столбиком ртути длиной 10,0 см. Первоначально  трубка была повернута открытым концом вверх,  и газ в ней имел температуру 16 °С.  Какова была длина столбика водорода, если после перевертывания трубки открытым концом вниз и нагревании газа до 39 °С ртутный столбик переместился на    7,0 см? Атмосферное давление равно 105 Па.       

      Ответ: 17 см.

4.9. В объем (V = 0,3 м3), содержащий 16 г водорода, проник воздух. Найти массу этого воздуха, если при 6 °С в объеме установилось давление 93 кПа.      

Ответ: 0,116 кг.

4.10. Определить температуру горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания в конце такта сжатия, если давление до сжатия 76 кПа, в конце сжатия 851 кПа, начальная температура до сжатия 315 К, степень сжатия, т.е. отношение объемов, занимаемых газом в цилиндре двигателя при крайних положениях поршня, равна 6,3.                                                 

  Ответ: 560 К.

4.11. В баллоне находился идеальный газ при давлении 40 МПа и температуре 300 К. После того как 3/5 газа выпустили, температура понизилась до 240 К. Определить давление в баллоне.

Ответ: 13 МПа.

4.12. Найти максимальную температуру идеального газа в следующем процессе Р = Р0 - a/V2. Указания: значение Р поставить в уравнение Менделеева – Клапейрона, выразить Т и продифференцировать полученное выражение по V. Найденное таким образом значение объема подставить в формулу для Т.

Ответ: .

4.13. Найти максимальную температуру идеального газа в следующем процессе: P = P0e-bV, где Р0, b - постоянные.

Ответ: .

4.14. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т0 + aV2, где Т0, a - положительные постоянные; V – объем газа. Изобразить данный процесс в параметрах P, V – использовать указания к задаче 3.12.

Ответ: .

4.15. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т0 + aV2, Т0 = 330 К; a = 30 К/м6. Изобразить данный процесс в координатах Р, V.

Ответ: Рmin = 1,6×106 Па.

4.16. В баллоне находится смесь идеальных газов: n1 = 0,1 моля азота, n2 =         = 0,2 моля углекислого газа, n3 = 0,2 моля угарного газа. Найти молярную массу смеси.                            

Ответ: 34,4 г/моль.

4.17. В баллоне находится смесь 3 идеальных газов, молярная масса которой равна 40 г/моль. Найти n1 = 0,1 моля азота; n2 = 0,3 моля кислорода. Найти  количество угарного газа nСО = 0,053.

 

4.18. Определить плотность r насыщенного водяного пара в воздухе при температуре Т = 300 К. Давление водяного пара при этой температуре Р = 3,55 кПа.

                   Ответ: 25,6 г/м3.

4.19. В баллоне V = 25 л находится водород при температуре Т = 290 К. Часть водорода израсходовали, при этом давление понизилось на DР = 0,4×105 Па. Определить массу израсходованного водорода.                                             

      Ответ: m = 8,3 г.

4.20. Сосуд емкостью 10 л содержит азот массой m1 = 7 г и водород массой m2 = = 1 г при температуре Т = 280 К. Определить давление смеси газов.      

Ответ: 175 кПа.

4.21. Определить удельный объем V0 = 10 г и азота массой m2 = 15 г при давлении Р = 0,15 МПа и температуре Т = 300 К.

Ответ: 0,5 м3/кг.

4.22. Найти максимальную температуру идеального газа в процессе, где давление изменяется по закону Р = Р0 - bV2,  где Р0 и   b - положительные постоянные. Определить размерность b и изобразить процесс на  Р, Т диаграмме.

Ответ: .

4.23. Давление воздуха в цилиндре дизеля в начале такта сжатия равно 86 кПа, в конце такта сжатия равно 3,45 МПа, при этом температура повышается с 323 до 923 К. Определить степень сжатия. Сравнить полученный результат со степенью сжатия автомобиля ГАЗ (бензин АИ-80).                     

   Ответ: 14.

4.24. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содержащий 9 г воды, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара выдерживают  давление не более 4,053 МПа, а его объем равен 1,2 л.               

Ответ: Т = 1170 К.

4.25. Метеорологический зонд-шар запускают с поверхности Земли при температуре 290 К. Давление в шаре 116 кПа. На некоторой высоте температура  и давление атмосферного воздуха равны 253 К и 85 кПа. На сколько изменится объем шара на высоте, если давление, создаваемое за счет упругости оболочки шара, равно 5 кПа.                                                           

   Ответ: на 8 %.

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

1.1. При выводе выражения для функции распределения молекул по компоненте скорости vzf(vz) обычно используют поведение газа во внешнем гравитационном поле U(z). Поясните преимущество подобного рассмотрения.

1.2. В чем состоит отличие функций f(vz), f(vy), f(vx). Покажите, что законы распределения молекул по компонентам скорости vx,  vy, vz  идентичны (неидентичны).

1.3. Во внешнем гравитационном поле имеются два слоя молекул толщиной dz и dz¢ c координатами, соответственно, z и z¢, записать для этой ситуации закон сохранения энергии.

1.4. Что такое условие нормировки? Запишите это условие для молекул идеального газа, находящегося при температуре Т. Нарисуйте график, объясняющий ваш ответ.

1.5. Каким образом используется теорема о произведении вероятностей при выводе функции f(v)?

1.6. Покажите, что с увеличением температуры некоторого газа, число (доля) молекул, имеющих большую энергию, изменяется? Уменьшается или увеличивается? Исследуйте возможные ситуации.

1.7. Нарисуйте график функции f(v). Что позволяет определить данный график?

1.8. Какой физический смысл имеет площадка под кривой распределения молекул по скоростям. Как выбирается ширина площадки?

1.9. Запишите математическое выражение для функции f(v). Проанализируйте его. Как изменится вид функции при варьировании различных параметров, входящих в него?

1.10. Каким образом находят наиболее вероятную скорость молекулы? Приведите алгоритм вывода и формулу. Дайте физический смысл наиболее вероятной скорости.

1.11. Чему равно точное значение импульса частицы, имеющей наиболее вероятную скорость?

1.12. Запишите закон Больцмана для распределения частиц во внешнем поле. В чем состоит содержание этого закона?

1.13. Нарисуйте график функции распределения молекул по компонентам скорости (например, vz) и аналогичный график для функции f(v). В чем состоит их принципиальное отличие?

1.14. Нарисуйте график функции f(v) и нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса). Сравните графики. Какой вывод можно сделать из анализа данных графиков?

1.15. Каково физическое содержание среднеквадратичной скорости? Каким образом можно получить формулу данной скорости?

1.16. Пусть имеется два слоя газа, масса одной молекулы которого m2, находящегося во внешнем поле U(z). Запишите для этого случая закон сохранения энергии и продифференцируйте его выражение по скорости.

1.17. Какой физический смысл среднеарифметической скорости? Запишите алгоритм вычисления данной скорости, используя выражение для f(v).

1.18. Как график кривой распределения молекул по скоростям зависит от природы газа? Приведите примеры.

1.19. Чем обусловлено существование закономерного распределения молекул газа по скоростям? Каким способом можно изменить вид этого распределения?

1.20. Какую роль играют столкновения молекул в газе на закон распределения молекул?

1.21. Каким образом можно показать, что с увеличением температуры некоторого газа доля молекул, имеющих большую скорость возрастает, а меньшую – убывает?

1.22. Сформулируйте теорему о сложении и произведении вероятностей.

1.23. Имеет ли физический смысл величина f(v)? Напишите выражение, из которого вытекает смысл данной функции.

1.24. Чему равно точное значение импульса частицы массой m, имеющей среднеарифметическую скорость?

1.25. Как зависит давление газа, находящегося во внешнем поле, от температуры Т? Дайте подробный ответ.

 

2.1. Плотность некоторого газа r = 3×10-3 кг/м3.  Найти давление Р газа, которое он оказывает на стенки сосуда, если средняя квадратичная скорость молекул газа равна 500 м/с.

Ответ: 250 Па.

2.2. Найти отношение h средних квадратичных скоростей молекул водорода и кислорода при одинаковых температурах.

Ответ: h = 2,8.

2.3. Найти отношение h средних арифметических скоростей молекул водорода и азота при Т = const для обоих газов.

Ответ: h = 3,7.

2.4. Найти отношение h наиболее вероятных скоростей молекул водорода и углекислого газа при одинаковых температурах.

Ответ: h = 4,7.

2.5. Найти отношение h наиболее вероятных скоростей атомов водорода и гелия при одинаковых температурах.

Ответ: h = 2.

2.6. Найти отношение h средних арифметических скоростей атомов водорода и азота при одинаковых температурах.

Ответ: h = 3,7.

2.7. Найти среднюю квадратичную скорость молекул водорода при температуре кипения водорода Т = 20 К и при Т = 5000 К, когда почти все молекулы диссоциированы на атомы.

Ответ: 500 м/с; 7,90 км/с.

2.8. Найти среднюю арифметическую скорость молекулы водорода при температуре кипения водорода Т = 20 К и при Т = 5000 К, когда почти все молекулы диссоциированы на атомы.

Ответ: 462 м/c; 7,3 км/с.

2.9. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости v2 = 11,2 км/с. Что можно сказать об этой температуре? Достаточно ли этой энергии, чтобы ионизовать газ гелий.

Ответ: 20,1 кК.

2.10. При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре Т1 = 100 К.

Ответ: 1800 К.

2.11. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Какова средняя квадратичная скорости пылинки массой m =10-10 г, если температура воздуха t = 23 °С?         

Ответ: 352 мкм/с.

2.12. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней и квадратичной скорости пылинки массой m = 10-8 г,  находящейся среди молекул кислорода?

Ответ: 1,4×107.

2.13. Определите среднюю арифметическую скорость молекул газа, если известно, что их средняя квадратичная скорость 1000 м/с.                                  

Ответ: 920 м/с.

2.14. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул азота при температуре 23 °С. Считать азот идеальным газом.

Ответ: 513 м/с.

2.15. Вычислить при температуре t = 17 °С среднюю квадратичную скорость движения молекулы кислорода и среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметром d = 0,1 мкм, взвешенной в воздухе.                           

  Ответ: 470,0  м/с; 0,15 м/с.

2.16. Вычислить наиболее вероятную скорость молекул газа, у которого при нормальном  атмосферном  давлении плотность r = 1 г/л.           

Ответ: 450 м/с.

2.17. Вычислить среднюю арифметическую скорость молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность r =  2 г/л.                           

         Ответ: 362 м/с.

2.18. Вычислить среднеквадратичную скорость молекул газа, у  которого при нормальном атмосферном давлении  плотность r = 1,55 г/л.

Ответ: 359 м/с.

2.19. Азот массы m = 15 г находится в закрытом сосуде при температуре Т =      = 300 К. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в 2 раза.                                   

        Ответ: 10 кДж.

2.20. Вычислить при температуре t = 17 °С среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметром d = 0,1 мкм, взвешенной в воздухе. Сделайте анализ решения задачи.

Ответ: 0,15 м/с.

2.21. Вычислить при температуре t = 17 °С среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода.

Ответ: 470 м/с;  6×10-21 Дж.

2.22. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в h = 1,5 раза.

Ответ: 7,6 раза.

2.23. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из одноатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в h = = 1,5 раза.                         

   Ответ: 76 раз.

2.24. Во сколько раз надо сжать  адиабатически газ, состоящий из одноатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость увеличилась  в h = 2 раза. 

                                      Ответ: 8 раз.

2.25. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул газа, у которого при давлении Р = 2×105 Па  плотность r =           = 2 кг/м3.

Ответ: 450 м/с; 510 м/c; 550 м/с.

3.1. При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на Dv = 30 м/с.

Ответ: 370 К.

3.2. При какой температуре газа, состоящего из смеси водорода и гелия, наиболее вероятные скорости молекул этих газов будут отличаться друг от друга на Dv = 20 м/с.                   

  Ответ: 5,4 К.

3.3. Наиболее вероятные скорости молекул смеси водорода и гелия отличаются друг от друга на Dv = 20 м/с. Какова при этом «температура» газов.  Проанализировать ответ.                                                             

    Ответ: 5,4 К.

3.4. Наиболее вероятные скорости молекул смеси азота и кислорода отличаются друг от друга на Dv = 40 м/с. При какой температуре смеси это возможно?

Ответ: Т = 658 °.

3.5. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Dv = 400 м/с.

Ответ:  К.

3.6. При какой температуре газа число молекул со скоростями в интервале от v до v + dv будет максимально? Указание: вычислить производную dN/dT. Оценить данную температуру, если газ гелий и v = 1000 м/с.   

                                        Ответ: 220 К.

3.7. При температуре 880 К число молекул кислорода со скоростями в интервале от v до v + dv максимально. Найти данную скорость.                  

Ответ: v = 1000 м/с.

3.8. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Dv = 400 м/с.

                     Ответ: 380 К.

3.9. Среднеарифметические скорости молекул смеси азота и углекислого газа отличаются друг от друга на Dv = 40 м/с. При какой температуре это возможно? Возможен ли данный результат? Ответ обосновать.                               

Ответ: 53 К.

3.10. Среднеарифметические скорости молекул кислорода и окиси углерода СО отличаются друг от друга на Dv = 50 м/с. При какой «температуре» возможно наблюдать данное различие скоростей?                                                        

         Ответ: 51 К.

3.11. Смесь водорода и гелия находится при температуре 300 К. При каком значении скорости v молекул функции распределения Максвелла f(v)  будут равны для данных газов?

Ответ: 1610 м/с.

3.12. Смесь гелия и неона находится при температуре Т = 350 К. При каком значении скорости v молекул функции распределения Максвелла f(v) будут равны. Нарисуйте примерные графики функции и дайте качественный анализ этих графиков.

Ответ: 930 м/с.

3.13. Найти для азота температуру, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла f(v). Нарисуйте поясняющие графики.                                      

   Ответ: 330 К.

3.14. При какой температуре кислорода функции распределения молекул озона по скоростям имеют одинаковые значения для скоростей v1 = 300 м/с и v2 =       = 600 м/с .                 

        Ответ: 576 К.

3.15. Определить температуру кислорода, при которой функция f(v) будет иметь максимум при скорости v2 = 500 м/с.

Ответ: 485 К.

3.16. При какой температуре функция распределения f(v) молекул водорода имеет максимум при скорости v2 = 500 м/с.

Ответ: 586 К.

3.17. На высоте 3 км концентрация пылинок в воздухе 108 м-3, у поверхности Земли – примерно 1011 м-3. Определите среднюю массу, если температура воздуха Т = 300 К.

Ответ: 10-24 кг.

 

4.1. Найти относительное число молекул, скорости которых отличаются не более чем на 1 % от значения наиболее вероятной скорости.         

                                                Ответ: 1,66 %.

 

4.2. Какая часть молекул кислорода при 0 °С обладает скоростью от 100 до     110 м/c?                                               

    Ответ: 0,4 %.

4.3. Какая часть молекул азота при 150 °С обладает скоростями от 310 до        315 м/с?                                                   

 Ответ: 2,6 %.

4.4. Какая часть молекул водорода при 0 °С обладает скоростями от 2000 до 2100 м/с.                                 

       Ответ: 4,5 %.

4.5. Какая часть молекул азота, находящегося при Т = 400 К, имеет скорости, лежащие в интервале от vнв до vнв + Dv, где Dv = 20 м/с?                                    

Ответ: 1,66 %, не зависит от Т.

4.6. Как будет изменяться доля молекул гелия, лежащих в интервале от <v> до <v> + Dv, где Dv = 10 м/c, при увеличении температуры с 300 до 500 К? Нарисуйте графики и дайте графическое толкование решения.              

     Ответ: уменьшится в 1,3 раза.

4.7. Какая часть общего числа молекул имеет скорости, большие наиболее вероятной скорости и меньше наиболее вероятной скорости? Проанализируйте решение задачи.

Ответ: 57 %; 43 %.

4.8. В баллоне находится 2,5 г кислорода. Найти число молекул кислорода, скорости которых превышают значение средней квадратичной скорости.       

Ответ: 1,9×1022.

4.9. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на 2 % от значения среднеквадратичной скорости.

Ответ: 3,7 %.

4.10. В сосуде находится 5,0 г азота. Найти число молекул азота, скорости которых отличаются не более чем на 1 % от значения наиболее вероятной скорости.                      

     Ответ: 1,78×1021.

4.11. Какая часть молекул углекислого газа при 300 К обладает скоростью от 200 до 210 м/с?                           

   Ответ: 3,54 %.

4.12. В сосуде находится кислород при температуре 1600 К. Какое число молекул кислорода имеет кинетическую энергию больше чем 6,65×10-20  Дж?

                                      Ответ: 20 %.

4.13. Во сколько раз число молекул DN1, скорости которых лежат в интервале от vср.кв до vср.кв. + Dv, меньше числа молекул DN2, скорости которых лежат в интервале от vв  до vв + Dv?

Ответ: 1,1.

4.14. Во сколько раз число молекул DN1, скорости которых лежат в интервале от vнв до vнв + Dv, больше числа молекул DN2, скорости которых лежат в интервале от <v> до <v> + Dv? Как зависит данное отношение от типа газа и температуры?

Ответ: 1,25.

4.15. Найти относительное число молекул гелия, скорости которых лежат в интервале от v1 = 1990 м/с при температуре Т = 300 К.

Ответ: 0,53 %.

4.16. При какой температуре Т наиболее вероятная скорость молекул азота меньше их среднеквадратичной скорости на 50 м/с; на 20 м/с.          

Ответ: 83 К.

4.17. Какая часть молекул азота при температуре t = 230 °С обладает скоростями в интервале: а) от v1 = 290 м/с до v2 = 310 м/с; б) от v3 = 690 м/с до v4 =         = 710 м/с. Нарисовать графики и объяснить полученные результаты.                         

Ответ: 1,8 %; 2,6 %.

4.18. Газ состоит из молекул массы m и находится при температуре Т. Запишите распределения молекул по кинетическим энергиям W. Определите наиболее вероятное значение кинетической энергии Wвер.

4.19. Как будет изменяться доля молекул гелия, имеющих скорости, лежащие в интервале от <v> до < v > + Dv, где D v = 20 м/с, при увеличении температуры с 300 до 600 К?

Ответ: увеличение в 1,74 раза.

4.20. Найти для газообразного азота температуру, при которой скоростям молекул v1 = 400 м/с и v2 = 700 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла. Нарисовать график с указанием полученных результатов.

Ответ: 500 К.

4.21. Для газообразного углекислого газа найти температуру, при которой скоростям молекул v1 = 350 м/с и v2 = 900 м/с соответствуют равные значения функции распределения Максвелла. Нарисуйте качественный график и объясните полученный результат.

Ответ: 974 К.

4.22. Смесь газов Н2 и Не находится при температуре Т = 600 К. При каком значении скорости v молекул значения функции распределения Максвелла будут одинаковыми для обоих газов? Нарисуйте графики функций f(v) и обсудите полученный результат.

Ответ: 3227 К.

4.23. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h = 0, давление Р = Р0, а температура изменяется с высотой как Т = Т0 (1 – аh).

Ответ: Р = Р0 (1 – аh)n, где .

4.24. У поверхности Земли молекул гелия в 105 раз, а водорода в 106 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул Не будет равно числу молекул азота. Принять температуру атмосферы равной 273 К.   

Ответ: ~ 110 км.

4.25. В пучке частиц скорости имеют одно направление и лежат в интервале    (v, v + Dv). Масса частицы m. Определите скорость частиц после прохождения области, где на расстоянии L, вдоль направления движения на частицы, действовала сила F.

Ответ:

ЯВЛЕНИЯ  ПЕРЕНОСА

 

  1. При каких условиях газ можно считать разреженным?
  2. Может ли быть время релаксации одинаковым для различных параметров одного и того же газа?
  3. Объясните почему длина свободного пробега l много меньше диаметра молекулы.
  4. С уменьшением давления длина свободного пробега молекулы увеличивается. До какого предела возможно это увеличение?
  5. Получите выражение для потока обобщенной величины G, описывающей перенос энергии, импульса, концентрации вещества, электрического заряда.
  6. Запишите основной закон вязкого течения и поясните смысл величин, входящих в данный закон.
  7. Объясните, почему вязкость обусловлена переносом импульса.
  8. Как внутреннее трение зависит от температуры?
  9. Опишите методы экспериментального определения вязкости.
  10. Почему теплопроводность называют явлением переноса энергии?
  11. При каких условиях не выполнятся основной закон теплопроводности?
  12. Как зависит коэффициент теплопроводности от концентрации и температуры?
  13. В моделях по рассмотрению теплопроводности не учитывают характер распределения молекул по скоростям. К чему это приводит?
  14. Дайте понятие диффузии, самодиффузии и эффузии.
  15. Дайте определение диффузионного потока.
  16. Как зависит коэффициент диффузии от основных параметров газа?
  17. Опишите методы экспериментального определения коэффициента теплопроводности.
  18. Опишите методы экспериментального определения коэффициента самодиффузии.
  19. В чем состоит дифференциальный метод определения коэффициентов теплопроводности и вязкости?
  20. Оцените среднее время свободного пробега молекул в различных газах. Чем определяется их различие?
  21. Почему значения длины свободного пробега при различных процессах по-разному зависят от давления: а) при изотермическом l ~ p-1; б) при адиабатическом l ~ p-g.
  22. Как зависит коэффициент диффузии молекул А через различные газы В1 и В2 от концентрации n1 и n2 этих газов?
  23. Почему и во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха?
  24. Запишите для процессов диффузии уравнения, связывающие изменения пространственных и временных переменных.
  25. Почему теплопроводность твердых тел намного превосходит теплопроводность газов?

 

2.1. Число молекул водорода в единице объема при некоторых условиях равно n = 1,8×1025 м-3, коэффициент диффузии при этих условиях D = 1,42×10-4 м2/с. Найти, чему равен для такого газа коэффициент вязкости h.                        

  Ответ: h = 8,5 мкПа×с.

2.2. Определите коэффициент теплопроводности l азота, если коэффициент динамической вязкости h для него при тех же условиях равен 10 мкПа×с.      

            Ответ: l = 1,42×10-2 Вт/(м×с).

2.3. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 м от поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере n = 1015 м-3. Найти среднюю длину свободного пробега l частиц газа на этой высоте. Эффективный диаметр частиц газа d = 0,2×10-9 м.                                  

 Ответ: l = 5,6×103 м.

2.4. Найти коэффициент диффузии D водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега l = 0,16 мкм.

Ответ: D = 0,9×10-4 м2/с.

2.5. Определить среднюю длину свободного пробега l молекул кислорода, находящихся при температуре 0 °С, если среднее число Z столкновений испытываемых молекул в 1 с равно 3,7×109 с-1.

Ответ: l = 1,15×10-7 м.

2.6. Средняя длина свободного пробега l1 молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 Па, если температура газа остается постоянной.              

      Ответ: l = 101 м.

2.7. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда Дюара, если расстояние между стенками сосуда l0 = 8 мм, а температура t =        = 17 °С? Эффективный диаметр молекул воздуха d принять равным 0,37 нм.           

  Ответ: р = 1,54 Па.

2.8. Чему равна масса азота, заполняющего объем V = 100 см3, если длина свободного пробега его молекул равна l = 23,2 нм? Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм.  

Ответ: m = 0,5 г.

2.9. Построить график  зависимости вязкости h азота от температуры Т в интервале 100 ¸ 600 К через каждые 100 К.

Ответ:  const =

2.10. Чему равна длина свободного пробега молекул водорода при давлении р = = 0,54 Па и температуре 67 °С. Диаметр молекул водорода d = 0,28 нм. 

Ответ: l = 2,5 см.

2.11. При какой температуре средняя длина свободного пробега молекул водорода l равна  2,5 см, если давление газа равно р = 0,54 Па. Диаметр молекулы водорода d = 0,28 нм.   

Ответ: t = 67 °С.

2.12. Определите эффективный диаметр молекул кислорода при нормальных условиях. Коэффициент диффузии равен 2,9×10-2 м2/с.   

Ответ: d = 0,36 нм.

2.13. Определить, какая масса азота находится в сосуде объемом 100 см3, если средняя длина свободного пробега молекул газа l = 23,2 нм. Эффективный диаметр молекул азота d = 0,28 нм.

Ответ: m = 0,5 г.

2.14. Определите среднюю продолжительность t свободного пробега молекул водорода при температуре 27 °С и давлении 0,5 кПа. Диаметр молекул водорода принять равным 0,28 нм.

Ответ: t = 13,3 нс.

2.15. Определить при какой температуре коэффициент теплопроводности l =    = 8,25 мВт/(м×К). Эффективный диаметр молекул азота d принять равным      0,38 нм.              

              Ответ: Т = 280 К.

2.16. Определить объем сосуда, в котором находится кислород при нормальных условиях, если общее число столкновений Z между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени Z = 1032 с-1.                                                  

      Ответ: V = 0,5 л. 

2.17. Найти давление, при котором находится воздух при температуре t =10°С, если коэффициент диффузии D = 1,45×10-5 м2/с, а вязкость h = 1,75 кг/(с×м).      

Ответ: р = 101,3 кПа.

2.18. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4×1022 молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа l = 14 мВт/(м×К). Найти коэффициент диффузии D газа. 

 Ответ: D = 2,02×10-5 м2/с.

2.19. При какой температуре азот, находящийся в некотором объеме, имеет коэффициент вязкости 0,4 мкПа×с? Эффективный диаметр молекул азота d =          = 0,38 нм.                   

Ответ: Т = 280 К.

2.20. Сколько молекул находится в сосуде объемом V = 2 л. Теплопроводность газа l = 14 мВт/(м×К), а коэффициент диффузии D = 2,02×10-5 м2/с. Газ двухатомный.   

     Ответ: N = 4×1022.

2.21. Найти теплопроводность водорода, вязкость которого h = 8,6 мкПа×с.     

Ответ: l = 89,33 мВт/(м×К).

2.22. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22×10-5 м2/с  и h = 19,5 мкПа×с. Найти среднюю длину свободного пробега кислорода. Эффективный диаметр молекул кислорода d = 0,36 нм.

Ответ: l = 83,5 нм.

2.23. Найти вязкость азота, теплопроводность которого равна l =                        = 29,44 мВт/(м×К).                         

   Ответ: h = 2,53 мкПа×с.

2.24. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22×10-5 м2/с  и h = 19,5 мкПа×с. Найти плотность r, среднюю длину свободного пробега l и среднюю арифметическую скорость молекул v при этих условиях.

Ответ: r = 1,6 кг/м3; l = 83,5 нм; vср = 440 м/с.

2.25. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при некоторых условиях равны D = 1,42×10-4 м2/с  и h = 8,5 мкПа×с. Найти число молекул водорода в единице объема.

Ответ: n = 1,8×1025 м-3.

 

3.1. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластинка поддерживается при температуре 17 °С, другая – при температуре 27 °С. Определите коэффициент теплопроводности l, если количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой, равно 76,4 Дж.   

Ответ: l = 8,5×10-2 Вт/(м×К).

3.2. Найти число степеней свободы идеального газа, для которого вязкость h = = 8,6 мкПа×с, а теплопроводность l = 89,33 мВт/(м×К).

Ответ: i = 2.

3.3. При каком давлении р отношение вязкости некоторого газа к коэффициенту его диффузии h/D = 0,3 кг/м3, а средняя квадратичная скорость его молекул vср = 632 м/с.  

 Ответ: р = 39,9 кПа.

3.4. Построить график зависимости коэффициента диффузии D водорода от температуры Т в интервале температур 100 ¸ 600 К через каждые 100 К при р = = const = 10 кПа.

Ответ: D = 2×10-2 Т3/2.

3.5. Найти среднее число столкновений Z в единицу времени молекул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега l = 5 мкм, а средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 500 м/с.                                               

 Ответ: Z = 9,21×107 с-1.

3.6. Какое предельное число n молекул газа должно находиться в единице объема сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул газа d = 0,3 нм. Диаметр сосуда  D = 15 см.               

      Ответ: n £ 1,7×1019 м-3.

3.7. В сосуде объемом V = 100 см3 находится масса m = 0,5 г азота. Найти среднюю длину свободного пробега l молекул азота. Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм.  

 Ответ: l = 23,2 нм.

3.8. Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если «градиент» плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.                                      

  Ответ: m = 15,6 мг.

3.9. Чему равен объем сосуда, заполненного азотом массой m = 0,490 г, если средняя длина свободного пробега его молекул    l = 23,2 нм? Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм.

Ответ: V = 99,5 см3.

3.10. Найти толщину слоя воздуха, увлекаемого крылом самолета, если самолет летит со скоростью v = 480 км/ч, касательная сила, действующая на единицу поверхности крыла, FS = 0,045 Н/м2, диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм, а температура воздуха равна t = 0 °С.                                    

   Ответ: h = 4 см.

3.11. Во сколько раз увеличился объем газа в адиабатическом процессе, если длина свободного пробега его молекул увеличилась в 2,34 раза?      

Ответ: V2/V1 = 2.

3.12. В некотором сосуде находится кислород при нормальных условиях. Число столкновений Z между молекулами газа в этом сосуде в единицу времени равно Z = 1032 1/с. Эффективный диаметр молекул кислорода равен 0,38 нм. Найти объем этого сосуда.                                                             

    Ответ: V = 0,5 л.

3.13. Концентрация молекул газа в некотором сосуде n = 1,7×1019 м-3. Эффективный диаметр молекул газа d = 0,3 нм. Определить предельный диаметр сосуда, начиная с которого вакуум в сосуде можно считать высоким. (Сосуд сферический).

  Ответ: D = 15 см.

3.14. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом при атмосферном давлении и температуре t = 17 °С. Радиусы цилиндров соответственно равны r1 = 10 см и r2 = 10,5 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью 15 об/с.

Какой момент сил нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он оставался неподвижным? Длина цилиндров l = 30 см. Эффективный диаметр молекул водорода d = 2,3×10-8 см.

Ответ: М = 2,23×10-3 Н×м.

3.15. Найти длину свободного пробега молекул водорода при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D = 0,9×10-4 м2/с.                                    

 Ответ: l = 0,16 мкм.

3.16. Масса азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, равна 15,6 мг. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм. Определить градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке.                                      

   Ответ:

3.17. Длины свободного пробега кислорода и азота, находящихся в одном сосуде при температуре t = 17 °С, соответственно равны 0,10 мкм;  23,2 нм. Определить давление в сосуде. Эффективные диаметры 0,36 нм; 0,28 нм.

Ответ: р = 0,13 кПа.

3.18.  Оценить эффективный диаметр молекул воздуха, если при температуре     t = 10 °С и давлении 101,3 кПа коэффициент диффузии D = 1,45×10-5 м2/с.      

Ответ: d » 0,3 нм.

3.19. Найти объем сосуда, в котором находится N = 4×1022 молекул двухатомного газа, если теплопроводность газа l = 14 мВт/(м×К), а коэффициент диффузии D = 2,02×10-5 м2/с.

Ответ: V = 2 л.

3.20. Найти эффективный диаметр гелия, если при нормальных условиях коэффициент диффузии гелия равен D = 8,25×10-5 м2/с.

Ответ: dHe = 0,12 нм.

3.21. Доказать, что отношение динамических вязкостей двух газов при нормальных условиях равно  здесь m - молярные массы; d – эффективные диаметры молекул.

3.22. Определить давление, при котором средняя продолжительность свободного пробега молекул водорода t = 13,3 нс, если температура газа t = 27 °С, а эффективный диаметр молекул водорода d = 0,28 нм.                                

  Ответ: р = 0,5 кПа.

3.23. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22×10-5 м2/с и h = 19,5 мкПа×с. Найти среднюю арифметическую скорость молекул кислорода.

Ответ: v = 440 м/с.

3.24. Смесь газов азота и кислорода находится при нормальных условиях. Концентрация кислорода n = 1,7×1020 м-3. Определить длину свободного пробега молекул азота. Эффективные диаметры молекул 0,36 нм; 0,28 нм.

Ответ: l = 0,11 мкм.

3.25. Смесь газов азота и кислорода находится при парциальных давлениях, соответственно = 85×105 Па и = 15,103×105 Па. Определить длину свободного пробега молекул кислорода, если температура смеси 20 °С, а эффективные диаметры молекул кислорода  0,36 нм и азота  0,28 нм.

Ответ: l = 0,80 мкм.

 

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

 

1.1. Что называют термодинамической системой?

1.2. Что является окружающей средой для термодинамической системы?

1.3. В чем основное различие между микроскопическими и макроскопическими характеристиками системы?

1.4. Какие величины называют параметрами термодинамической системы?

1.5. В чем состоит качественное различие понятий «теплота» и «работа»?

1.6. Какие процессы, протекающие в термодинамической системе, называют изохорными? Запишите первое начало термодинамики для изохорного процесса.

1.7. Какие процессы, протекающие в термодинамической системе, называют изотермическими? Запишите первое начало термодинамики для изотермического процесса.

1.8. Какие процессы, протекающие в термодинамической системе, называют адиабатными? Запишите первое начало термодинамики для адиабатного процесса.

1.9. В каком случае состояние термодинамической системы называют стационарным?

1.10. Какие состояния термодинамической системы называют равновесными?

1.11. Означает ли, что в системе, находящейся в равновесном состоянии, не происходит никакого движения?

1.12. Какие состояния термодинамической системы называют неравновесными?

1.13. Что называется релаксацией термодинамической системы?

1.14. Какие термодинамические процессы называют квазистатическими?

1.15. Является ли работа, совершаемая термодинамической системой, функцией ее состояния или это функция процесса?

1.16. Падающая гиря через привод вращает ротор электрического генератора. Ток от генератора нагревает спираль в объеме газа, окруженном адиабатной оболочкой. Каким образом следует установить границы термодинамической системы, чтобы можно было утверждать, что изменение ее состояния происходит через работу?

1.17. Падающая гиря через привод вращает ротор электрического генератора. Ток от генератора нагревает спираль в объеме газа, окруженном адиабатной оболочкой. Каким образом следует установить границы термодинамической системы, чтобы можно было утверждать, что изменение ее состояния происходит через теплоту?

1.18. Что называют механическим эквивалентом теплоты и чему он равен в системе СИ?

1.19. Что следует понимать под внутренней энергией термодинамической системы? Является ли внутренняя энергия функцией состояния системы?

1.20. Являются ли теплота и работа функциями состояния системы или это только две эквивалентные формы передачи энергии?

1.21. Если известно, что внутренняя энергия системы изменилась, но не известно, какие процессы при этом происходили, можно ли при этом сказать, сколько энергии система получила в виде работы, а сколько в виде теплоты?

1.22. Термодинамическое состояние системы рассматривается относительно системы отсчета, связанной с самой термодинамической системой. Входят ли кинетическая и потенциальная энергия системы, как единого целого, в ее внутреннюю энергию?

1.23. Обоснуйте утверждение, что универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К) численно равна работе изобарного расширения 1 моля идеального газа при повышении его температуры на 1 К.

1.24. Зависит ли работа при квазистатическом процессе перехода системы из одного состояния в другое только от начального и конечного состояний системы, или она зависит и от пути перехода от одного состояния к другому?

1.25. Какие процессы в термодинамических системах называют квазистатическими?

1.26. Если квазистатический термодинамический процесс изображается на диаграмме в координатах давление - объем (p - V), то каким образом по этой диаграмме можно определить работу процесса?

1.27. Равна ли в общем случае нулю работа, совершаемая термодинамической системой в круговом процессе?

1.28. Принцип эквивалентности теплоты и работы позволяет измерять их в одних и тех же единицах. Означает ли это, что при круговом процессе суммарная работа, совершенная над системой, равна суммарному количеству теплоты, переданному системой другим телам?

1.29. Помешивая ложечкой чай, мы совершаем работу. Почему же при этом чай охлаждается? В опыте Джоуля аналогичные действия приводили к нагреванию жидкости.

1.30. На высотах порядка 1000 км от поверхности Земли скорости молекул воздуха достигают значений, соответствующих температурам около 2000 °С. Почему же не плавятся космические аппараты, летающие на этих высотах?

 

2.1. При нагревании одного моля идеального двухатомного газа на 1 К при постоянном давлении объем газа увеличился на 0,25 % от первоначального. Найти начальную температуру газа, увеличение его внутренней энергии, совершенную газом работу и количество подведенной к газу теплоты.

Ответ: 400 К; 20,8 Дж; 8,31 Дж; 29,1 Дж.

2.2. Атомарный кислород (О), молекулярный кислород (О2) и озон (О3) отдельно друг от друга расширяются изобарно. Определить, какая часть подводимого тепла расходуется: 1) на работу расширения; 2) на изменение внутренней энергии О, О2, О3.

Ответ: 1) 0,4; 0,29; 0,25; 2) 0,6; 0,71; 0,75.

2.3. При изобарном сжатии азота (N2) была совершена работа, равная 12 кДж. Определить подведенное к газу количество теплоты и изменение внутренней энергии газа.

Ответ: 18 кДж; 30 кДж.

2.4. Определить работу расширения при постоянном давлении     7 кг водорода (Н2) и количество теплоты, переданное водороду, если при этом температура газа повысилась на 200 °С.

Ответ: 5817 кДж; 20360 кДж.

2.5. Идеальный газ объемом 2 м3 при изотермическом расширении изменяет давление от 12·105 до 2·105 Па. Определить работу расширения газа, изменение внутренней энергии и количество подведенной теплоты.

Ответ: 4,3 МДж; 0 Дж; 4,3 МДж.

2.6. В изотермическом процессе расширения 1,2 кг азота (N2) ему было сообщено 120 кДж теплоты. Определить, во сколько раз изменилось давление азота. Температура газа 7 °С.

Ответ: уменьшилась в 3,3 раза.

2.7. В баллоне емкостью 10 л содержится кислород при температуре 27 °С и давлении 10 МПа. Нагреваясь солнечными лучами, кислород получил 8350 Дж теплоты. Определить температуру и давление кислорода после нагревания.

Ответ: 310 К; 10,3 МПа.

2.8. Азот (N2), расширяясь адиабатно, совершает работу, равную 480 кДж. Определить конечную температуру газа, если до расширения она была 362 К. Масса азота 12 кг.

Ответ: 308 К.

2.9. Азот (N2) массой 2 г, имевший температуру 300 К, был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в 10 раз. Определить конечную температуру газа и работу сжатия.

Ответ: 750 К; 668 Дж.

2.10. Какое количество теплоты потребуется для нагревания 5 м3 окиси углерода (СО) от температуры 0 до 220 °С, если газ находится в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху легко скользящим невесомым поршнем? Атмосферное давление равно 9,35·104 Па.

Ответ: 1,3 МДж.

2.11. Азот (N2) массой 5 кг нагрели на 150 К при постоянном объеме. Найти количество теплоты, сообщенной газу, изменение его внутренней энергии и совершенную газом работу.

Ответ: 7,75 МДж; 7,75 МДж; 0 Дж.

2.12. Водород (Н2), занимающий объем 10 м3 при давлении        100 кПа, нагрели при постоянном объеме. При этом давление газа повысилось до 300 кПа. Определить изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество подведенной к газу теплоты.

Ответ: 5 МДж; 0 Дж; 5 МДж.

2.13. При изохорном нагревании 50 л молекулярного кислорода (О2) давление газа изменилось на 0,5 МПа. Найти количество сообщенной газу теплоты.

Ответ: 62,5 Дж.

2.14. Баллон объемом 20 литров содержит молекулярный водород (Н2) при температуре 27 °С и давлении 0,4 МПа. Каковы станут температура и давление, если газу сообщить 6 кДж теплоты?

Ответ: 390 К; 520 кПа.

2.15. Кислород (О2) нагревается при постоянном давлении 80 кПа. При этом объем газа увеличивается от 1 до 3 м3. Определить изменение внутренней энергии газа, совершенную им при расширении работу и количество сообщенной газу теплоты.

Ответ: 0,4 МДж; 160 кДж; 560 кДж.

2.16. При изобарном нагревании молекулярного азота (N2) ему было сообщено 21 кДж теплоты. Найти работу, совершенную газом, и изменение его внутренней энергии.

Ответ: 6 кДж; 15 кДж.

2.17. Кислород (О2) массой 2 кг при давлении 0,2 МПа занимал объем 1 м3. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении, и его  объем газа увеличился до 3 м3. При этом объеме газ был нагрет еще, и давление газа увеличилось до      0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, подведенной к газу.

Ответ: 3,25 МДж; 0,4 МДж; 3,65 МДж.

2.18. Гелий массой 1 г нагрет на 100 К при постоянном давлении. Определить количество подведенной к газу теплоты, работу, совершенную газом при расширении, увеличение внутренней энергии газа.

Ответ: 520 Дж; 208 Дж; 312 Дж.

2.19. Водород (Н2) массой 4 г при постоянном давлении был нагрет на 10 °С. Найти работу, совершенную газом при расширении, и количество теплоты, подведенной к газу.

Ответ: 166 Дж, 581 Дж.

2.20. Идеальный газ, занимавший первоначально объем 12 л при давлении 105 Па и температуре 300 К, был изобарно нагрет на 100 °С. Найти работу расширения газа.

Ответ: 400 Дж.

2.21. Один моль азота (N2), занимавший при давлении 1,01·105 Па и температуре 0 °С объем 22,4 л, адиабатно удвоил свой объем. Найти давление и температуру газа после расширения и совершенную им работу.

Ответ: 0,038 МПа; 207 К; 1371 Дж.

2.22. Один моль азота (N2), занимавший при давлении 0,38·105 Па и температуре минус 66 °С объем 44,8 л, изотермически сжали до объема 22,4 л. Найти давление газа  и работу, совершенную при его изотермическом сжатии.

Ответ: 0,076 МПа; 1192 Дж.

2.23. Один моль азота, занимавший при давлении 1,01·105 Па и температуре      0 °С объем 22,4 л, адиабатно сжимают до объема, равного половине начального. После чего газ изотермически расширяется до первоначального объема. Найти конечное давление и температуру газа, а также совершенную им работу при изотермическом расширении.

Ответ: 0,13 МПа; 360 К; 2074 Дж.

2.24. При изобарном нагревании 800 молей идеального газа на 227 °С ему было сообщено 5,3 МДж теплоты. Определите совершенную газом работу и приращение его внутренней энергии.

Ответ: 1,5; 3,8 МДж.

2.25. В вертикально расположенном цилиндре под легко подвижным поршнем площадью 245 см2 находится 1 моль идеального газа при температуре 27 °С. На поршне лежит груз массой 12,5 кг. Атмосферное давление вне цилиндра         0,1 МПа. Газ  нагревают до температуры, при которой его объем увеличивается в 3 раза. Найти совершенную газом работу, первоначальный объем газа и число атомов в молекуле газа, если известно, что к газу было подведено 8725 Дж теплоты.

Ответ: 2493 Дж; 2,1·10-3 м3; 2.

 

3.1. Два моля идеального одноатомного газа, находящегося при 0 °С, сначала изохорно перевели в состояние, когда давление стало вдвое больше первоначального. Затем газ изобарно перевели в состояние, при котором его объем стал вдвое больше первоначального. Найти изменение внутренней энергии газа.

Ответ: 20,4 кДж.

3.2. В цилиндре под поршнем находится воздух. На его нагревание при постоянном давлении было затрачено 5 кДж теплоты. Найти совершенную газом работу. Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна            103 Дж/(кг·К), масса 1 моля воздуха 29 г.

Ответ: 1433 Дж.

3.3. Азот (N2) массой 200 г нагревают при постоянном давлении от 20 до        100 °С. Найти подведенное к газу количество теплоты, увеличение внутренней энергии газа и совершенную им работу.

Ответ: 16,6 кДж; 11,9 кДж; 4,7 кДж.

3.4. В цилиндре под поршнем находится воздух. Какую работу необходимо произвести, чтобы поднять поршень на высоту h1 = 10 см, если начальная высота столба воздуха в цилиндре была h0 = 15 см? Атмосферное давление вне цилиндра 1,01·105 Па, площадь поршня 10 см2. Поршень считать невесомым, а температуру воздуха в цилиндре неизменной.

Ответ: 7,7 Дж.

3.5. Идеальный двухатомный газ при давлении 1,01·105 Па занимал объем 5 л, а при давлении, втрое большем, – объем 2 л. Переход из первого состояния во второе был произведен в 2 этапа: сначала изохорно, а затем изобарно. Найти изменение внутренней энергии газа и произведенную над газом работу.

Ответ: -252,5 Дж; 909 Дж.

3.6. Идеальный двухатомный газ один раз сжали изотермически, а другой – адиабатно. Начальные температуры и давление газа в обоих случаях одинаковы. Конечное давление вдвое больше начального. Найти отношение работы адиабатного сжатия газа к работе изотермического сжатия.

Ответ: 0,7.

3.7. В цилиндре двигателя находится идеальный газ. Для его нагревания сожгли 2 кг нефти с удельной теплотой сгорания 4,3·107 Дж/кг. Расширившись, газ совершил работу 2 кВт.ч. Найти изменение внутренней энергии газа и коэффициент полезного действия установки.

Ответ: 78,8 МДж; 8,4 %.

3.8. Один литр гелия, находившегося при нормальных условиях, за счет полученного извне тепла изотермически расширился до объема 2 л. Найти работу, совершенную газом при расширении, и количество подведенной к газу теплоты. Нормальные условия это: температура 0 °С, давление 1,01·105 Па; один моль газа при нормальных условиях занимает объем 22,4 л; масса 1 моля гелия – 4 г.

Ответ: 70 Дж; 70 Дж.

3.9. Один моль водорода (Н2), первоначально имевший температуру 0 °С, нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы его объем удвоился? Найти работу, совершенную газом при расширении.

 Ответ: 3176 Дж; 2269 Дж.

3.10. Один кубометр молекулярного водорода (Н2) при температуре 0 °С находится в вертикальном цилиндре, закрытом сверху легко скользящим поршнем. Масса поршня 1 т, а его площадь 0,49 м2. Атмосферное давление 105 Па. Какое количество теплоты потребуется для нагревания водорода до 300 °С?

  Ответ: 461,5 кДж.

3.11. Какая доля количества теплоты, подводимой к идеальному одноатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение внутренней энергии газа, и какая доля – на работу расширения?                                                      

Ответ: 0,6; 0,4.

3.12. Идеальный двухатомный газ изобарно сжимают до объема в 10 раз меньше начального. Найти отношение затраченной на сжатие работы к увеличению внутренней энергии газа.

Ответ: 0,4.

3.13. Какую работу совершает 5 г водорода (Н2) при изотермическом расширении до утроенного объема? Температура газа 17 °С.

Ответ: 6,62 кДж.

3.14. Резиновый баллон был накачан до давления 220 кПа при температуре      17 °С . Нагревшись на солнце до температуры 57 °С, баллон лопнул. Считая процесс адиабатным, найдите изменение температуры вышедшего из баллона воздуха. Атмосферное давление 105 Па.                                                    

Ответ: 76 К.

3.15. Кислород (О2) нагрели при постоянном давлении на 12 °С. При этом было израсходовано 1760 Дж теплоты. Найдите массу кислорода.  

Ответ: 0,16 кг.

3.16. Азот (N2) в воздушном шаре занимает объем 2 дм3 при нормальном атмосферном давлении 105 Па. Определить количество тепла, которое необходимо сообщить газу, чтобы при постоянном давлении его объем увеличился вдвое. Натяжением оболочки шара пренебречь.                                           

 Ответ: 700 Дж.

3.17. Азот (N2) занимает объем 10 дм3 при давлении 105 Па. Определить количество тепла, которое необходимо сообщить газу, чтобы при постоянном объеме его давление увеличилось вдвое.

Ответ: 5 кДж.

3.18. Кислород (О2) массой 10 г, имевший начальную температуру минус 3 °С, нагревается при постоянном давлении 0,1 МПа. После нагревания объем газа стал 10 л. Определить количество полученной газом теплоты и увеличение внутренней энергии газа после нагревания.

Ответ: 1050 Дж; 750 Дж.

3.19. В закрытом стальном баллоне находится 1,4 кг азота (N2) при давлении  105 Па и температуре 300 К. После нагревания давление в баллоне увеличилось в 5 раз. Найти объем сосуда и количество теплоты, сообщенной газу.

Ответ: 1,25 м3; 1,25 МДж.

3.20. Один моль идеального двухатомного газа при постоянном давлении нагрели на 50 К. Какое количество теплоты при этом было сообщено газу?

Ответ: 1454 Дж.

3.21. Некоторой массе окиси углерода (СО) при постоянном давлении было сообщено 29,1 кДж теплоты. В результате этого температура газа возросла от    300 до 400 К. Найти массу газа и увеличение его внутренней энергии.

Ответ: 0,28 кг; 20,8 кДж.

3.22. В стальном баллоне объемом 1 л находится азот (N2), плотность которого 2,8 кг/м3. Азот нагрели на 100 °С. Какое количество теплоты было при этом сообщено газу?

Ответ: 207,8 Дж.

3.23. Кислород (О2), находящийся в стальном баллоне емкостью 100 л, при температуре 17 °С имеет давление 0,5 МПа. Какое количество теплоты нужно сообщить азоту, чтобы его давление возросло до 1,5 МПа?

Ответ: 250 кДж.

3.24. В дизельном двигателе атмосферный воздух объемом 10 л подвергается 12-кратному сжатию. Считая процесс сжатия адиабатным, найти конечное давление, температуру и работу сжатия, если начальное давление и температура были равны 0,1 МПа и 10 °С.

Ответ: 3,24 МПа; 764 К; 4300 Дж.

 

4.1. Гелий, находящийся в закрытом стальном баллоне объемом  2 дм3 при температуре 293 К и давлении 105 Па, нагревают на   100 К. Найти сообщенное гелию количество теплоты и его внутреннюю энергию при новой температуре.

Ответ:  102 Дж; 400 Дж.

4.2. В цилиндре с поршнем находится 1,6 кг кислорода (О2). Начальная температура газа 290 К, а давление 0,4 МПа. До какой температуры был нагрет газ, если совершенная при этом работа равна 40 кДж?

Ответ: 383 К.

4.3. В цилиндре с поршнем находится 2 кг воздуха. Начальная температура газа 293 К, а давление 0,98 МПа. Газ изобарно нагревают до  температуры 393 К.  Чему при этом равна работа, совершенная газом? Молярная масса воздуха   0,029 кг/моль.

Ответ: 57 кДж.

4.4. Вертикальный цилиндр закрыт невесомым поршнем. Площадь основания цилиндра 1 м2. Под поршнем находится воздух при температуре 0 °С и давлении 1,01·105 Па. Воздух под поршнем нагревают на 1 °С, и поршень при этом поднимается. Найти работу, совершенную расширяющимся воздухом.

Ответ: 370,4 Дж.

 4.5. Находящийся в цилиндре с поршнем кислород (О2) нагревается при постоянном давлении. Начальная температура газа 0 °С, масса газа 16 г. Какое количество теплоты было сообщено кислороду, если при этом его объем удвоился? Удельная теплоемкость кислорода при постоянном давлении Ср = 913,4 Дж/(кг·К).      

                                   Ответ: 7977 Дж.

4.6. В вертикальном цилиндре под поршнем находится 1 моль идеального газа. Масса поршня m, а площадь S. При нагревании на 1 К газ совершает работу по поднятию поршня. Найти эту работу. Давление наружного воздуха не учитывать. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).

Ответ: 8,31 Дж.

4.7. Идеальный газ находится в вертикально расположенном цилиндре с площадью дна 10 см2. Масса поршня 20 кг. Поршень в цилиндре может перемещаться без трения. Начальный объем газа 11,2 л. Температура газа 273 К. Теплоемкость этой массы газа при постоянном объеме СV = 21 Дж/К. Найти количество теплоты, необходимой для нагревания газа на 10 К. Давление наружного воздуха не учитывать.

Ответ: 297,5 Дж.

4.8. Нагревание одного моля идеального газа при постоянном давлении на 50 К потребовало 1454 Дж теплоты. Найти число атомов в молекуле этого газа и работу, совершенную газом при его нагревании.

Ответ: 2; 415,5 Дж.

4.9. Азот (N2) находится в закрытом баллоне, объем которого 3 л. Температура азота 300 К, а давление 0,3 МПа. После нагревания давление в баллоне повысилось на 2,2 МПа. Найти температуру газа после нагревания, количество сообщенной ему теплоты  и совершенную газом работу.

Ответ: 2500 К; 16,5 кДж; 0 Дж.

4.10. Одноцилиндровый двигатель объемом 200 см3 имеет степень сжатия 6 (т.е. объем газа при работе изменяется в 6 раз).  Максимальное давление в цилиндре 2·106 Па. Рабочим телом является идеальный двухатомный газ. Найти работу, совершаемую за 1 цикл, полагая процесс адиабатным. Найти изменение внутренней энергии газа.

Ответ: 511 Дж; 511 Дж.

4.11. Идеальный двухатомный газ расширяется адиабатно. При этом его температура уменьшается на 54 °С. Найти совершенную газом работу. Масса газа    12 кг, масса одного моля газа 28 г.

Ответ: 480 кДж.

4.12. Один моль идеального многоатомного газа, имевший температуру 290 К, был адиабатически сжат до 0,1 своего первоначального объема. Определить работу, затраченную на сжатие газа, и температуру газа после сжатия.

Ответ: 10,8 кДж; 725 К.

4.13. Для нагревания 5 м3 идеального двухатомного газа на 220 К при постоянном давлении 0,094 МПа потребовалось 1,3 МДж теплоты. Найти первоначальную температуру газа.

Ответ: 273 К.

4.14. Один моль идеального двухатомного газа, занимавший при температуре 273 К и давлении 0,1 МПа объем 22,4 л, адиабатно сжимают до объема 11,2 л. После чего газ изотермически расширяется до первоначального объема. Найти изменение внутренней энергии газа и количество подведенной к нему теплоты.

Ответ: 1807 Дж; 2047 Дж.

4.15. Водород (Н2) при постоянном давлении был нагрет на       297 К. При этом газу было сообщено 5,3 МДж теплоты. Определите массу газа и совершенную им работу.

Ответ: 1,6 кг; 1,5 МДж.

4.16. В стальном цилиндре с легко подвижным поршнем находится идеальный газ. К газу было подведено 5 кДж теплоты. При этом газ совершил работу 1433 Дж. Масса одного моля газа    0,029 кг. Определить удельную теплоемкость газа при постоянном давлении.

Ответ: 103 Дж/(кг·К).

4.17. Водород (Н2) изобарно нагрели на 100 К. Масса газа – 20 кг. Найти совершенную газом работу и количество подведенной к нему теплоты.

Ответ: 8,3 МДж; 29,1 МДж.

4.18. Идеальный двухатомный газ находится в цилиндре с невесомым легко подвижным поршнем. Атмосферное давление вне цилиндра 105 Па. Газу сообщили 700 Дж теплоты. Во сколько раз при этом увеличился занимаемый газом объем.

Ответ: 2.

4.19. Гелий массой 1,25 кг при температуре 270 К находится под давлением 0,1 МПа. Газ нагревают при постоянном давлении, и его объем становится равным 10-2 м3. Найти внутреннюю энергию газа после нагревания и количество подведенной к газу теплоты.                                                        

Ответ: 1502 Дж; 950 Дж.

4.20. В стальном баллоне при температуре 27 °С и давлении 0,1 МПа находится 0,2 кг гелия. После нагревания давление в баллоне возросло в 5 раз. Найти объем баллона и количество теплоты, сообщенной газу.

Ответ: 1,25 м3; 747,9 кДж.

4.21. Идеальный двухатомный газ при температуре 290 К находится под давлением 0,5 МПа в стальном баллоне емкостью 0,1 м3. После нагревания давление газа возросло втрое. Найти температуру газа после нагревания и количество подведенной к газу теплоты.

Ответ: 870 К; 250 кДж.

4.22. Четыре моля идеального газа при постоянном объеме охладили на 100 К. При этом от газа было взято 4986 Дж теплоты. Найти число степеней свободы молекул газа и уменьшение его внутренней энергии.

Ответ: 3; 4,986 кДж.

4.23. В герметично закрытом сосуде объемом 2 л находится одинаковое по массе количество азота (N2) и аргона. Давление в сосуде 0,1 МПа. Температура газовой смеси 273 К. Найти количество теплоты, необходимое для нагревания этой смеси на 100 К.

Ответ: 155 Дж.

4.24. В стальном баллоне емкостью 2 л при температуре 20 °С находится гелий. Давление газа в баллоне 100 кПа. Найти увеличение внутренней энергии газа при нагревании его до 120 °С.  

                                                                        Ответ: 102 Дж.

4.25. Один моль азота (N2) находится под давлением 100 кПа. Газу сообщается некоторое количество теплоты. В результате при постоянном давлении объем газа увеличивается вдвое. Найти количество подведенной к газу теплоты.

Ответ: 350 Дж.

4.26. В стальном баллоне объемом 2 л находится кислород (О2) под давлением 0,1 МПа. После нагревания газа давление в баллоне становится равным 0,2 МПа. Найти количество сообщенной газу теплоты.                   

                              Ответ: 500 Дж.

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

 

 

  1.   Какой круговой процесс называется равновесным и обратимым?
  2.  Чему равен коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины?
  3.  Приведите схему работы тепловой машины.
  4.  Чему равен коэффициент преобразования холодильной машины?
  5.  Приведите схему работы холодильной машины.
  6.  Какой процесс называется круговым (циклом)?
  7.  Какой процесс называется необратимым?
  8.  Приведите четыре примера необратимых процессов.
  9.  Какие процессы называются компенсирующими?
  10.  Дайте определение второго начала термодинамики в формулировке Томсона.
  11.  Дайте определение второго начала термодинамики в формулировке Клаузиуса.
  12.  Докажите эквивалентность формулировок Томсона и Клаузиса второго начала термодинамики.
  13.  Какая машина называется «вечным двигателем второго рода»?
  14.  Дайте определение прямого цикла Карно. Начертите график цикла в координатах PV.
  15.  Дайте определение обратного цикла Карно. Начертите график цикла в координатах PV.
  16.  Сформулируйте теорему Карно.
  17.  Чему равен КПД цикла Карно?
  18.  Почему КПД цикла Карно является максимальным?
  19.  Как определяется термодинамическая шкала температур?
  20.  Назовите четыре эквивалентных формулировки второго начала термодинамики.
  21.  Сформулируйте 3 следствия второго начала термодинамики.
  22.  Определите коэффициент использования энергии (КИЭ) кондиционера воздуха.
  23.  Определите коэффициент передачи тепла теплового насоса.
  24.  Сформулируйте второе начало термодинамики на основе микроскопических представлений о структуре вещества.
  25.  В чем заключается тепловое загрязнение окружающей среды?
  26.  При каких условиях цикл Карно будет необратимым?
  27.  Что является холодильником в двигателях?

 

2.1. Определить давление и температуру воздуха при совершении цикла Карно в точках пересечения изотерм и адиабат, если максимальное давление и объем равны Р1 = 1 МПа и V3 = 6 м3, минимальные Р3 = 0,1 МПа и V1 = 1 м3. Масса воздуха m = 10 кг, показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: Т1 = Т2 = 349 К; Р2 = 5,95×105 Па; V2 = 1,68 м3;

Т3 = Т4 = 210 К; Р4 = 1,67×105 Па; V4 = 3,59 м3.

2.2. Найти давление и объем в начале и конце адиабатического сжатия цикла Карно, если температуры холодильника и нагревателя равны Т2 = 300 К и Т1 =  = 1000 К, давление в начальной точке Р4 = 0,1 МПа, показатель адиабаты g =     = 1,4.

Ответ: Р1 = 6,7 МПа; V1 = 1,24 м3/кмоль; V4 = 25 м3/кмоль.

2.3. Найти давление и объем в начале и конце адиабатического расширения цикла Карно, если температуры нагревателя и холодильника равны Т1 = 1000 К и Т2 = 300 К, давление в начальной точке Р2 = 106 Па, показатель адиабаты g =  = 1,4.

Ответ: V2 = 8,3 м3/кмоль; Р3 = 0,15×105 Па; V3 = 166,7 м3/кмоль.

2.4. Найти величину работы, совершаемой газом при расширении в цикле Карно, если температура нагревателя Т1 = 1000 К, холодильника Т2 = 300 К, показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: А = 14,5×106 Дж/кмоль.

2.5. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, использует воду при 0 °С в качестве холодильника и воду при 100 ° С в качестве нагревателя. Сколько воды замерзнет в холодильнике, если в пар превратился 1 л воды в кипятильнике?

Ответ: m = 4,94 кг.

2.6. Температура холодильника в цикле Карно Т2 = 300 К. Определить, во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя увеличилась в 2 раза и стала больше температуры холодильника на 500 К.                                       

Ответ: 2,5 раза.

2.7. При совершении цикла Карно двухатомный идеальный газ увеличивается в объеме при изотермическом расширении в три раза. Работа, совершаемая за цикл, равна 10 кДж. Вычислить работу, совершаемую газом, в процессе адиабатического сжатия.

Ответ: А41 = -22,75 кДж.

2.8. Вычислить работу, совершаемую двухатомным идеальным газом в цикле Карно, если объем изотермического расширения изменяется от V1 = 1 м3 до V2 = = 2 м3. Работа, совершаемая в процессе адиабатического сжатия, равна -          25 кДж.

Ответ: А = 6,9 кДж.

2.9. Одноатомный идеальный газ совершает цикл Карно. Работа, совершаемая за цикл, равна 8 кДж, степень изотермического расширения равна двум. Найти работу, совершаемую газом, в процессе адиабатического сжатия.

Ответ: А = -17,44 кДж.

2.10. Цикл Карно совершается многоатомным идеальным газом при изменении объема в изотермическом расширении от V1 = 0,1 м3 до V2 = 0,2 м3. Найти работу, совершаемую газом за цикл, если работа адиабатического сжатия равна 7 кДж.

Ответ: А41 = -30,4 кДж.

2.11. Найти теплоемкость идеального газа, совершающего цикл Карно, если работа за цикл равна 9 кДж, степень изотермического расширения V2/V1 = 3, работа адиабатического сжатия равна -20,5 кДж.

Ответ: СV = 20,8 Дж/(моль×К).

2.12. Какой идеальный газ используется при проведении цикла Карно, если работа за цикл равна 6 кДж, объем газа при изотермическом расширении изменяется от V1 = 20 л до V2 = 40 л, работа адиабатического сжатия равна -13,1 кДж.

Ответ: одноатомный газ.

2.13. КПД цикла Карно h = 0,6, работа, совершаемая при изотермическом расширении, А12 = 10 Дж. Найти работу, совершаемую при изотермическом сжатии.

Ответ: А34 = 4 Дж.

2.14. Определить работу, совершенную над 1 молем воздуха в цикле Карно, если степень изотермического и адиабатического сжатия равна двум, температура холодильника Т2 = 300 К.

Ответ: Q2 + А41 = 3216 Дж.

2.15. Определить работу, совершаемую 1 молем воздуха в цикле Карно, если степень изотермического и адиабатического расширения равна двум, температура нагревателя Т1 = 400 К.

Ответ: Q1 + А23 = 4288 Дж.

2.16. Определить работу, совершенную одним молем воздуха в цикле Карно, если объем газа увеличился в четыре раза при получении в изотермическом процессе Q1 = 5650 Дж теплоты. Первоначально газ находится при нормальных условиях.

Ответ: А = 2478 Дж.

2.17. При проведении цикла Карно 10 молей воздуха объемом     V1 = 0,1 м3 получили в изотермическом процессе Q1 = 4545 Дж теплоты. Определить объем V2 промежуточного состояния газа, если первоначально газ находился в нормальных условиях.

Ответ: V2 = 0,122 м3.

2.18. При проведении цикла Карно один моль воздуха с температурой Т1 =        = 273 К увеличился в объеме в 4 раза. Определить температуру Т2, если в изотермическом процессе газ получил Q1 = 5670 Дж теплоты.

Ответ: Т2 = 425 К.

2.19. Найти КПД цикла Карно, если температура холодильника  Т2 = 0 °С, количество тепла, полученного от нагревателя, Q1 = 5 кДж, степень изотермического и адиабатного расширения одного моля воздуха равна четырем.

Ответ: h = 0,28.

2.20. Найти КПД цикла Карно, если температура холодильника  Т2 = 0 °С, количество тепла, полученного от нагревателя, Q1 = 6000 Дж, давление при изотермическом и адиабатном расширении изменяется в четыре раза.

Ответ: h = 0,4.

2.21. Определить наименьший объем газа V1, совершающего цикл Карно, если объем газа в процессах расширения и сжатия меняется следующим образом:    V2 = 500 л; V3 = 850 л; V4 = 170 л.

Ответ: V1 = 100 л.

2.22. Двухатомный газ при адиабатическом расширении в цикле Карно изменяет объем от V2 = 2 л до V3 = 4 л. Найти КПД цикла.

Ответ: h = 0,24.

2.23. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 50 кДж, при температурах холодильника t2 = -5 °С и окружающего воздуха t2 = 27 °С. Найти количество теплоты Q1, переданное машиной атмосфере.

Ответ: Q1 = 456 кДж.

2.24. Дом отапливается тепловым насосом, работающим по обратному циклу Карно. Температура в доме t = 20 °С, окружающего воздуха t = -20 °С. Во сколько раз количество теплоты, получаемой домом от сгорания угля в печке, меньше количества теплоты, переданной тепловым насосом с паровой машиной с КПД  h = 0,27, потребляющей ту же массу угля?

Ответ: 2 раза.

2.25. Найти коэффициент преобразования холодильника e, работающего по обратному циклу Карно, если при работе по прямому циклу его КПД равен           h = 0,25.

Ответ: e = 3.

 

3.1. Мощность паровой машины 10 кВт, объем цилиндра 4 л, объем V0 = 1 л, объем V1 = 3 л. Давление пара в котле Р1 = 1 МПа, в холодильнике Р0 =              = 0,1 МПа. Найти число циклов, которые делает машина за 1 с, если показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: 4 цикла.

3.2. Определить мощность паровой машины, делающей 10 циклов в секунду, если объем цилиндра V2 = 10 л, объем V0 = 1 л, объем V1 = 9 л, давление пара в котле Р1 = 1,5 МПа, в холодильнике Р0 = 105 Па. Показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: 125 кВт.

3.3. Определить мощность паровой машины, если давление пара в котле Р1 =     = 1,5 МПа, объем изобарного расширения V1 = 10 л, объем V0 = 1 л, температуры котла и холодильника t1 = 200 °С и  t2 = 50 °С соответственно. Машина делает 5 циклов в секунду, показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: 130 кВт.

3.4. Найти объем цилиндра паровой машины мощностью 10 кВт, совершающей один цикл в секунду, если давление пара в котле   Р1 = 2 МПа,  объем изобарного расширения V1 = 5 л, объемом V0 пренебречь. Показатель политропы g = 2.

Ответ: V2 = 5,3 л или 94,7 л.

3.5. Найти объем изобарного расширения в цикле паровой машины мощностью 10 кВт, совершающей 120 циклов в минуту, имеющей объем цилиндра V2 =        = 10 л, если давление пара в котле Р1 = 2 МПа. Показатель политропы g = 2. Объемом V0 пренебречь.

Ответ: V1 = 1,4 л или 8,6 л.

3.6. Мощность паровой машины Р = 10 кВт, площадь поршня S = 0,01 м2, ход поршня h = 0,5 м. Изобарный процесс происходит при давлении поршня на половину его хода. Давление пара в котле Р1 = 2 МПа, в холодильнике Р0 =           = 0,1 МПа. Объемом V0 пренебречь. Сколько циклов за минуту делает машина, если показатель адиабаты g = 1,3?

Ответ: 78 циклов.

3.7. Найти давление в котле паровой машины, работающей с частотой 50 Гц, мощностью 5 кВт, имеющей объем цилиндра V2 = 1 л, объем изобарного расширения V1 = 0,5 л, объемом V0 пренебречь. Показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: Р1 = 0,245 МПа.

3.8. Найти КПД h паровой машины, потребляющей за час работы массу m =       = 3,6 кг топлива с теплотой сгорания q = 14,3 МДж/кг, и работающей с частотой 10 циклов в секунду. Давление в котле Р1 = 1 МПа. Объем цилиндра V2 = 2 л, объем изобарного расширения V1 = 1 л, объемом V0 пренебречь. Показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: h = 0,1.

3.9. Определить часовой расход угля с теплотой сгорания q = 30 МДж/кг при работе паровой машины с КПД h = 15 %, объемом цилиндра V2 = 2 л, объемом изобарного расширения V1 = 1 л, давлением в котле Р1 = 2 МПа, делающей     300 циклов в минуту. Объемом V0 пренебречь. Показатель адиабаты g = 1,3.

Ответ: m = 12,28 кг.

3.10. Найти расход топлива двигателя Дизеля мощностью 100 кВт. Степень сжатия b = 15, степень изобарного расширения a = 4, показатель адиабаты g =   = 1,4. Теплота сгорания мазута q = 40 МДж/кг.

Ответ: 18 кг/ч.

3.11. Найти температуру воспламенения мазута в цилиндре двигателя Дизеля, если КПД h = 0,5, степень изобарного расширения a = 4, температура воздуха Т1 = 300 К, показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: Т2 = 900 К.

3.12. Найти давление в цилиндре двигателя Дизеля, если его КПД h = 0,5, степень изобарного расширения a = 4, показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: Р2 = 4,43 МПа.

3.13. Найти работу, совершаемую двигателем Дизеля за один цикл, если давление в цилиндре Р1 = 4,5×106 Па, объем цилиндра V1 = 6 л, объем изобарного расширения изменяется от V2 = 0,4 л до V3 = 1,6 л. Показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: А = 9,8 кДж.

3.14. Определить мощность дизельного двигателя, работающего с частотой     10 Гц, если максимальное давление в цилиндре объемом V1 = 8 л равно Р1 =       = 5 МПа, объем изобарного расширения изменяется от V2 = 0,5 л до V3 = 2 л. Показатель адиабаты g = 1,41.

Ответ: 140,5 кВт.

3.15. Мощность дизельного двигателя  70 кВт, давление в цилиндре объемом  V1 = 6 л равно Р1 = 4 МПа, объем изобарного расширения изменяется от V2 =      = 0,4 л до V3 = 1,6 л. Найти число циклов, которые делает двигатель за 1 с, если показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: 8 циклов.

3.16. Дизельный двигатель использует при работе 0,1 киломолей воздуха. Степень адиабатического сжатия b = 15, степень изобарного расширения a = 4, показатель адиабаты g = 1,4. Найти количество тепла, полученного газом за цикл, если в начале адиабатического сжатия температура Т1 = 300 К.

Ответ: Q = 7,85 МДж.

3.17. Найти работу, совершаемую за один цикл, бензиновым ДВС, если объем цилиндра V1 = 5 л, степень сжатия b = 6, показатель адиабаты g = 1,4, атмосферное давление Р0 = 105 Па.

Ответ: А = 2 кДж.

3.18. Мощность  бензинового ДВС 40 кВт, объем цилиндра         V1 = 4 л, степень сжатия b = 6, атмосферное давление Р0 = 105 Па, показатель адиабаты g =  = 1,4. Найти число циклов, которые делает двигатель за 1 с.

Ответ: n = 25 циклов.

3.19. Определить мощность бензинового ДВС, делающего 10 циклов в секунду, если объем цилиндра V1 = 2 л, степень сжатия b = 6, показатель адиабаты g =     = 1,4, атмосферное давление Р0 = 105 Па.

Ответ: 8 кВт.

3.20. Бензиновый двигатель потребляет за время t = 1 ч массу m = 1 кг бензина с теплотой сгорания q = 44 МДж/кг. Найти потери бензина на трение и нагрев окружающей среды, если степень сжатия b = 6, показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: m1 = 490 г.

3.21. Диаметр цилиндра бензинового ДВС d = 76 мм, ход поршня h = 16 см. Определить V2 камеры сжатия, если начальная температура горючей смеси Т1 =     = 400 К, конечная температура Т2 = 680 К. Показатель адиабаты g = 1,4.

Ответ: V2 = 0,263 л.

3.22. Идеальная холодильная машина мощностью 200 Вт находится в теплоизолированной комнате объемом V = 300 м3, воздух в которой является нагревателем машины. Температура воздуха в комнате ТВ = 300 К, давление Р = 105 Па, температура холодильной камеры ТХ = 250 К. Найти время работы машины, если температура в комнате повысилась на DТ = 1 К.

Ответ: t = 3,5 мин.

3.23. Система отопления в коттедже работает следующим образом: холодильная машина забирает тепло из уличного воздуха (t2 = 0 °С) и отдает его воде в отопительной системе (работает с помощью паровой машины при температуре котла t1 = 200 °С, температура воды в отопительной системе, являющейся охладителем паровой машины, t3 = 50 °С). Определить количество тепловой энергии, получаемой системой отопления, на 1 Дж химической энергии топлива.

Ответ: Q = 2,73 Дж.

3.24. Определить работу, совершаемую холодильной установкой, работающей по обратному циклу Карно, если из комнаты с температурой Т2 = 300 К отводится 10 МДж энергии в час в окружающую среду, температура которой Т1 =    = 330 К.

Ответ: А = 1 МДж в час.

3.25. Определить температуру окружающей среды и количество отводимого из комнаты тепла, если температура в комнате 25 °С, работа холодильной установки с коэффициентом преобразования h = 10 равна 3 МДж в час.

Ответ: t1 = 55 °С; Q = 30 МДж в час.

 

4.1. Один моль двухатомного газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД цикла, если газ, занимающий объем 10 л при давлении Р1 = 105 Па, увеличил эти параметры вдвое.

Ответ: h = 0,1.

4.2. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изотерм с температурами Т1 = 546 К и Т2 = 273 К, и двух изобар (Р1 = 2Р2). Найти КПД цикла, если рабочим веществом служит воздух.

Ответ: h = 0,142.

4.3. Найти число степеней свободы i газа, используемого в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из двух изотерм (Т1 = 50 К; Т2 = 300 К) и двух изобар (Р1 = 3Р2). КПД цикла h = 0,21.

Ответ: i = 3.

4.4. Определить степень сжатия газа Р1/Р2 в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему  из двух изотерм с температурами Т1 = 400 К и Т2 = 200 К и двух изобар. КПД цикла равно h = 0,22. В качестве рабочего вещества используется идеальный двухатомный газ.

Ответ: Р1/Р2 = 4.   

4.5. Определить максимальную температуру идеального одноатомного газа, используемого в качестве рабочего тела в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из двух изотерм (Т2 = 300 К) и двух изобар (Р1 = 2Р2). КПД цикла h = 0,19.

Ответ: Т1 = 800 К.

4.6. Определить минимальную температуру Т2 идеального многоатомного газа, используемого в качестве рабочего тела в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из двух изотерм (Т1 = 600 К) и двух изобар (Р1 = 3Р2). КПД цикла h = 0,15.

Ответ: Т2 = 400 К.

4.7. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат. Определить КПД цикла, если объем изменяется в 5 раз. В качестве рабочего тела используется воздух.

Ответ: h = 0,47.

4.8. Определить степень сжатия V1/V2 в тепловой машине с циклом, состоящим из двух изохор и двух адиабат, если КПД цикла h = 0,51. В качестве рабочего тела используется углекислый газ.

Ответ: V1/V2 = 8.

4.9. Найти число степеней свободы газа, используемого в качестве рабочего тела в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат, если степень сжатия газа V1/V2 = 6, а КПД цикла h = 0,3.

Ответ: i = 6.

4.10. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изотермы, изобары и изохоры. Максимальная температура достигается при изотермическом процессе и равна Т = 500 К. Степень сжатия 1 моля идеального газа составляет V1/V2 = 4. Найти работу А газа за цикл.

Ответ: А = 2644 Дж.

4.11. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изотермы, изобары и изохоры. Степень сжатия одноатомного газа составляет V1/V2 = 5. Найти КПД цикла.

Ответ: h = 0,29.

4.12. Определить степень сжатия V1/V2 в цикле тепловой машины, состоящем из изотермы, изобары и изохоры, КПД цикла h = 0,31. В качестве рабочего тела используется двухатомный идеальный газ.

Ответ: V1/V2 = 10.

4.13. Определить показатель адиабаты для газа, используемого в качестве рабочего тела в тепловой машине с циклом, состоящим из изотермы, изобары и изохоры, степень сжатия газа составляет V1/V2 = 10, КПД цикла h = 0,38.

Ответ: g = 1,67.

4.14. Определить число молей n газа, используемого в качестве рабочего тела в тепловой машине с циклом, состоящим из изотермы, изобары и изохоры, если степень сжатия газа равна V1/V2 = 4, температура изотермы Т = 600 К, работа газа за цикл А = 12,7 кДж.

Ответ: n = 4.

4.15. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изотермы, изобары и изохоры. Степень сжатия одного моля газа V1/V2 = 12, работа газа за цикл А =    = 13 кДж. Найти температуру изотермического процесса.

Ответ: Т = 1000 К.

4.16. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат. В качестве рабочего тела используется многоатомный идеальный газ. Степень сжатия газа Р1/Р2 = 10. Найти КПД цикла.

Ответ: h = 0,29.

4.17. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат. КПД цикла равно h = 0,37. В качестве рабочего тела используется двухатомный идеальный газ. Найти степень сжатия газа Р1/Р2.

Ответ: Р1/Р2 = 5.

4.18. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат. Определить показатель адиабаты, если КПД цикла h = 0,566, а степень сжатия газа Р1/Р2 = 8.

Ответ: g = 1,67.

4.19. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух адиабат с температурами Т1 = 300 К и Т2 = 400 К. Найти КПД цикла, если степень сжатия V1/V2 = 2, а в качестве рабочего тела используется многоатомный идеальный газ.

Ответ: h = 0,12.

4.20. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм с температурами Т1 = 273 К и Т2 = 573 К. Определить степень сжатия V1/V2 двухатомного газа, если КПД цикла равен h = 0,425.

Ответ: V1/V2 = 3.

4.21. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм с температурами Т1 = 250 К и Т2 = 500 К. Определить число степеней свободы i газа, используемого в качестве рабочего тела, если степень сжатия V1/V2 = 4, а КПД цикла равен h = 0,325.

Ответ: i = 3.

4.22. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм, причем минимальная температура Т1 = 300 К. Определить, во сколько раз максимальная температура цикла Т2 больше минимальной Т1, если степень сжатия газа    V1/V2 = 10, а КПД цикла равен h = 0,3.

Ответ: Т2/Т1 = 2.

4.23. Цикл тепловой машины состоит из изотермы, адиабаты и изобары, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Степень сжатия одноатомного газа равна Р1/Р2 = 2. Найти КПД цикла.

Ответ: h = 0,134.

4.24. Цикл тепловой машины состоит из изотермы, адиабаты и изобары. Изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Определить степень сжатия Р1/Р2 двухатомного газа, являющегося рабочим веществом цикла, если КПД цикла равен h = 0,3.

 Ответ: Р1/Р2 = 10.

4.25. Цикл тепловой машины состоит из изотермы при минимальной температуре, адиабаты и изобары. Определить показатель адиабаты g, если КПД цикла равен h = 0,235, а степень сжатия Р1/Р2 = 8.

Ответ: g = 1,33.

 

ЭНТРОПИЯ

 

 

1.1. Какими независимыми величинами характеризуется микросостояние системы?

1.2. Сколько независимых величин необходимо для характеристики микросостояния системы, состоящей из одной одноатомной молекулы (материальной точки)? Или из N одноатомных молекул?

1.3. Почему максимально подробный способ описания состояния системы (с помощью микросостояний) практической ценности не имеет? Назовите две независимые причины.

1.4. Дайте определение статистического веса (термодинамической вероятности) данного макросостояния.

1.5. Что называется фазовой точкой и фазовым пространством молекулы?

1.6. Сколько измерений имеет фазовое пространство молекулы?

1.7. Чем отличается термодинамическая вероятность от математической вероятности данного макросостояния?

1.8. Дайте определение энтропии, исходя из ее статистического смысла.

1.9. С какой точностью определяется энтропия в классической физике?

1.10. Что мешает точно определить энтропию в классической физике?

1.11. Для расчетов каких процессов можно использовать понятие энтропии, исходя из ее статистического смысла?

1.12. Какой процесс называется релаксацией? Сформулируйте закон релаксации.

1.13. Дайте определение энтропии, исходя из ее термодинамического смысла.

1.14. Для расчетов каких процессов можно использовать понятие энтропии, исходя из ее термодинамического смысла.

1.15. Сформулируйте закон возрастания энтропии.

1.16. Для каких систем выполняется закон возрастания энтропии? Является ли наша Вселенная такой системой?

1.17. Может ли энтропия уменьшаться? Если да – то укажите когда это возможно.

1.18. В каком состоянии замкнутой системы энтропия этой системы будет максимальной?

1.19. Объясните возрастание энтропии при фазовом переходе «твердое тело – жидкость», исходя из статистического смысла энтропии.

1.20. В каком агрегатном состоянии одна и та же масса вещества будет обладать наибольшей энтропией?

1.21. При одинаковых начальных и конечных температурах системы, в каком процессе: изохорическом или изобарическом, изменение энтропии системы будет больше?

1.22. За счет чего возрастает фазовое пространство молекулы при изотермическом расширении системы?

1.23. Какой процесс называется изоэнтропийным?

1.24. В каком состоянии должна находиться система, чтобы энтропия этой системы оставалась неизменной?

1.25. В замкнутой системе, не обменивающейся теплом с окружающей средой, объем разделен перегородкой на две части, в одной из которых весь газ, а в другой – вакуум.

Перегородку убрали. Что будет происходить с энтропией?

 

2.1. Найдите статистический вес наиболее вероятного распределения 6 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда.  

             Ответ: 20.

2.2. В сосуде находится N молекул идеального газа. Разделите мысленно сосуд на две одинаковые половины А и В. Определите математическую вероятность того, что в половине А сосуда окажется Nмолекул. Решите  задачу для случая N = 3, N1 = 1. 

Ответ: 0,375.

2.3. В сосуде объемом V находятся N молекул. Определите вероятность w того, что в объеме V1, который представляет собой часть объема V, не будет ни одной молекулы. Расчет проведите для случая, когда V/V1 = 2, N = 2.        

Ответ: 0,250.

2.4. Энтропия термодинамической системы в некотором состоянии равна      276 мДж/К. Определите логарифм статистического веса этого состояния системы.                      

Ответ: 2·1022.

2.5. Один моль идеального газа изотермически расширяется так, что при этом происходит увеличение энтропии на 5,75 Дж/К. Определите натуральный логарифм отношения статистических весов конечного и начального состояний газа.

Ответ: 4,2·1023.

2.6. Один моль идеального газа изотермически расширяется так, что при этом происходит увеличение энтропии на 8,31 Дж/К. Определите начальное давление газа, если конечное равно 5 кПа. 

 Ответ: 13,59 кПА.

2.7. Один моль идеального газа изотермически расширяется так, что при этом происходит увеличение энтропии на 9,13 Дж/К. Определите, во сколько раз при этом увеличился объем газа.                                                                                                                  

Ответ: 3.

2.8. Водород  массой  2 кг,  имеющий температуру  27 ºС,  подвергается  изотермическому  сжатию. Определите изменение энтропии газа, если работа сжатия равна 300 Дж.                                                                                                                        

Ответ: -1 Дж/К.

2.9. Идеальный газ, имеющий температуру 27 ºС, подвергается изотермическому расширению. Изменение энтропии при этом равно 2 Дж/К. Какое количество теплоты было передано газу?       

 Ответ: 600 Дж.  

2.10. Определите изменение энтропии при изотермическом расширении кислорода массой 10 г от объема 25 литров до объема 100 л.                             

              Ответ: 3,6 Дж/К.

2.11. Найдите приращение энтропии одного моля углекислого газа при увеличении его температуры в 2 раза, если процесс нагревания изохорический. Газ считать идеальным.  

 Ответ: 17,28 Дж/К.

2.12. В результате изохорического нагревания водорода массой   1 г давление газа увеличилось в два раза. Определите изменение энтропии газа.

              Ответ: 7,2 Дж/К.

2.13. В результате изохорического нагревания одного моля водорода температура увеличилась в 2 раза. Молярную теплоемкость при постоянном объеме для водорода считать независимой от температуры и равной 20 Дж/(моль·К). Определите изменение энтропии газа.                                         

 Ответ: 13,86 Дж/К.

2.14. До какой температуры нужно изохорно довести кислород массой 1 кг, находящийся при температуре 100 ºС, чтобы уменьшить его энтропию на 1000 Дж/К?               

      Ответ: 80 К.

2.15. В результате изохорического нагревания одного моля идеального газа его температура увеличилась в е раз. Изменение энтропии составило 20,8 Дж/К. Сколько атомов содержит молекула этого газа?

Ответ: 2.

2.16. Кислород массой 50 г нагревают изобарически, при этом температура газа увеличивается от 2 до 150 ºС. Найдите изменение энтропии газа.

Ответ: 19,6 Дж/К.

2.17. Водород массой 6,6 г расширяется изобарически до удвоения объема. Найдите изменение энтропии при этом расширении. 

 Ответ: 66,53 Дж/К.

2.18. Найдите приращение энтропии одного моля углекислого газа при увеличении его температуры в два раза, если процесс нагревания изобарический. Газ считать идеальным. 

 Ответ: 23,04 Дж/К.

2.19. В результате изобарического нагревания одного моля азота температура увеличилась в 2 раза. Молярную теплоемкость при постоянном давлении для азота считать независимой от температуры и равной 30 Дж/(моль·К). Определите изменение энтропии газа.   

Ответ: 20,79 Дж/К.

2.20. В результате изобарического нагревания одного моля идеального газа его объем увеличился в е раз. Изменение энтропии составило 29,1 Дж/К. Сколько атомов содержит молекула этого газа?           

Ответ: 2.

2.21. Найдите изменение энтропии при превращении 1 кг льда в воду при температуре плавления. Удельная теплота плавления льда равна 3,35·105 Дж/кг.

Ответ: 1,23 кДж/К.

2.22. Найдите изменение энтропии при превращении 1 кг воды в пар при температуре кипения. Удельная теплота парообразования воды равна 2,26 МДж/кг.

Ответ: 6,06 кДж/К.

2.23. При охлаждении воды массой 1 кг ее температура уменьшилась в 1,35 раза. Удельная теплоемкость воды равна 4,2 ·103Дж/(кг·К). Найдите изменение энтропии в этом процессе.

Ответ: -1,26 кДж/К.

2.24. Камень массой 2,2 кг падает с высоты 13,6 м на Землю. Температура окружающей среды 20 ºС. Определите изменение энтропии, вызванное этим процессом в системе «камень – Земля».

Ответ: 1 Дж/К.

2.25. При нагревании тела массой 1 кг его температура возросла в 2 раза. Изменение энтропии в этом процессе составило 1,25 кДж/К. Найдите удельную теплоемкость тела.                   

Ответ: 1,8 кДж/(кг·К).

 

3.1. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем, занимаемый 4 молями газа, чтобы его энтропия увеличилась на 23 Дж/К?                 

Ответ: 2.

3.2. При изотермическом расширении идеального газа, находящегося при температуре 17 ºС,  была совершена работа  870 Дж.  На сколько при  этом увеличилась энтропия газа?                                                                                                                             

Ответ: 3 Дж/К.

3.3. Один киломоль идеального газа изотермически расширяется так, что при этом происходит изменение энтропии на 5750 Дж/К. Определите отношение начального и конечного давлений газа.

Ответ: 2.

3.4. В результате изотермического сжатия 0,887 м3 воздуха, находящегося при температуре 30 ºС и начальном давлении 0,1 МПа, энтропия его уменьшилась на 673 Дж/К. Определите объем воздуха в конце процесса.                    

Ответ: 8,87·10-2 м3.

3.5. При изохорическом нагревании 1 моля азота энтропия газа возросла на  20,8 Дж/К. Во сколько раз возросло давление газа?

Ответ: 2,72.

3.6. В результате изохорического охлаждения углекислого газа массой 44 г температура газа уменьшилась в е раз. Определите изменение энтропии газа.

Ответ: -24,93 Дж/К.

3.7. При изохорическом нагревании 1 моля газа энтропия возросла на 22,85 Дж/К, а температура в 3 раза. Найдите молярную теплоемкость этого газа при постоянном объеме. Сколько атомов имеет молекула этого газа?       

Ответ: 20,8 Дж/К; 2.

3.8. Два киломоля гелия, находящегося при нормальных условиях, расширяются адиабатически так, что занимаемый объем увеличивается в 3 раза. Определите изменение энтропии газа.  

Ответ: 0 Дж/К.

3.9. Два тела с начальными температурами Т1 и Т2, причем Т1 > Т2, приведены в соприкосновение. Процесс выравнивания температур проходит без теплообмена с окружающей средой. Как изменится суммарная энтропия этих тел?

Ответ: Увеличится.

3.10. Азот массой 1 кг сжимают поршнем адиабатически так, что его объем уменьшается в 5 раз, а затем при постоянном объеме давление возрастает в      25 раз. Определите изменение энтропии азота.           

Ответ: 2,39 кДж/К.

3.11. Гелий   массой  1,7 кг   адиабатически   расширили  в 3  раза  а  затем   изобарически  сжали   до  первоначального  объема.  Найти изменение энтропии в этих процессах.         

Ответ: -9,7 кДж/К.

3.12. Кислород массой 0,2 кг при давлении 5 кПа занимает объем 8,31 м3. Для изотермического удвоения объема газа необходимо 160 Дж теплоты. Найдите изменение энтропии газа.

Ответ: 0,2 Дж/К.

3.13. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении азота массой   4 г от объема V1 = 5 л до объема V2 = 9 л.

Ответ: 2,43 Дж/К.

3.14. Кислород  массой  2  кг увеличил свой объем в 5 раз один раз изотермически, другой – адиабатически.  Найдите  изменение энтропии в каждом из указанных процессов.           

Ответ: 836 Дж/К; 0 Дж/К.

3.15. Определите изменение энтропии при изотермическом сжатии 7 мг азота на 1/106 часть первоначального объема, занимаемого газом.       

Ответ: -2,1 нДж/К.

3.16. Вода массой 1 кг была охлаждена от 100 до 0 ºС. Удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кг·К). Найдите изменение энтропии в этом процессе.         

Ответ: -1,31 кДж/К.

3.17. Кусок льда массой 1 кг, имеющий температуру 233 К, превращается в воду при температуре 273 К. Теплоемкость льда равна 1,8 кДж/(кг·К), а удельная теплота плавления – 335 кДж/кг. Найдите изменение энтропии в этом процессе.

Ответ: 1,51 кДж/К.

3.18. Кусок льда массой 200 г, взятый при температуре -10 ºС, был расплавлен, после чего образовавшаяся вода нагрета до температуры 10 ºС. Теплоемкость льда равна 1,8 кДж/(кг·К), а удельная теплота плавления – 335 кДж/кг. Теплоемкость воды – 4,2 кДж/(кг·К). Найдите изменение энтропии в ходе указанных процессов.                        

Ответ: 291 Дж/К.

3.19. Вода массой 100 г, взятая при температуре 273 К, была заморожена в лед до температуры 253 К. Теплоемкость льда равна 1,8 кДж/(кг·К), а удельная теплота плавления - 335 кДж/кг. Найдите изменение энтропии в этом процессе.

Ответ: 136 Дж/К.

3.20. Смешали воду массой 5 кг при температуре 280 К с водой массой 8 кг при температуре 350 К. Теплоемкость воды равна   4,2 кДж/(кг·К). Найдите изменение энтропии, происходящее при смешивании.    

Ответ: 0,3 кДж/К.

3.21. Один киломоль идеального газа изобарически расширяется так, что при этом происходит увеличение энтропии на 5,75 кДж/К. Определите логарифм отношения термодинамических вероятностей конечного и начального состояний газа.     

Ответ: 4,2·1026.

3.22. Теплоизолированный сосуд объемом V разделен перегородкой на две части, объемы которых относятся как 1:2. В большей части находится 0,1 моля идеального газа, в меньшей же создан высокий вакуум. Определите изменение энтропии при удалении перегородки.                        

Ответ: 0,337 Дж/К.

3.23. Найдите, во сколько раз статистический вес наиболее вероятного распределения 8 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда больше такого же распределения из 6 молекул?       

Ответ: 3,5.

3.24. В сосуде объемом V находятся 4 молекулы идеального газа. Определите вероятность w того, что все молекулы соберутся только в половине этого сосуда.                      

Ответ: 0,0625.

3.25. В сосуде  объемом  V  находятся 4 молекулы идеального газа. Определите вероятность w того, что в одной половине сосуда будет одна молекула газа, а в другой – три.

Ответ: 0,25.

 

4.1. Мотор сообщает 1 Дж механической энергии холодильнику, поглощающему тепло из морозильной камеры при температуре  –20 ºС и передающему его окружающему воздуху, имеющему температуру 15 ºС. Определите изменение энтропии морозильной камеры, считая, что холодильник работает по обратному циклу Карно.

Ответ: -28,57 мДж/К.

4.2. Два баллона объемами 1 и 11 м3 соединяются трубкой с краном. В первом баллоне находится 1 кг воздуха при температуре  1 ºС, во втором – 36 кг воздуха при температуре 60 ºС. Найдите изменение энтропии системы после открывания крана и достижения равновесия, если система находится в термостате.    

Ответ: 1,622 кДж/К.

4.3. В калориметре с пренебрежимо малой теплоемкостью находится 400 г воды при температуре 273 К. В воду бросили кусочек льда массой 50 г при температуре 200 К и одновременно пустили 10 г пара при температуре 373 К. Найдите изменение энтропии системы. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

 Ответ: 28,6 Дж/К.

4.4. Два сосуда, емкости которых равны 2 и 1 л, содержат соответственно 20 г окиси углерода (СО) и 10 г кислорода, причем температуры газов одинаковы. Сосуды соединяют, и газы перемешиваются. Найдите изменение энтропии в этом процессе.

Ответ: 5,26 Дж/К.

4.5. Пять молей идеального газа адиабатически расширяются в вакуум от объема в 1 до 20 л. Вычислите изменение энтропии газа.    

Ответ: 124 Дж/К.

4.6. Давление насыщенного водяного пара при температуре 280 К равно 1 кПа. Пар, первоначально занимающий объем 2 л, изотермически сжимается так, что половина его конденсируется. Определите изменение энтропии системы. Удельную теплоту парообразования при этой температуре считать равной                   1 МДж/кг.                     

Ответ: -27,63 мДж/К.

4.7. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно в интервале температур от +70 до -50 ºС. Рабочим веществом является азот массой 50 г. Определите изменение энтропии газа, если отношение максимального объема газа к минимальному равно 4.                                                   

Ответ: 4,60 Дж/К.

4.8. В двух баллонах, соединенных трубкой с краном, находится 1 кг азота и 1 кг углекислого газа. Определите изменение энтропии системы после открытия крана и установления равновесия. Известно, что температуры и давления газов до смешения были одинаковы.                                              

   Ответ: 325 Дж/К.

4.9. Адиабатически изолированный сосуд разделен перегородкой на две равные части, одна из которых пуста, а в другой находится 1 моль двухатомного идеального газа при температуре 100 К. После удаления перегородки газ изотермически сжимают до начального объема. Определите изменение энтропии газа.

                                    Ответ: 5,76 Дж/К.

4.10. Прирост энтропии между двумя адиабатами в цикле Карно равен 100 Дж/К. Разность температур между двумя изотермами  равна  100 К. Какое количество теплоты превращается в работу в этом цикле?   

                                            Ответ: 10 кДж.

4.11. Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился  в 3 раза, затем он был изохорически охлажден так, что давление его уменьшилось в 3 раза. Найдите изменение энтропии в ходе указанных процессов.

Ответ: 457 Дж/К.

4.12. Кусок льда массой 10 г, имеющий температуру 173 К, превращается в пар при температуре 373 К. Теплоемкости воды и льда считать равными 4,19 и      1,8 кДж/(кг·К), удельная теплота плавления льда 0,335 МДж/кг. Удельная теплота парообразования равна 2,26 МДж/кг. Найдите изменение энтропии.

 Ответ: 94,1 Дж/К.

4.13. Два сосуда с водой соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится 1 кг воды, нагретой до 300 К, во втором – 60 кг воды, имеющей температуру 273 К. Найдите изменение энтропии системы после открывания крана и установления равновесного состояния. Система заключена в теплоизолирующую оболочку.                            

      Ответ: 38,1 МДж/К.

4.14. Определите изменение энтропии 1 кг углекислого газа в результате сжатия от давления 100 кПа при температуре 10 ºС до давления 600 кПа при температуре 100 °С.

Ответ: -130 Дж/К.

4.15. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарического и адиабатического процессов. При изобарическом процессе рабочее вещество (воздух массой 1 кг) нагревается от температуры 50 К до температуры 400 К. Определите изменение энтропии рабочего вещества при изотермическом сжатии.                                      

    Ответ: -2,086 кДж/К.

4.16. Теплоизолированный сосуд, разделенный перегородкой на две части объемами 1 и 11 л, наполнен азотом. В первой части азот находится под давлением 10 кПа, во втором – 400 кПа, температура газа одинакова и равна 10 ºС. Определите изменение энтропии после удаления перегородки и установлении равновесного состояния.                                     

Ответ: 1,19 Дж/К.

4.17. Гелий, находившийся в тонкостенном резиновом мешке объемом 10 дм3 при нормальном давлении, в результате длительного хранения продиффундировал наружу. Вычислите изменение энтропии гелия, если в обычном воздухе на один атом гелия приходится 107 молекул других газов.          

   Ответ: 68,2 Дж/К.

4.18. Два цилиндра, заполненные одинаковым двухатомным газом, сообщаются с помощью трубки. В цилиндрах поддерживается постоянное давление, равное 1 атм. Начальные значения объемов и температур газа равны: 1 л и 11 л, 100 К и 450 К. После соединения цилиндров происходит выравнивание температур. Найдите изменение энтропии.              

 Ответ: 4,30 Дж/К.

4.19. Один моль идеального двухатомного газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление в 5 раз больше наименьшего, а наибольший объем в 5 раз больше наименьшего. Определите изменение энтропии газа при изобарическом сжатии.                            

 Ответ: -46,8 Дж/К.

4.20. В сосудах объемами V1 и V2 находятся по 1,2 моля гелия. Отношение объемов сосудов V2/V1 = 2, а отношение абсолютных температур гелия в них Т1/Т2 = = 1,5. Считая газ идеальным, найдите разность энтропий ΔS гелия в этих сосудах.

Ответ: 0,85 Дж/К.

4.21. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равной первоначальной. Найдите приращение энтропии газа, если его давление в этом процессе изменилось в 3,3 раза.

Ответ: 19,84 Дж/К.

4.22. Теплоизолированный сосуд разделен на две равные части перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие. В одной половине сосуда содержится 10 г водорода. Вторая половина откачена до высокого вакуума. Отверстие в перегородке открывают, и газ заполняет весь объем. Считая газ идеальным, найдите изменение его энтропии.            

     Ответ: 29 Дж/К.

4.23. Определите количество тепла, которое необходимо сообщить макроскопической системе, находящейся при температуре 290 К, чтобы при неизменном объеме ее статистический вес (термодинамическая вероятность) увеличился на 1 %.

Ответ: 4·10-23 Дж.

4.24. Кислород и водород, имеющие одинаковые массы и занимающие одинаковые объемы V, изотермически сжимают до объема V/2. Для какого газа приращение энтропии будет больше и во сколько раз?                             

Ответ:  Для водорода, в 16 раз.

4.25. Определите изменение энтропии одноатомного идеального газа при политропическом сжатии в 5 раз, если в ходе всего процесса приращение внутренней энергии в 5 раз меньше работы сжатия, совершенной над газом.               

 Ответ: -16,0 Дж/К.

 

14. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ

А. Реальные газы

  1. Что называется реальным газом?
  2. При каких условиях, с энергетической точки зрения, свойст­ва реальных и идеальных газов совпадают?
  3. Какова схема возникновения ориентационных сил молеку­лярных взаимодействий?
  4. Запишите среднее значение потенциальной энергии ориентационного межмолекулярного взаимодействия.
  5. Опишите возникновение индукционных (поляризационных) сил. Чему равна потенциальная энергия взаимодействия в этом случае?
  6. Как возникает дисперсионное молекулярное взаимодейст­вие?
  7. Силы отталкивания и силы притяжения между молекулами. Потенциал Ленарда – Джонса.
  8. Запишите уравнение Ван-дер-Ваальса. Какие эффекты учи­тывает это уравнение?
  9. Выведите формулу для расчета избыточного внутреннего давления.
  10. Почему внутреннее давление Р' реального газа не зависит от материала стенок?
  11. В чем состоит различие изотерм реального и идеального   газа?     
  12. Что представляет собой горизонтальный участок изотермы?
  13. Каким образом определяют критическую точку на изотерме Ван-дер-Ваальса по методу Каньяра де ля Тура?
  14. Объясните смысл критических параметров реального газа.
  15. Являются ли постоянными поправки а и b Ван-дер-Ваальса, если нет, то почему?
  16. Поясните смысл эффекта Джоуля – Томсона. Нарисуйте схе­му осуществления процесса.
  17. В каком случае эффект Джоуля – Томсона называется по­ложительным (отрицательным)? Приведите примеры.
  18. Что подразумевают под дифференциальным и интеграль­ным эффектом Джоуля – Томсона?
  19. Какой процесс возможен при дросселировании водорода? Объясните этот процесс.
  20. Какая температура называется температурой инверсии дифференциального эффекта Джоуля – Томсона?
  21. Какая температура называется температурой инверсии ин­тегрального эффекта Джоуля – Томсона?
  22. В чем состоит качественное и количественное отличие ре­ального и идеального газа?
  23. Приведите принципиальные схемы холодильных машин, работающих по принципу адиабатического расширения и дроссе­лирования.
  24. Приведите интервалы температур, которые можно достичь путем сжижения газов.
  25. Получите формулу для расчета полной энергии ван-дер-ва-альсовского газа.

 

2.1. Определить давление ван-дер-ваальсовского водорода при температуре       0 °С, если молярный объем равен 0,5 м3.

Ответ: 22,8×105 Па.

2.2. Определить давление ван-дер-ваальсовского кислорода при температуре -100 °С, если молярный объем равен 1 л.

Ответ: 14,86×105 Па.

2.3. Определить собственный объем молекул углекислого газа, находящегося в баллоне при температуре Т = 0 °С, если его масса равна 0,5 кг.   

                                         Ответ: 1,22×10-4 м3.

2.4. Определить собственный объем молекул гелия, находящегося при температуре -100 °С, если его масса 0,1 кг.  

Ответ: 1,50×10-4 м3.

2.5. Определить собственный объем молекул гелия и собствен­ный объем молекул хлористого водорода, если их масса одинако­ва и равна 0,2 кг. Объяснить полученный результат.

Ответ: 3×10-4 м3; 0,28×10-4 м3.

2.6. Определить внутреннее давление кислорода, находящегося в баллоне объемом 1 л при температуре 0 °С. Масса кислорода 1 кг.                  

Ответ: 13,28×105 Па.

2.7. Определить внутреннее давление азота, находящегося в бал­лоне объемом   1 л при температуре 0 °С. Масса кислорода 0,1 кг. Сравнить полученную величину с давлением на стенки баллона.

Ответ: 13,28×103 Па; 70,9×106 Па.

2.8. В баллоне вместимостью V = 6 л находится кислород т = 0,6 кг при температуре 290 К. Найти давление газа на стенки сосуда (b = 0,032 м3/К×моль;          а = 1,36×105 Н×м4/К×моль2).

Ответ: 70,4×105 Па.

2.9. Найти величину дифференциального эффекта Джоуля – Том­сона для кислорода при температуре 290 К.

Ответ: DТ/DР = -0,032.

2.10. Найти величину дифференциального эффекта Джоуля –Томсона для кислорода при температуре -100 °С. Сравнить с от­ветом к предыдущей задаче и объяснить его.

Ответ: DТ/DР = -0,032.

2.11. Определить давление Р водяного пара массой т = 1 кг, взя­того при температуре Т = 380 К в объеме 1000 и 2 л.

Ответ: 174 кПа; 3,94 МПа.

2.12. В сосуде емкостью V = 0,3 л находится один моль углеки­слого газа при температуре 300 К. Определите давление Р газа:  1) по уравнению Клапейрона – Менделеева; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.                        

         Ответ: 8,31 МПа; 5,67 МПа.

2.13. Найдите критическую температуру и температуру инверсии дифференциального эффекта Джоуля – Томсона для кислорода.

Ответ: 151,5 К; 1022 К.

2.14. Углекислый газ адиабатически расширяется в пустоту, при этом температура газа уменьшается на 0,26 °С. Вычислите рабо­ту, совершаемую 4,4 г газа против межмолекулярных сил притя­жения.                                                   

   Ответ: 0,7 Дж.

2.15. Найти удельный объем бензола в критическом состоянии, если его критическая температура Ткр = 562 К и критическое дав­ление Ркр = 46 атм.      

Ответ: 4,7 см3/г.

2.16. Вычислите постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическая температура Ткр = 304 К и критическое давление Ркр = 73 атм.

Ответ: а = 3,6×105 Н×м4/кмоль2; b = 0,043 м3/кмоль.

2.17. Найти наибольший объем, который может занимать вода массой m = 1 кг в жидком состоянии (а = 5,4×10 Н×м4/кмоль2; b = 0,03 м3/кмоль).         

Ответ: V = 5 л.

2.18. Найти изменение DU внутренней энергии в результате изо­термического расширения т = 40 г гелия от объема V1 = 300 см3 до V2 = 600 см3.   

Ответ: 560 Дж.

2.19. Найти изменение DU внутренней энергии в результате изо­термического расширения т = 40 г углекислого газа от объема   V1  = 300 см3 до V2 = 600 см3.  

Ответ: 496 Дж.

2.20. Найти внутреннюю энергию водорода, если Т1 = 300 К, V = 1 см3, т = 1 г. 

Ответ: 3 кДж.

 

2.21. Найти внутреннюю энергию хлористого водорода, если V = 1 см3, m = 1 г, T = 300 К.                               

      Ответ: 91 Дж.

2.22. Найти внутреннюю энергию углекислого газа, если V = 1 см3, m = 1 г, T = = 300 К.                                     

 Ответ: -44 Дж.

2.23. Оцените  возможное  значение  объема  водорода,  при  котором  происходит  инверсия  интегрального  эффекта  Джоуля – Томсона, если температура инверсии Т = 202 К, а = 0,245×105 Н×м4/кмоль2, b = 0,0266 м3/кмоль. Каков физический смысл этой величины.                                                         

    Ответ: 0,3 м3.

2.24. Какова потенциальная энергия взаимного притяжения 0,1 моля молекул водорода.                            

       Ответ: -1,1 кДж.

2.25. Зная постоянные Ван-дер-Ваальса воды (а = 5,45×105 Н×м4/кмоль2, b =        = 0,030 м3/кмоль), найдите наибольшее давление насыщенных паров воды.

Ответ: Р = 230 атм.

 

3.1. 1 киломоль гелия занимает объем V = 0,237 м3 при темпера­туре Т = 73 К. Найдите давление газа.      

    Ответ: Р = 2,7×106 Па.

3.2. Найти, во сколько раз давление газа больше его критического давления, если известно, что его объем и температура вдвое больше критических значений этих величин.

Ответ:

3.3. 1 киломоль кислорода занимает объем 56 л при давлении 90,25×106 Па. Найти температуру кислорода.          

   Ответ: 400 К.

3.4. 0,5 киломоля трехатомного газа адиабатически расширяется в вакуум от    V1 = 0,5 м3 до V2 = 3 м3. При этом происходит пониже­ние температуры газа на 12,2 °С. Найдите по этим данным посто­янную а Ван-дер-Ваальса.   

    Ответ: а = 3,64×105 Н×м4/кмоль2.

3.5. 1 киломоль кислорода занимает объем 42 л при давлении 90×106 Па. Найдите температуру кислорода.           

   Ответ: 145 К.

3.6. Найдите, во сколько раз давление 1 киломоля кислорода больше его критического давления, если температура кислорода 400 К, а занимаемый объем равен 0,056 м3.       

   Ответ: 18,4 раза.

3.7. Найти соотношение между температурой кислорода и его критической температурой, если кислород занимает объем 0,056 м3 при давлении 920 атм.                                       

 Ответ: 2,6.

3.8. 1 киломоль азота занимает объем 55 л при давлении 620 атм. Найти температуру азота.                           

         Ответ: 239 К.

3.9. Найти, во сколько раз температура 1 киломоля азота превы­шает его критическую температуру, если он находится при дав­лении 6,08×107 Па и занимает объем 55 дм3.        

  Ответ: в 1,9 раз.

3.10. 1 киломоль гелия находится под давлением Р = 2,7×10 Па при температуре t = -200 °С. Какой объем занимает гелий.

Ответ: 237 л.

3.11. Какое давление нужно осуществить, чтобы углекислый газ превратился в жидкость при температуре 31 °С.

Ответ: Р = 73 атм.

3.12. Найти плотность водяных паров при критическом состоя­нии, если известна константа Ван-дер-Ваальса b = 0,0306 м3/кмоль.                            

    Ответ:  rкр = 196 кг/м3.

3.13. Найти плотность гелия в критическом состоянии, если из­вестно, что Ткр = = 5,2 К; rкр = 2,25 атм.

Ответ:  57 кг/м3.

3.14. Аргон в количестве 1 кмоля находится в баллоне емкостью 100 л при давлении 1000 атм. Найти соотношение между крити­ческим объемом молекул аргона и емкостью баллона.

Ответ:

3.15. Какое давление необходимо осуществить, чтобы углекис­лый газ превратить в жидкость при температуре 50 °С.

Ответ: процесс осуществить невозможно. Дать объяснение.

3.16. Какой наибольший объем может занимать 1 кг жидкой уг­лекислоты?       

Ответ: 2,9 л.

3.17. Какой наибольший объем может занимать 1 кг жидкого во­дорода?

Ответ: 40 л.

3.18. Найти константу а Ван-дер-Ваальса, если при расширении 0,5 кмоля газа от V1 = 1 м3 до V1 = 1,2 м3 была совершена работа А = 5800Дж.                                   

       Ответ: 1,36×105 Н×м4/кмоль2.

3.19. Найти эффективный диаметр молекулы кислорода, если Тк = 154 К и Рк = = 50 атм.                                

         Ответ: » 3 Å.

3.20. Найти эффективный диаметр атома гелия, если Тк = 5,2 К и Рк = 2,25 атм.  

Ответ: 2,7 Å.

3.21. Найти внутреннее давление, обусловленное силами взаимо­действия молекул, заключенных в 1 кмоле газа, находящегося при нормальных условиях. Критическая температура Ткр = 417 К.

Ответ: 1,3×103 Н/м2.

3.22. Найти внутреннее давление, обусловленное силами взаимо­действия молекул, заключенных в 1 кмоле газа, находящегося при нормальных условиях. Критическое давление этого газа     Ркр = 126 атм и критическая температура   Ткр = 33,6 К.

Ответ: 35×103 Н/м2.

3.23. Найти плотность водорода при критическом состоянии, счи­тая известной для него b = 0,0263 м3/кмоль.

Ответ: rк =  = 25,4 кг/м3.

3.24. Найти понижение температуры при расширении 20 кг азота в пустоту от V1 = 1,0 м3 до V2 = 2 м3.                         

  Ответ: 2,3 °.

3.25. Найти изменение температуры при расширении 32 кг ки­слорода в пустоту от V1 = 1,2 м3 до V2 = 1,6 м3.       

    Ответ: 1,36°.

 

Б. Поверхностное натяжение. Формула Лапласа. Явления ка­пиллярности и смачивания.  Испарение и кипение жидкостей

 

 

  1. Когда возникает жидкое состояние вещества?
  2. Какая сила называется поверхностным натяжением?
  3. Каково соотношение между радиусом молекулярного дейст­вия и средним расстоянием между молекулами жидкости? Какова величина среднего расстояния между молекулами в жидкостях для различных жидкостей?
  4. Поясните, каким образом возникает поверхностное натяже­ние?
  5. При каких условиях поверхностное натяжение становится равным нулю?
  6. Запишите уравнение Бачинского, установившего зависимость между поверхностным натяжением и плотностями жидкости и пара.
  7. Зависит ли величина поверхностного натяжения жидкости от вида газа или жидкости над поверхностью жидкости? Дайте подробный ответ.
  8. Что называют свободной энергией жидкой поверхности?
  9. В чем состоит отличие свободной энергии от потенциаль­ной?
  10. Определите величину, называемую теплотой образования единицы поверхности пленки.
  11. Существует утверждение, что вблизи абсолютного нуля поверхностное натяжение жидкости перестает зависеть от температуры. О каких жидкостях идет речь?
  12. Условие существования мыльного пузыря? Какое давление называют внутренним?
  13. Объясните формулу Лапласа и поясните смысл величин, входящих в формулу.
  14. Почему мыльные пленки, затягивающие объемный прово­лочный контур, имеют седлообразную поверхность?
  15. Можно ли поднять каплю ртути, используя какую-либо па­лочку, стержень? Ответ объяснить.
  16. Что называют капиллярным поднятием и капиллярным опусканием? Приведите примеры.
  17. Рассчитайте радиус капли воды, вытекающей из узкой вер­тикальной трубки радиусом r, если величина поверхностного натяжения воды равна 0,75 Н/м, r = 10-3 м.
  18. Что понимают под терминами «смачивание» и «несмачи­вание». Приведите примеры.
  19. Объясните появление «ленгмюровского частокола» на по­верхности раствора. 
  20. Какое явление называют испарением?
  21. Какой пар называется насыщенным?
  22. Объясните принцип действия пузырьковой камеры.
  23. Какое явление называют конденсацией и переохлажденным паром?
  24. Объясните принцип действия камеры Вильсона.
  25. Определите наибольшее давление насыщенных паров.

 

2.1. Найти дополнительное (лапласовское) давление, создаваемое поверхностью находящегося под водой пузырька воздуха диа­метром 18 мм; мыльного пузыря диаметром 20 мм.

Ответ: 16 Па; 16 Па.

2.2. Каким диаметром должен обладать мыльный пузырь, чтобы дополнительное давление на его поверхности было равно 200 Па.

Ответ: 1,6 мм.

2.3. Определить внутренний диаметр стеклянного капилляра, если искривленная поверхность воды в ней создает дополнительное давление 320 Па, а краевой угол равен 30 °.          

 Ответ: 0,78 мм.

2.4. Диаметр капилляра равен 0,2 мм. Определить высоту подня­тия воды и керосина при температуре 290 К.

Ответ: 15 см; 6,3 см.

2.5. Определить, насколько опустится ртуть при погружении в нее капилляра диаметром 0,2 мм. Т = 290 К.                

  Ответ: 7 см.

2.6. Найти дополнительное давление, создаваемое мыльным пу­зырем диаметром 3,2 мм.                                    

  Ответ: 200 Па.

2.7. Высота поднятия воды в стеклянном капилляре равна 15 см. Определить радиус капилляра.                              

Ответ: 0,1 мм.

2.8. Внутренние радиусы U-образной капиллярной трубки слева и справа равны, соответственно, 0,05 и 0,1 мм. Найти разность уровней воды в трубке.                        

         Ответ: 12 см.

2.9. Найти максимальное значение диаметра стальной иглы, которая, будучи загрязнена мас­лом, может плавать в горизон­тальном положении на поверх­ности воды. Глубина погружения иглы равна радиусу иглы. Радиус иглы равен 0,025 ее длины l. Указание: fz = 2s(d + l).  

         Ответ: 1,7 мм.

2.10. Вычислить диаметр капиллярной трубки, если вода подни­мается на высоту 8 см. Температура воды равна 293 К.

Ответ: 0,36 мм.

2.11. Разность Dh высоты подъема воды в капиллярах равна 2,5 см. Вычислить внутренние диаметры капилляров.

Ответ: 1,2 мм; 0,6 мм; является ли данный ответ однозначным?

2.12. Внутренний радиус капилляра равен 0,1 мм. Капилляр опу­щен в керосин. Вычислить работу поверхностных сил и потенци­альную энергию поднятого столба жидкости.

Ответ: А = 9,2×10-7 Дж; U = 4,6×10-7 Дж.

2.13. При изменении коэффициента поверхностного натяжения спирта использовалась капиллярная трубка с внутренним радиу­сом r = 0,075 мм. Высота поднятия спирта при Т = 293 К равна 7,6 см. Чему равно поверхностное натяжение?

Ответ: 2,2×10-2 Н/м.

2.14. Определить диаметр капилляра, опущенного в керосин, если потенциальная энергия поднятого столба керосина равна U = 4,6×10-2 Дж.                   

                    Ответ: 0,2 мм.

2.15. Каково давление Р в пузырьках воздуха, образующихся в воде на глубине 3,5 м? Радиус пузырьков равен 1,83 мкм. Атмо­сферное давление 100 кПа.         

Ответ: 215 кПа.

2.16. Добавочное давление внутри мыльного пузыря равно 29 Па, поверхностное натяжение мыльной воды при Т = 280 К равно 0,043 Н/м. Определить диаметр мыльного пузыря.

Ответ: d = 12 мм.

2.17. Масса 100 капелек спирта, вытекающего из капилляра т = 0,71 г. Определить коэффициент s поверхностного натяже­ния спирта, если диаметр шейки капли в момент отрыва равен d = 1 мм.                                                   

   Ответ: 0,022 Н/м.

2.18. Трубка имеет диаметр d1 = 0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шара. Найти диаметр d2 этой капли.          

Ответ: 4,4 мм.

2.19. Определить массу капли спирта, вытекающего по каплям из капилляра, если диаметр шейки капли в момент отрыва равен 1 мм, а коэффициент поверхностного натяжения спирта s = 0,022 Н/м.                                       

         Ответ 7,1 мг.

2.20. Пространство между двумя стеклянными пластинами, рас­положенными параллельно друг другу, заполнено водой. Толщина слоя воды l = 0,022 мм. Размеры пластинок 10х10 см. Определить силу, прижимающую пластинки друг к другу, считая, что мениск вогнутый с диаметром d, равным толщине слоя воды.

Ответ: 73 Н.

2.21. Давление в пузырьках воздуха, образующихся в воде на глубине 3,5 м, равно 215 кПа. Чему равен размер пузырьков, если атмосферное давление      100 кПа?             

       Ответ: 1,80 мкм.

2.22. Внутренний радиус капилляра равен 0,1 мм. Вычислить ра­боту поверхностных сил, если в качестве жидкости выбран керо­син.

                                                           Ответ: 9,2×10-7 Дж.

2.23. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с внутренним диаметром d = 1 мм. Найти массу m вошедшей в трубку воды.                  

Ответ: 23,1 мг.

2.24. На какую высоту h поднимается вода между двумя парал­лельными друг другу стеклянными пластинками, если расстояние между ними d = 0,2 мм.         

                     Ответ: 7,3 см.

2.25. Капиллярная трубка с внутренним радиусом r = 0,25 мм на­полнена водой. Часть воды на нижнем конце трубки повисла в виде капли. Эту каплю принимаем за часть сферы радиусом 3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.

Ответ: 6,4 см.

3.1. В отростке сосуда, закры­того поршнем, находится неко­торая масса воды в равновесии с насыщенным паром. Диаметр сосуда и отростка D = 5 см и d =        = 2 мм. Поддерживая темпе­ратуру равной  t = 20 °С, пор­шень опускают на высоту Н = 10 см; уровень воды в от­ростке при этом повышается на высоту h = 1 мм (см. рисунок). Оп­ределить давление насыщенного пара воды при t = 20 °С.  

                                      Ответ: Р = 2,13×103 Па.

3.2. В запаянной трубке объемом V = 0,4 л находится водяной пар при давлении Р1 = 8 кПа и температуре t1 = 150 °С. Какая масса воды сконденсируется на стенках трубки при охлаждении ее до температуры t2 = 22 °С? Давление насыщенного пара воды при    t2 = 22 °С  P2 = 2,5 кПа.                   

Указание. Воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона

 Ответ: Dm = 8,9 мг.

3.3. В откаченном геометрически закрытом сосуде объемом V = 10 л находится открытая колбочка, содержащая т = 10 г во­ды. Сосуд прогревают до t = 100 °С. Какая масса воды испарится?                                              

Указание. Вода начнет кипеть тогда, когда давление станет рав­ным атмосферному. Поэтому Dm находим из уравнения Менде­леева – Клапейрона.

Ответ: Dm = 5,9 мг.

3.4. На сколько нагреется капля ртути, полученная от слияния двух капель радиусом 1 мм каждая?

Ответ: DT = 1,65×10-4 К.

3.5. Какую работу надо совершить против сил поверхностного натяжения, чтобы разбить сферическую каплю ртути радиусом 3 мм на две одинаковые капли.

Ответ: А = 1,47×10-5.

3.6. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыря ра­диусом 1 см. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора принять равным 40×10-3 Н/м.     

 Ответ: A = 6,3×10-5 Дж.

3.7. Определить изменение свободной энергии при изотермиче­ском увеличении объема мыльного пузыря с V1 = 4 см3 до V2 = 6 см3. Принять коэффициент поверхностного натяжения рав­ным 40×10-3 Н/м.                                      

Ответ: 0,3 мкДж.

3.8. При выдувании мыльного пузыря была совершена работа А = 0,63 мДж. До каких размеров выдули пузырь?

Ответ: r = 25 см.

3.9. Найти скрытую теплоту образования q 1 м2 мыльной пленки, если  t = 5 °C.          

  Ответ: 0,02 Дж/м2.

3.10. При выдувании мыльного пузыря изменение внутренней энергии составило 300 НДж. Определить конечный объем пузы­ря, если V0 = 4 см3.

Ответ: 6×10-3 л.

3.11. В камере Вильсона объемом 1 л заключен воздух, насыщен­ный водяными парами. Начальная температура камеры 20 °С. При движении поршня объем камеры увеличился в 1,25 раза. Расширение считать адиабатическим g = 1,4. Найти температуру пара после расширения и количество водяных паров, сконденси­рованных в воду.                   

Указание: при температуре -5 °С упругость насыщенных паров равна 3 мм. рт. ст. DМ – равно разности массы водяных паров до расширения (Р1 = 17,5 мм при температуре 20 °С) и после расши­рения.

Ответ: T2 = 268 К; DМ = 13,2 мг.

3.12. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на 1 мм. рт. ст. больше атмосферного. Чему равен диаметр пузыря, если коэффи­циент поверхностного натяжения мыльного раствора равен 0,043 Н/м.                                            

      Ответ: 2,6 мм.

3.13. Рамка ABCD (см. рисунок) с подвижной перекладиной CD затянута мыльной пленкой. Каков должен быть диаметр медной перекладины CD, чтобы она нахо­дилась в равновесии.

Ответ: d = 1,2 мм.

 

 

 

3.14. Под поршнем цилиндра объемом V = 10 л находится m = 1,9 г газообразного аммиака. Цилиндр помещен в термостат при t = -57 °С. Какая масса аммиака сконденсируется при сжатии газа поршнем до объема V2 = 5 л? Давление насыщенного пара аммиа­ка при температуре t = -57 °С равен 26,7 кПа. Молярная масса газообразного аммиака m = 17 г/моль.

Ответ: Dm = m – mPV2/RT = 0,64 г/моль.

3.15. Какую энергию надо затратить, чтобы выдуть мыльный пу­зырь диаметром d = 12 см? Каково будет добавочное давление внутри этого пузыря?                

 Ответ: 3,62×10-3 Дж; 2,66 Н/м2.

3.16. Широкое колено U-образного манометра имеет диаметр d1 = 2 мм, узкое – d1 = 1 мм. Определите разность Dh уровней ртути в обоих коленах, если плотность ртути 13,6 г/см3, краевой угол q = 138 °, поверхностное натяжение s =      = 0,5 Н/м.

Ответ:  = 5,6 мм.

3.17. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диа­метром d =         = 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы выдуть этот пузырь? Т = const.                      

   Oтвет: 3,2 Н/м2; 2,5×10-3Дж.

3.18. Определить работу А, которую надо совершить, чтобы уве­личить размер мыльного пузыря с d1 = 6 мм до d2 = 60 мм. Счи­тать процесс изотермическим. Поверхностное натяжение мыль­ной воды равно 40 мН/м.                               

  Ответ: 0,9 мДж.

3.19. Две капли воды радиусом r = 1 мм каждая слились в одну каплю. Определить изменение свободной энергии DY в данном процессе. Считать T = const.

Ответ: 378 нДж.

3.20. Рамка ABCD (см. рисунок) с подвижной перекладиной CD затянута мыльной пленкой. Найти, чему равна длина 1 пе­рекладины, если известно, что при пере­мещении перекладины на 1 см соверша­ется работа 4,5×10-5 Дж; s = 0,045 Н/м.

Ответ: l = 5 см.

 

 

 

3.21. Мыльная пленка имеет площадь 2 см2. Найти изменение эн­тропии пленки при увеличении ее площади до 3 см2  (T = 273 К = const). Известно, что

Ответ: 7,32×10-9 Дж/К.

3.22. Найти изменение энтропии пленки при нагревании с 0 до  30 °С, если известно, что теплоемкость данной пленки равна С = 2,1×10-4 Дж/К.

Ответ: DS = 2,3×10-4 Дж/К.

3.23. Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h =       = 25 см над поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке, s = 73 мН/м; r = 1000 кг/м3.

Ответ: 118 кПа.

3.24. Определить давление воздуха в воздушном пузырьке диа­метром d =          = 0,01 мм, находящемся на глубине 20 см под поверх­ностью воды. Атмосферное давление Р0 = 101745 Па.

Ответ: 132867 Па.

3.25. Длина подвижной проволоки в рамке abcd равна   5 см. Найти работу А по растяжению пленки на Dх =      = 2 см. (T = const =  273 К), s = 0,040 Н/м.

Ответ: 4 мкДж.

 

 

 

 

 

 

 

admin
Аватар пользователя admin
Offline
Создано: 20/08/2012

ИДЗ №3

 

Индивидуальные задания из задачника

 

Тюрин Ю.И., Ларионов В.В., Чернов И.П. Физика: Сборник задач (с решениями). Часть 2. Электричество и магнетизм.: Учебное пособие. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 448 с.

 

1. ЗАКОН КУЛОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ  ТОЧЕЧНЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

 

1.1. Два шарика массами m = 0,1 г каждый подвешены в одной и той же точке на нитях длиной l = 20 см каждая. Получив одинаковый заряд шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол a = 60 °. Найти заряд каждого шарика.

Ответ: q = 50 нКл.

1.2. По телу объема V распределен заряд q с плотностью r = r(r); по телу объема V ¢ - другой заряд q ¢ с плотностью r = r(r¢). Написать выражение для силы F, с которой заряд q ¢ действует на заряд q. Сделать рисунок. Ответ обосновать.

Ответ:

1.3. Два заряженных шарика одинакового радиуса и массы, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускают в жидкий диэлектрик, плотность которого r1 и диэлектрическая проницаемость e. Какова должна быть плотность r материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и диэлектрике были одинаковыми?

Ответ:

1.4. Тонкое полукольцо радиусом R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. В центре кривизны полукольца находится заряд q0 = 1 нКл. Найти силу взаимодействия зарядов.

Ответ:  мкН.

1.5. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол a. Шарики погружаются в масло с плотностью  r0 = 800 кг/м3. Какова диэлектрическая проницаемость e масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным? Плотность материала шариков r = 1,6×103 кг/м3.                                

 Ответ:

1.6. Полусфера радиусом R, обращенная выпуклостью вверх (см. рисунок), имеет заряд Q, равномерно распределенный по ее поверхности. Внутри полусферы в ее вершине закреплена легкая непроводящая нить длиной R, на конце которой находится маленький шарик с зарядом q. Пренебрегая действием силы тяжести определить натяжение нити.

                            Ответ.

1.7. Два шарика с одинаковыми радиусами и массой подвешены на двух нитях так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы натяжение нитей стало равным      0,098 Н? Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно   10 см. Масса каждого шарика равна 5 г.

Ответ: q = 1,1 мкКл.

1.8. Расстояние между двумя точечными зарядами, равными по величине и противоположными по знаку (q = 1 мкКл), равно       10 см. Определить силу, действующую на точечный заряд            q0 = 0,1 мкКл, удаленный на r1 = 6 см от первого и r2 = 8 см от второго заряда.                                            

 Ответ: 287 мН.

1.9. Два одинаковых металлических заряженных шара (d = r) находятся на расстоянии r = 60 см. Сила отталкивания шаров          F1 = 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F2 = 160 мкН. Вычислить заряды до соприкосновения.

Ответ:  мкКл;

нКл.

1.10. Чему равна сила взаимодействия полубесконечного заряженного стержня и точечного заряда q0, находящегося на оси стержня на расстоянии а = 10 см от оси, если q0 = 1 нКл, линейная плотность t = 1×10-7 Кл/м.

Ответ:  Н.

1.11. Над однородным заряженным диском радиусом R (поверхностная плотность s = const) на оси симметрии находится точечный заряд q0. На каком расстоянии z от диска сила взаимодействия будет максимальной.                    

  Ответ: при z ® 0   Fz @ s / 2e0.

1.12. Длинный прямой провод имеет заряд, равномерно распределенный по его длине. Линейная плотность заряда t = 1 нКл/м. Определить силу, действующую на заряд q0 = 2×10-8 Кл на расстоянии d = 1,5 м от провода.                 

Ответ: нН.

1.13. Два длинных параллельных провода заряжены равномерно с одинаковой линейной плотностью t = 5×10-8 Кл/м. Расстояние между проводами d = 0,5 м. Определить силу взаимодействия на единицу длины провода.

Ответ: Н/м.

1.14. Горизонтально расположенный непроводящий диск, радиус которого R = 0,5 м, заряжен с равномерной плотностью                 s = 3,33×10-4 Кл/м2. Маленький шарик массой m = 3,14 г, имеющий на себе заряд q0 = 3,27×10-7 Кл, находится над центром диска в состоянии равновесия. Определить его расстояние от центра диска.                        

Ответ:  м.

1.15. Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной плотностью t = t0 cos a, где t0 – постоянная; a - азимутальный угол. В центре кольца расположен точечный заряд q0. Найти силу взаимодействия кольца с зарядом q0.         

Ответ:

1.16. С какой силой будет взаимодействовать точечный заряд q0 и равномерно заряженная с плотностью t0 непроводящая нить (см. рисунок)? Радиус закругления много меньше длины нити. Ответ обосновать.          

                                                  Ответ: F = 0.

1.17. Сила взаимодействия длинного непроводящего прямого провода с точечным зарядом q0 = 2×10-9 Кл равна 0,36 мкН. Найти расстояние от провода до заряда, если линейная плотность  t = 10 нКл/м.                                                        

 Ответ: d = 1 м.

1.18. Маленький шарик массой m = 3,14 г находится в равновесии над центром горизонтально расположенного непроводящего диска (R = 0,5 м). Диск заряжен с равномерной плотностью                 s = 3,33×10-4 Кл/м2. Расстояние от диска до шарика 1,5 м. Определить заряд шарика.                            

Ответ: q0 @ 330 нКл.

1.19. С какой силой взаимодействовали бы два медных шарика, каждый массой 1 г, находясь на расстоянии 1 м друг от друга, если бы суммарный заряд всех электронов в них отличался на  1 % от суммарного заряда всех ядер?             

 Ответ: » 2×1015 Н.

1.20. Сила взаимодействия заряда q0 = 1 нКл и заряженного кольца радиусом R = 0,2 м равна 10 мкН. Заряд q0 расположен в центре кольца, линейная плотность которого меняется по закону  t = t0 cos j,  где j - азимутальный угол. Найти t0.

Ответ: t0 = 70 нКл/м.

1.21. Бесконечная непроводящая равномерно заряженная плоскость имеет поверхностную плотность зарядов s = 9×10-6 Кл/м2. Над ней имеется алюминиевый шарик, заряд которогоq0 = 3,68×10-7 Кл. Чему равен радиус шарика, если он находится в равновесии? Воспользоваться решенной задачей 12.      

                                                          Ответ: 12 мм.

1.22. Сила взаимодействия тонкого непроводящего полукольца радиусом R = 20 см, заряженного равномерно зарядом q = 0,7 нКл, с зарядом q0, находящимся в центре кривизны полукольца, равна 0,1 мкН. Найти заряд q0.                                    

Ответ: q0 = 1 нКл.

1.23. Доказать, что сила взаимодействия между зарядом +q и проводящей бесконечной плоскостью, отстоящей от заряда на расстоянии d, такая же, как между данным зарядом и зарядом -q, расположенным симметрично относительно плоскости. Рассмотреть картину силовых линий двух зарядов.

1.24. Доказать, что заряды каждого знака, индуцированные на проводнике А поднесенным к нему зарядом +q (см. рисунок), всегда меньше q.

Указание: Нарисовать силовые линии.

1.25. Два одинаковых шарика радиусом r = 1 см и массой m  = 9,81 г подвешены в одной точке на непроводящих легких нитях. Шарикам сообщены одинаковые по величине и знаку заряды, при  этом  они разошлись так, что нити образуют угол 90 °.  Найти q.

 Ответ: q = 9,3×10-7 Кл.

 

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. ПОТОК ВЕКТОРА

НАПРЯЖЕННОСТИ И ТЕОРЕМА ГАУССА

 

2.1. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии r = 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях t1 = t2 = 10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности Е результирующего поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити.                     

  Ответ: 3,12 МВ/м.

2.2. Показать, что электрическое поле, образованное заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в электрическое поле а) бесконечно длинной заряженной нити; б) точечного заряда.

 

2.3. Прямой непроводящий стержень диаметром d = 5 см и длиной l = 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд q = 500 нКл (заряды неподвижны). Определить напряженность поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а = 1 см от его поверхности.

Ответ: 64,3 кВ/м.

2.4. Бесконечно длинная тонкостенная непроводящая трубка радиуса R = 2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд (s = 1 нКл/м2). Определить напряженность поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях: 1) r1 = 1 см; 2) r2 = 3 см.

Ответ: Е1 = 0; Е2 = 75,5 В/м.

2.5. Длина заряженной нити l = 25 см. При каком предельном расстоянии а от нити по нормали к середине нити электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно длинной заряженной нити? Ошибка при таком допущении  Здесь Е1 – напряженность поля нити конечной длины; Е2 – напряженность поля бесконечно длинной нити.

Ответ:  а = 4,18 см.

2.6. В точке А, расположенной на расстоянии а = 5 см от бесконечно длинной заряженной нити, напряженность электрического поля Е = 150 кВ/м. При какой предельной длине нити l найденное значение напряженности будет верным с точностью до 2 %, если точка А расположена на нормали к середине нити?

Ответ: l = 0,49 м.

2.7. Медный шар радиусом R = 0,5 см помещен в масло. Плотность масла r = 800 кг/м3. Найти заряд шара q, если в однородном электрическом поле (Е = 3600 кВ/см), шар оказался взвешенным.

Ответ: q = 11 нКл.

2.8. Тонкий стержень длиной l = 12 см заряжен с линейной плотностью зарядов t = 200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от стержня, против его середины.

Ответ:  кВ/м.

2.9. Электрическое поле создано зарядом тонкого заряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата, как показано на рисунке. Вычислить напряженность поля в точке А, если                       t = 500 нКл/м,  а = 20 см.      

                        Ответ: 60,2 кВ/м.

 

2.10. Два прямых тонких непроводящих стержня длиной l1 = 12 см и l2 = 16 см заряжены с линейной плотностью t = 400 нКл/м. Стержни образуют прямой угол. Найти напряженность в т. А (см. рисунок).      

                           Ответ: 38 кВ/м.

 

2.11. Электрическое поле создано двумя бесконечно параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями s1 = 2 нКл/м2 и  s2 = -5 нКл/м2. Определить электрическое поле Е1 вне пластин и Е2 внутри пластин.

Ответ: Е1 = 400 В/м; Е2 = 170 В/м.

2.12. Две бесконечные плоскости, несущие одинаковый заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью s = 100 НКл/м, пересекаются под углом j = 60 °. Найти поле Е пластин.                             

Ответ. Е1 = 5,65 кВ/м; Е2 = 9,8 кВ/м.

2.13. Напряженность электрического поля на оси заряженного кольца имеет максимальное значение на расстоянии L от центра кольца. Во сколько раз напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 0,5L от центра кольца, будет меньше максимального значения напряженности?

Ответ: в 1,3 раза.

2.14. Показать, что электрическое поле, образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости; б) точечного заряда.

 

2.15. Диаметр заряженного диска D = 25 см. При каком предельном расстоянии а от диска по нормали к его центру электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно протяженной плоскости? Ошибка при таком допущении не должна превышать d = 0,05.

Указание. Допускаемая ошибка d = (Е2Е1)/Е2, где Е2 – напряженность поля бесконечно протяженной плоскости; Е1 – напряженность поля диска.                                Ответ: а = 1,2 см.

2.16. Требуется найти напряженность Е электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии а = 5 см от заряженного диска по нормали к его центру. При каком предельном радиусе R диска поле в точке А не будет отличаться более чем на 2 % от поля бесконечно протяженной плоскости?

Ответ: R = 2,5 см.

2.17. Два параллельных разноименно заряженных диска с одинаковой поверхностной плотностью заряда на них расположены на расстоянии d = 1 см друг от друга. Какой предельный радиус R могут иметь диски, чтобы между центрами дисков поле отличалось от поля плоского конденсатора не более чем на 5 %? Какую ошибку d мы допускаем, принимая для этих точек напряженность поля равной напряженности поля плоского конденсатора при    R/d = 10?                                   

  Ответ: R = 0,2 м; d = 10 %.

2.18. Плоскопараллельная пластинка толщиной d имеет заряд, распределенный равномерно с объемной плотностью r0. Выбрав начало координат посередине пластинки и направив ось ОХ перпендикулярно поверхности пластин, установите закон изменения напряженности поля вдоль этой оси.

Ответ:  (0 „ х „ d/2); (d/2 „ х „ ¥).

2.19. В вершине конуса с раствором телесного угла W = 0,5 стерадиан находится точечный заряд q = 30 нКл. Вычислить поток вектора Е через площадку, ограниченную линией пересечения поверхности конуса с любой другой поверхностью.

Ответ: В×м.

2.20. Сплошной диэлектрический шар радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью r = 10 нКл/м2. Определить напряженность Е в точках r1 = 3 см и r2 = R, если e = 3,0.                   

Ответ: Е1 = 3,78 В/м; Е2 = 6,28 В/м.

2.21. Большая плоская пластина толщиной d = 1 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью  r = 100 нКл/м3. Найти напряженность электрического поля в центре пластин, вне ее, на малом расстоянии от поверхности.

Ответ: Е1 = 0;  В/м.

2.22. Физическая система образована бесконечно большой заряженной непроводящей плоскостью и пластиной толщиной d, находящейся справа от пластины, объемный заряд которой r. Сформулируйте задачу! Какие параметры электрического поля можно определить? Вычислите их. Сделайте подробный отчет о работе.

2.23. Точечный заряд q = 40 нКл находится на расстоянии             а = 30 см от бесконечной проводящей плоскости. Какова напряженность электрического поля в точке А (см. рисунок)?

Ответ:  В/м.

 

2.24. Прямоугольная плоская площадка со сторонами а = 3 см и   b = 2 см находится на расстоянии R = 1 м от точечного заряда      q = 1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол a = 30 ° с ее поверхностью. Найти поток вектора напряженности через площадку.

Ответ:  В×м.

2.25. Найти электрическое поле, созданное полым бесконечно длинным заряженным цилиндром и заряженной сферой. Выбрать точку пространства, где необходимо вычислить поле Е, определить необходимые данные, взаимное расположение цилиндра и сферы. Ответ обосновать формулами, расчетами и рисунками.

 

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ.

РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ПОЛЕ

 

3.1. Определить потенциал j электрического поля, созданного двумя зарядами q1 = -0,2 мкКл и q2 = 0,5 мкКл, в точке, отстоящей соответственно на r1 = 15 см и r2 = 25 см. Найти минимальное и максимальное расстояние, при котором возможно данное решение.

Ответ: 6 кВ; dmin = 10 см; dmax = 40 см.

3.2. Какова потенциальная энергия системы четырех одинаковых зарядов q = 10 нКл, расположенных в вершинах квадрата со стороной а = 0,1 м?  

Ответ: 50 мкДж.

3.3. Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами R1 = 10 мм и R2 = 10,5 мм заряжены одноименными зарядами, причем поверхностная плотность зарядов на внешнем цилиндре (2/3)×10-9 Кл/м2, а на внутреннем – (1/3)×10-9 Кл/м2. Найти разность потенциалов между цилиндрами.

Ответ: Dj » 190 В.

3.4. Три одинаковые пластины расположены параллельно друг другу на расстоянии 1 мм одна от другой (очень малым по сравнению с линейными размерами пластин). Какова разность потенциалов между пластинами j12 и j23, если на первой находится заряд (1/15)×10-9 Кл, (2/5)×10-9 Кл, -2×10-10 Кл?

Ответ: j12 = (25/3) В; j23 = 25 В.

3.5. Находящаяся в вакууме бесконечная тонкая прямая нить заряжена с постоянной линейной плотностью t = 2 мкКл/м. Вычислить j для r = 10 м.

Ответ: 0,83×105 В.

3.6. По находящейся в вакууме круглой тонкой пластинке радиусом r = 120 мм равномерно распределен заряд q = 1,8 мкКл. Приняв ось пластинки за х, вычислить j в точке х = 8 см.

Ответ: j = 1,4×105 В.

3.7. Заряд q = 2,0 мкКл распределен равномерно по объему шара радиусом R = 4 см. Найти потенциал j0 в центре шара.

Ответ. 68×105 В.

3.8. Найти потенциал электрического поля в центре полусферы радиусом R = 20 см, заряженной равномерно с поверхностной плотностью s = 2×10-6 Кл/м.

Ответ:  кВ.

3.9. Имеются два тонких проволочных кольца радиусом R = 0,2 м, оси которых совпадают. Заряды колец равны: q1 = 10-9 Кл,  q2 = -10-9 Кл. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстоянии а = 0,4 м.

Ответ: В.

3.10. Тонкий стержень длиной l = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = 1 нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии  а = 20 см от ближайшего его конца.

Ответ: 36,5 В.

3.11. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной а. Стержни заряжены с линейной плотностью t = 1,33 нКл/м. Найти потенциал j в центре квадрата.

Ответ: j = 33,6 В.

3.12. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t = 10-8 Кл/м. Определить разность потенциалов двух точек нити, удаленных от нее на r1 = 2 см, r2 = 4 см; r1¢ = 4 см и r2¢ = 8 см;    r1¢¢ = 20 см и r2¢¢ = 40 см. Объясните результат.

Ответ: Dj = 125 В.

3.13. Имеются две концентрические металлические сферы радиусом R1 = 3 см и R2 = 6 см. Заряд внутренней сферы q1 = -1 нКл, внешней –  q2 = 2 нКл. Найти потенциал электрического поля на расстоянии r1 = 1 см и r2 = 5 см.

Ответ: j1 = 375 В; j2 = 315 В.

3.14. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью s = 10-8 Кл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние  а = 10 см.                                                               

 Ответ: Dj = 56,6 В.

3.15. Тонкий диск радиусом r = 0,2 м имеет заряд s = 2×10-8Кл/м2. Заряд равномерно распределен по поверхности. Найти разность потенциалов между центром и краем диска.

Ответ:  В.

3.16. Найти потенциал на краю диска (R = 0,2 м), по одной стороне которого равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью s = 10-8 Кл/м2.

Ответ:  В.

3.17. По находящейся в вакууме круглой тонкой пластинке радиусом r = 120 мм равномерно распределен заряд q = 1,8×10-6 Кл. Потенциал в точке А, расположенной по оси х, равен 140 кВ. Найти координату точки х.

Ответ: х = 0,08 м.

3.18. Определить потенциал в центре кольца с внешним диаметром D = 0,8 м и внутренним диаметром d = 0,4 м, если на нем равномерно распределен заряд q= 3×10-7 Кл.

Ответ:  кВ.

3.19. Сплошной шар из диэлектрика (e = 1) радиусом R = 0,1 м заряжен с объемной плотностью r = 50 нКл/м3. Вычислить разность потенциалов между центром шара и поверхностью.

Ответ:  В.

3.20. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = 0,1 м. Он заряжен с линейной плотностью заряда t = 0,3 мкКл/м. Какую работу надо совершить, чтобы  перенести заряд q = 5 нКл из центра кольца в точку А, расположенную на оси кольца на расстоянии l = 0,2 м от его центра?

Ответ: А = 47 мкДж.

3.21. Тонкий стержень согнут в кольцо. Чтобы перенести заряд    q = -6,7 нКл из центра кольца в бесконечность, затратили работу А = 25,2 мкДж. Чему равна линейная плотность заряда t стержня?

Ответ:  нКл/м.

3.22. Определить напряженность Е и потенциал j поля, созданного точечным диполем в т. А и В. Электрический момент диполя   р = 1×10-12 Кл×м, а расстояние от точек А и В до центра диполя      r = 10 см. Точка А находится на перпендикуляре к середине диполя, а точка В – на оси диполя.

Ответ: ЕА = 9 В/м; ЕВ = 18 В/м; jВ = 0,9 В.

3.23. Диполь с электрическим моментом р = 1×10-10 Кл×м свободно устанавливается в однородном поле Е = 10 кВ/м. Определите изменение потенциальной энергии при его повороте на угол         a = 60 °.                                              

 Ответ: 0,5 мкДж.

3.24. Точечный диполь с электрическим моментом р = 5 нКл×м свободно установился в поле точечного заряда q = 100 нКл на расстоянии r = 10 см от него. Определить степень неоднородности  поля для этой точки и силу F, действующую на диполь.

Ответ:  = 1,8 МВ/м2, F = 9 мкН.

3.25. Определить взаимную потенциальную энергию диполей, соответствующую их устойчивому равновесию, лежащих на одной прямой на расстоянии r = 10 см друг от друга и равных по величине: р1 = 20 нКл×м, р2 = 50 нКл×м.

Ответ:  нДж.

4. ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

4.1. В однородное электрическое поле с напряженностью             Е0 = 100 В/м помещена плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с проницаемостью e = 2. Пластина расположена перпендикулярно к Е0. Определить поверхностную плотность связанных зарядов sпол.

Ответ: 0,44 нКл/м2.

4.2. Точечный заряд q находится на плоскости, отделяющий вакуум от бесконечного однородного диэлектрика с проницаемостью e. Доказать, что поверхностная плотность поляризационных зарядов sпол = 0.

 

4.3. Точечный заряд q = 1 нКл находится в вакууме на некотором расстоянии от плоской поверхности однородного диэлектрика     (e = 5), заполняющего все полупространство. Найти суммарный связанный заряд qпол на поверхности диэлектрика.

Ответ:  Кл.

4.4. Вблизи точки А (см. рисунок) границы раздела диэлектрик – вакуум напряженность электрического поля в вакууме равна                    Е0 = 10кВ/м, причем вектор Е0 составляет угол a = 45 ° с нормалью к поверхности раздела в данной точке. Проницаемость диэлектрика e = 3. Найти напряженность Е поля внутри диэлектрика вблизи точки А.     

                                       Ответ: 7,45×103 В/м.

4.5. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью e = 7 модуль вектора электрического смещения                     D = 1,4×10-9 Кл/м2. Чему равен модуль вектора поляризации в этой точке?                          

Ответ: | Р | = | D | = 1,2×10-9 Кл/м2.

4.6. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (e = 3). На пластинах разность потенциалов Dj = 4 кВ. Расстояние между пластинами 5 мм. Найти поверхностную плотность поляризационных зарядов.

Ответ: 7,1×10-6 Кл/м2.

 

4.7. Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное к ней однородное внешнее поле напряженностью        Е0 = 100 кВ/м (см. рисунок). Проницаемость изменяется линейно от значения e1 = 2 на левой границе до      e2 = 7 на правой границе. Вне пластины e = 1. Найти вектор Е через воображаемую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси х, основания цилиндра расположены на границах пластины в точках х1 = -а/2 и  х2 = +а/2, площадь основания равна 1 см2.                                     

Ответ: .

4.8. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом. Расстояние между пластинами равно 4 мм. На пластины подано напряжение Dj = 1200 В. Найти электрическое поле в стекле.                                         

 Ответ: 300 кВ/м.

4.9. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено маслом. Расстояние между пластинами равно 1 мм. Поверхностная плотность поляризационных зарядов sпол = 6,2×10-6 Кл/м2. Найти разность потенциалов на пластинах конденсатора.

Ответ: 1750 В.

4.10. Между пластинами конденсатора площадью S = 100 см2 находится стекло (e = 7). Пластины притягиваются друг к другу с силой, равной 4,9 мН. Найти поверхностную плотность связанных зарядов sпол.                                             

Ответ: 6×10-6 Кл/м2.

4.11. Пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d = 3 см, находятся под напряжением 1 кВ. Найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, если пространство между пластинами заполнено стеклом (e = 7).

Ответ: 17,7 мкКл/м2.

4.12. Диэлектрическое тело заряжено однородно с объемной плотностью r0 = 1 мкКл/м3. Какова будет объемная плотность заряда r, если тело привести в движение со скоростью v = 0,5с, где с – скорость света в вакууме?

 

4.13. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью e = 5 создано однородное электрическое поле напряженностью Е = 100 В/м. Найти поверхностную плотность поляризационных зарядов.                           

Ответ: sпол = 3,54 нКл/м2.

4.14. В воде электрическое поле напряженности Е = 1000 кВ/м создает поляризацию, эквивалентную правильной ориентации только одной из N молекул. Найти N, если дипольный момент молекул воды р = 6,2×10-30 Кл×м.

Ответ:

n0 – концентрация молекул воды при нормальных условиях.

4.15. В точке С на границе стекло – вакуум напряженность электрического поля в вакууме Е0 = 10 В/м. Электрическое поле направлено так, что между векторами Е0 и n угол a = 30 °. Найти напряженность поля в стекле. 

Ответ: Е = В/м.

4.16. Внутри шара, заряженного с постоянной r = 3×10-6 Кл/м3, имеется сферическая полость, в которой заряды отсутствуют. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние  а = 1 см. Найти напряженность внутри полости, если e = 2.

Ответ: 0,56 кВ/м.

4.17. Внутри шара из однородного изотропного диэлектрика с      e = 5 создано однородное электрическое поле Е = 200 В/м. Найти максимальную плотность поляризационных зарядов sпол.

Ответ: sпол = (e - 1) e0Е = 7 нКл/м2.

4.18. Модуль поляризации в некоторой точке изотропного диэлектрика (e = 7) равен 1,2×10-9 Кл/м2. Найти модуль вектора электрического смещения в этой точке.

Ответ: D =1,4×10-9 Кл/м2.

4.19. Суммарный поляризационный заряд на поверхности диэлектрика (e = 5) равен 7×10-10 Кл. Найти величину точечного заряда q, который, находясь вблизи поверхности рассматриваемого диэлектрика, создает поляризационный заряд данной величины.

Ответ: q = 1 нКл.

4.20. Поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлектрике (e = 3), расположенном между пластинками плоского конденсатора, sпол = 7,1×10-6 Кл/м. Расстояние между пластинами 5 мм. Чему равна разность потенциалов внешнего поля?

Ответ: 4000 В.

4.21. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что вектор Р = ar, где a - положительная постоянная; r – расстояние от оси. Найти объемную плотность rпол поляризационных зарядов как функцию расстояния r от оси.

Ответ: rпол = -2a.

4.22. Бесконечно длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован однородно и статически, причем вектор поляризации Р перпендикулярен оси цилиндра. Найти напряженность Е электрического поля в диэлектрике.

Ответ: Е = -Р.

4.23. Разность потенциалов между пластинами конденсатора, опущенного в масло (e = 2), равна 1750 В. Расстояние между пластинами 1 см. Определить поверхностную плотность зарядов на масле.                                                  

 Ответ: sпол = 6,2×10-10 Кл/см2.

4.24. Одной из пластин плоского конденсатора площадью S = 0,2 м3 сообщили заряд q = 10-9 Кл. Другая пластина соединена с землей (см. рисунок). Между пластинами находится стеклянная         (e1 = 7) и фарфоровая (e2 = 3) пластинки. Определить напряженности электрического поля в стекле и фарфоре.                      

 Ответ:  В;  В.

4.25. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом. В этом случае напряженность поля равна Е, а электрическое смещение – D. Затем половину зазора заполнили диэлектриком (см. рисунок). Найти Е1 и D1, а также Е2 и D2. Напряжение между обкладками остается постоянным.

Ответ: Е1 = Е2 = Е; D1 = D; D2 = eD.

 

 

5. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

5.1. Плоский конденсатор содержит слой слюды (e = 7) толщиной 2 мм и слой парафинированной бумаги (e = 2) толщиной 1 мм. Найти разность потенциалов на слоях диэлектриков и напряженность поля в каждом из них, если разность потенциалов между обкладками конденсатора 220 В. 

Ответ: U1 = 80 В, U2 = 140 В, Е1 = 4×104 В/м, Е2 = 14×104 В/м.

5.2. Найти емкость конденсатора, содержащего в качестве диэлектрика слой слюды (e = 7) толщиной 2×10-3 мм и слой парафинированной бумаги (e = 2) толщиной 10-3 мм, если площадь пластин 25 см2.                                                  

Ответ: 280 мкФ.

5.3. Стеклянную пластинку (e = 7) вдвинули в плоский конденсатор так, что она вплотную прилегает к его обкладкам. Разность потенциалов между пластинами конденсатора 3 В, расстояние между пластинами d = 10 см. Найти плотность поляризационных зарядов на пластине диэлектрика.       

Ответ: sпол = 1,6×10-9 Кл/м2.

5.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком. Площадь каждой обкладки S = 0,01 м2. Расстояние между обкладками d = 1 мм. Найти емкость С конденсатора, если диэлектрическая проницаемость изменяется по линейному закону e = e1 + kx. На одной стороне пластины e = 3, на другой стороне e = 7.                              

 Ответ: 418 пФ.

5.5. Изотропный неоднородный диэлектрик заполняет пространство между обкладками сферического конденсатора. Радиусы обкладок конденсатора: R1 = 5 мм, R2 = 8 мм. Диэлектрическая проницаемость e является функцией расстояния r до центра системы, e = a / r2, где a = 0,0027 м-2. Найти емкость конденсатора.

Ответ: пФ.

5.6. Плоский конденсатор имеет емкость 300 пФ. Какова будет емкость конденсатора, если ввести между обкладками параллельно им алюминиевый лист, толщина которого равна 1/4 расстояния между обкладками? Как влияет на результат на положение листа? Ответ обосновать.                               

    Ответ: 400 пФ.

 

 
 



5.7. Найти емкость системы конденсаторов между точками А и В, которая показана на рис. 1 и 2.

Рис. 1                                             Рис. 2

 

Ответ: 1) С = С1 + С2 + С3; 2) Собщ = С.

5.8. Длинный прямой провод расположен параллельно безграничной проводящей плоскости. Радиус сечения провода равен а, расстояние между осью провода и проводящей плоскостью b. Найти взаимную емкость системы на единицу длины провода при условии а = b.                            

  Ответ: С = 2pe0 / ln(b / a).

5.9. Металлический шар радиусом 5 см окружен шаровым слоем диэлектрика (e = 7) толщиной 1 см и помещен концентрично в металлической сфере с внутренним радиусом 7 см. Чему равна емкость такого конденсатора?                                 

 Ответ: ~ 39 пФ.

5.10. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус внутренней сферы R1 = 10 см, внешней – R2 = 10,2 см. Определить разность потенциалов, если внутренней сфере сообщен заряд q = 9 мкКл, а пространство заполнено диэлектриком e = 2,0.

Ответ: 4500 В.

5.11. Шар радиусом R1 = 6 см заряжен до потенциала 300 В, а шар радиусом R2 – до потенциала 500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником.

Ответ:  В.

5.12. Определить емкость системы, состоящей из двух концентрических сфер радиусами r и R, пространство между которыми наполовину залито жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e. Искривлением полей на границах пренебречь.

Ответ:

5.13. Оцените емкость тонкого уединенного проводящего диска радиусом  R = 0,10 м.                                       

 Ответ: 11 пФ.

5.14. Два длинных провода радиусом а = 1 мм расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями             b = 200 мм. Найти емкость С, приходящуюся на единицу их длины.                                                                    

Ответ: 5,2 пФ.

5.15. Газоразрядный счетчик элементарных частиц состоит из трубки радиусом r2 = 10 мм и натянутой по оси трубки нити радиусом r1 = 50 мкм. Длина счетчика L = 150 мм. Найти емкость счетчика.                                                                

Ответ: 1,6 пФ.

5.16. Цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок R1 и R2 наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 3. Оставшаяся часть – воздух. Расстоянием поля вблизи краев и на границе пренебречь. Длина обкладок l = 50 см, R1 = 3 мм, R2 = 5 мм. Найти емкость конденсатора.

Ответ: пФ.

5.17. Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 9 см и    r2 = 11 см. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется с расстоянием r от центра конденсатора по закону e = e1 (r1 / r), где e1 = 2. Найти емкость конденсатора.                                        

Ответ: пФ.

5.18. Площадь каждой обкладки плоского конденсатора S = 1 м2, расстояние между обкладками d = 5 мм. Зазор между обкладками заполнен двухслойным диэлектриком, e1 = 2,0, e2 = 3,0, d1 = 3 мм, d2 = 2 мм. Найти емкость С конденсатора.

Ответ: 4,1 нФ.

5.19. Расстояние между пластинами плоского конденсатора       1,3 мм, площадь пластин S = 40 см2. В пространстве между пластинами находится два слоя диэлектриков: e1 = 7, d1 = 0,7 мм, e2 = 3, d2 = 0,3 мм. Найти емкость конденсатора.

                                              Ответ: 35,4 пФ.

5.20. Определить диэлектрическую проницаемость однородного диэлектрика, окружающего уединенный шаровой проводник радиусом R1. Толщина слоя d = 2 см, R1 = 3 см. Емкость системы равна С0 = 4 пФ.                                                        

 Ответ: e = 1,7.

5.21. Определить диэлектрическую проницаемость среды, в которой находятся два металлических шарика радиусом а = 10 мм каждый. Емкость системы равна 1,1 пФ. Расстояние между шариками L ? а.                                                      

Ответ: e = 2.

5.22. На два последовательно соединенных конденсатора с емкостью С1 = 100 пФ и С2 = 200 пФ подано постоянное напряжение 300 В. Какова емкость этой системы? Каков заряд q на обкладках? Определите напряжение U1 и U2.

Ответ: С = 67 пФ, q = 20 нКл, U1 = 200 В, U2 = 100 В.

5.23. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии d друг от друга. Площадь каждой пластины равна S. Найти емкость системы между точками а и b, если пластины соединены так, как показано на рисунке.

Ответ:

5.24. Конденсатор с площадью пластин S заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e так, как показано на рисунке. Длина пластин L. Найти емкость такой системы.

Ответ: .

5.25. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов емкости С.             

   Ответ:

Примечание. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены емкостью Сх, равной искомой.

 

6. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ  ЗАРЯДОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

6.1. Какое количество электричества выделится при разряде плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами Dj = 15 кВ, расстояние d = 1 мм, площадь каждой пластины S = 300 см2, а диэлектрическая проницаемость e = 7?

Ответ: ~ 0,21 Дж.

6.2. Между обкладками плоского воздушного конденсатора находится изолированная медная пластинка толщиной d, параллельная обкладкам конденсатора. Расстояние между обкладками 2d, площадь каждой пластинки S. Конденсатор имеет заряд q и отключен от источника. Какую работу надо совершить, чтобы вынуть пластинку из конденсатора? Как влияет положение пластинки? Ответ обосновать.                                           

 Ответ:

6.3. Между обкладками плоского воздушного конденсатора      (Sод = 10-4 м2), подключенного к источнику E = 200 В, находится стеклянная пластинка (e = 5), параллельно обкладкам и толщиной d = 1 мм. Расстояние между пластинами 2d. Какую работу нужно совершить, чтобы удалить пластинку?                     

  Ответ: 6 нДж.

 

6.4. Конденсатор переменной емкости состоит из двух параллельных металлических пластин в форме полукруга радиусом R, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Разность потенциалов между пластинами Dj. Пластины отключены от источника. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть пластины относительно друг друга на угол a? Краевыми эффектами пренебречь.

Ответ:

6.5. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом r = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d1 = 1 см. Какую работу нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до  d2 = 3,5 см, если конденсатор перед раздвижением зарядили до разности потенциалов Dj = 1,2 кВ и отключили от источника питания?                                                           

   Ответ: 50 мкДж.

6.6. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов E и отсоединен от источника. Площадь пластин S, расстояние d. Открывают кран К и заполняют жидким диэлектриком пространство между пластинами. Как изменяется электрическая энергия конденсатора? Какие явления сопровождают заполнение пространства диэлектриком? Ответ обосновать.

 

6.7. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин  S = 200 см2 и расстоянием между ними 1,0 мм находится диэлектрик (e = 5), полностью заполняющий пространство. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить задачу в двух случаях: 1) конденсатор присоединен к источнику E = 300 В; 2) пластина была удалена после того, как конденсатор зарядили и отсоединили от батареи. Результат объяснить.                                

Ответ: 1) -31,8×10-6 Дж; 2) 159×10-6 Дж.

6.8. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы увеличить на Dх = 0,2 мм расстояние х между пластинами плоского конденсатора, заряженными зарядами q + = q - = 0,2 мкКл. Площадь каждой пластины S = 400 см2. Диэлектрик воздух.

Ответ: 11,3 мкДж.

6.9. Две прямоугольные пластинки длиной L шириной b расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Пластинки подключили к источнику E и затем отключили. В пространство между пластинами вдвинули диэлектрик e. Определите силу, действующую на диэлектрик со стороны поля.

Ответ:

6.10. Параллельно соединенные одинаковые конденсаторы (N = 5) емкостью 0,1 мкФ заряжаются до общей разности потенциалов Dj = 30 кВ. Определить среднюю мощность разряда, если батарея разряжается за t = 1,5×10-6 с.  Остаточное напряжение после разряда равно 0,5 кВ.

Ответ: 1,5×108 Вт.

6.11. Внешняя оболочка сферического конденсатора может сжиматься, строго сохраняя сферическую форму и оставаясь концентричной с внутренней жесткой обкладкой. После того как обкладкам сообщили заряды q + = q - = 2 мкКл, внешняя оболочка начинает сжиматься под действием электрических сил от значения r1 = 10 см до r2 = 9,5 см. Найти совершенную работу. За счет чего совершена работа?

Ответ: 9 мДж.

6.12. Имеется заряженный плоский конденсатор. Пространство между обкладками конденсатора заполняется диэлектриком с проницаемостью e. Что происходит с объемной плотностью энергии в зазоре между пластинами, если конденсатор: а) отключен от источника; б) соединен с источником?

Ответ: а) уменьшается в e раз; б) увеличивается в e раз.

6.13. Точечный заряд q находится на расстоянии l от безграничной проводящей плоскости. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости?                         

 Ответ:

6.14. Сферическую оболочку радиуса R1 = 8 мм, равномерно заряженную зарядом q = 10-8 Кл, расширили до радиуса R2 = 10 мм. Найти работу, совершенную электрическими силами. Полученный результат согласуется с законом сохранения энергии? Каким образом?                     

Ответ:  мкДж.

6.15. Пластину из диэлектрика толщиной d = 2 мм и площадью    S = 300 см2 поместили в однородное электрическое поле напряженностью Е = 1000 В/м. Найти энергию электрического поля, сосредоточенную в пластине.

 Ответ:  пДж.

6.16. Две плоские пластины площадью 0,03 м2 каждая зарядили от источника постоянного напряжения, отключили и раздвинули на некоторое расстояние, совершив при этом работу 100 мкДж. На какое расстояние раздвинули пластины, если диэлектрик – воздух?

                                                    Ответ: Dх = 5 см.

6.17. Потенциал уединенной заряженной сферы равен 3000 В, емкость С = 10 пФ. Определить энергию поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса сферы.                                     

Ответ: 30 мкДж.

6.18. Уединенный заряженный металлический шар радиусом R = 6 см находится в вакууме. Некоторая воображаемая поверхность делит пространство на две части (внутренняя и внешняя бесконечная) так, что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Найти радиус этой поверхности.

Ответ: 12 см.

6.19. Заряд q = 0,10 нКл равномерно распределен по поверхности шара радиусом r = 1 см. Вычислить энергию поля, связанного с шаром (e = 1), а также ту часть h энергии, которая заключена в пределах концентрической с шаром воображаемой сферы радиусом R = 1 м. Чему равен радиус Rn сферы, в пределах которой заключена половина энергии?

Ответ: U1 = 4,5 нДж; h = 0,99; Rn = 2 см.

6.20. Первоначально заряд q = 0,1 нКл распределяется равномерно по объему шара радиусом r = 10 мм. Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу А совершают при этом электрические силы над зарядами  (e = 1)?                                   

Ответ:  нДж.

6.21. Диэлектрический шар (e = 3) равномерно заряжен по объему. Во сколько раз энергия электрического поля вне шара больше энергии, заключенной в шаре?

Ответ. в 15 раз.

6.22. При параллельном соединении двух конденсаторов, незаряженного C1 = 440 пФ и заряженного до 1500 В емкостью 666 пФ, проскакивает искра. Какое количество энергии израсходовано на искру?                                                           

Ответ: 0,3 мДж.

6.23. Конденсаторы емкостью С1 = 1 мкФ, С2 = 2мкФ, С3 = 3 мкФ включены в цепь с напряжением Dj = 1100 В. Определить энергию каждого конденсатора в случае их последовательного и параллельного включения.

Ответ: 0,18; 0,09; 0,06 – последовательно;

0,605; 1,21; 1,815 – параллельно.

6.24. Диэлектрическая пластина толщиной l2 (см. рисунок) находится в конденсаторе. Площадь пластин S, разность потенциалов Dj. Найти силу притяжения между пластинами.

Ответ:

 

6.25. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой диэлектрика с проницаемостью e, заполняющий все пространство между обкладками. Средний радиус обкладок равен R, зазор между ними d = R. Разность потенциалов Dj. Найти величину силы, втягивающей диэлектрик в конденсатор.

Ответ:

7.  ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЗАКОН ОМА.  ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСЬ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ.  ЗАКОНЫ КИРХГОФА

7.1. Разность потенциалов на концах отрезка медной проволоки в электрической цепи U = j1 – j2 = 10 В. Определите плотность тока j на этом участке цепи, если длина отрезка l = 5 м, а удельное сопротивление меди при данных условиях r = 1,72×10-8 Ом×м.

Ответ:  j » 1,2×108 А/м2.

7.2. Сколько электронов N проходит в единицу времени через единицу площади поперечного сечения алюминиевой проволоки длиной l = 10 м, если разность потенциалов на ее концах U = 9 В, а удельное сопротивление алюминия при данных условиях  r = 2,7×10-8 Ом×м?                   

Ответ: 1/(м2×с).

7.3. Определите среднюю скорость <v> упорядоченного движения электронов в медном проводнике, площадь поперечного сечения которого S = 1 мм2, при силе тока I = 10 А, приняв, что на каждый атом меди приходится два электрона проводимости. (Плотность меди d = 8,9×103 кг/м3; молярная масса меди m =          = 0,064 кг/моль).                      

 Ответ:  мм/с.

7.4. В ускорителе пучок частиц движется по круговой орбите радиусом R = 0,5 м со скоростью v = 1,5×107 м/с. Величина среднего тока, создаваемого пучком, I = 15 мкА. Определите заряд пучка.  

                                                       Ответ: пКл.

7.5. Расстояние l от источника тока до нагрузки, потребляющей ток I = 2 А, составляет 5 км. Удельное сопротивление медных проводов (при t = 20 °С) r = 17×10-8 Ом×м. Определите минимальную площадь сечения проводов, если потери напряжения в линии не должны превышать значения DU = 1 В.

Ответ: мм2.

7.6. С помощью гальванометра с чувствительностью i0 = 10 мкА/дел (т.е. i0 – сила тока, соответствующая одному делению шкалы гальванометра) необходимо измерить сопротивление цепи, работающей от сети с напряжением U = 220 В. Как следует включить гальванометр, чтобы с его помощью измерять сопротивление цепи? Укажите, как определяется сопротивление Rk, соответствующее данному показанию по шкале гальванометра, где k – номер деления шкалы. Какое наименьшее сопротивление цепи можно измерить таким гальванометром, если его шкала имеет n = 50 делений? (Внутренним сопротивлением прибора пренебречь).

Ответ:   МОм.

 

7.7. Вольтметр с внутренним сопротивлением Rв = 0,2 кОм подключен к участку цепи с сопротивлением R = 25 Ом, при этом напряжение на вольтметре Uв = 200 В. Оцените погрешность DU в показаниях вольтметра, а также относительную погрешность DU/U, полагая, что ток I остается неизменным.

Ответ: В;

7.8. Линия из N = 5 ламп, соединенных между собой одинаковыми проводниками, сопротивление каждого из которых равно r = 0,5 Ом, подсоединена к источнику тока, напряжение которого U0 = 120 В. Полагая, что в результате нагрева нити ток I, потребляемый каждой лампой, не зависит от напряжения на ней и равен 0,3 А, определите сопротивление провода r, при котором напряжение на последней лампе будет составлять UN = U5 = 0,8U0.

Ответ: Ом.

(где n – номер лампы, отсчитываемый от последней лампы).

7.9. До какой температуры Т нагрелась обмотка электромагнита, выполненная из медной проволоки, если ее сопротивление R после длительной работы стало равным 1,8 Ом? Сопротивление R0 обмотки при 0 °С было равно 1,5 Ом, а температурный коэффициент сопротивления меди a = 0,0043 К-1.

Ответ: Т » 319,5 К.

7.10. Через поперечное сечение медного проводника диаметром  d = 2 мм за время t = 2 мин был перенесен заряд q = 1 Кл. Определите напряженность электрического поля в проводнике, если удельное сопротивление меди (при t = 20 °С) r = 1,72×10-8 Ом×м.

Ответ:  мкВ/м.

7.11. Используя положения классической электронной теории электропроводности металлов, оцените среднее время свободного пробега <t> для  электронов, если концентрация электронов проводимости в металлах n » 1028 м-3, а удельное сопротивление, например для меди, r = 0,017 мкОм×м.

Ответ:  пс.

7.12. Используя выражение для удельной электрической проводимости металлов согласно квантовой теории, оцените величину <l>, играющую роль среднего свободного пробега электрона, для серебра (по оценке эта величина составляет сотни межузельных расстояний в решетке). Считать известными: заряд электрона       |qe| = 1,6×10-19 Кл; массу электрона me = 9,1×10-31 кг; скорость электрона, находящегося на верхнем занятом энергетическом уровне для серебра U0 = 1,4×106 м/с; плотность электронного газа n = 1028 1/м3; удельное сопротивление серебра (при t = 20 °С)       r = 1,6×10-8 Ом×м.                        

 Ответ: =3×10-7 м.

7.13. Определите сопротивление Rab цепи, представленной на рисунке.

Ответ: Rab = (7/9)R.

 

7.14. Определите в цепи, представленной на рисунке, сопротивление Rab между точками а и b, если           R1 = R5 = 10 Ом, а R2 = R3 = R4 =  5 Ом. (При решении используйте симметрию ветвей около точек  а и b, принимая во внимание заданные значения сопротивлений).     

                                Ответ: Rab = 7 Ом.

7.15. Проволочный куб составлен из проводников. Сопротивление R0 каждого проводника, составляющего ребро куба, равно 12 Ом. Определите сопротивление R этого куба, если он включен в электрическую цепь так, как показано на рисунке.

Ответ: R = (5/6)R0 = 10 Ом.

7.16. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от значения I0 = 0 до I1 =  5 А в течение 5 с. Определите заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника за это время.

Ответ: q = 12,5 Кл.

7.17. В схеме, изображенной на рисунке, сопротивление вольтметра Rв = 5 кОм, а сопротивление амперметра RA = 2 Ом. Определите погрешность, допускаемую при измерении с помощью данной схемы сопротивления R = 1 кОм.

Ответ: d = 0,2 %.

7.18. Амперметр и реостаты с сопротивлениями R1 и R2 соединены последовательно и подключены к батарее с ЭДС E  = 20 В. При выведенном реостате R1 амперметр показывает ток I1 = 8 А, а при введенном реостате R1 ток I2 = 5 А. Определите сопротивления R1 и R2 реостатов и падения потенциала U1 и U2 на них, когда реостат R1 полностью включен.

Ответ: R1 = 1,5 Ом; R2 = 2,5 Ом; U1 = 7,5 В; U2 = 12,5 В.

7.19. В приведенной схеме R1 = R2 = r, где r – внутреннее сопротивление источника э.д.с; расстояние между пластинами конденсатора   d = 4 мм. Определите, какой должна быть ЭДС батареи в данной схеме, чтобы напряженность поля в плоском конденсаторе С  была равна  3 кВ/м.           

Ответ: E  = 36 В.

7.20. Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС E1 = E2 = 1 В и внутренними сопротивлениями  r1 = 0,5 Ом и r2 = 1 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R = 1 Ом. Определите разность потенциалов U на зажимах каждого элемента. Определите также (в общем виде), при каком соотношении между величинами r1, r2, R разность потенциалов на зажимах одного из элементов будет равна нулю.  

         Ответ: U1 = 0,6 В; U2 = 0,2 В.

 

7.21. При замыкании элемента на сопротивление R1 = 2,5 Ом сила тока в цепи I1 = 0,5 А, а при замыкании на сопротивление R2 = 2 Ом сила тока I2 = 0,6 А. Определите силу тока короткого замыкания Iк.з.. 

                                            Ответ: Iк.з = 3 А.

7.22. Два источника тока с ЭДС E1 = 4 В и E2 = 3 В включены в цепь так, как показано на рисунке. Определите силу тока I2 в сопротивлении R2, если R1 = 2 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 6 Ом, а внутренними сопротивлениями источников можно пренебречь.     

                                 Ответ: I2 = 0.

7.23. Схема, предложенная на рисунке, содержит источники тока с ЭДС  E1 = 1,4 В и E2 = 3,6 В и сопротивлениями R1 = 5 Ом, R2 = 1 Ом и R3 = 3 Ом. Пренебрегая сопротивлениями источников тока, определите ток в ветви с сопротивлением R3.        

                                     Ответ: I3 = 1 А.

7.24. Определите разность потенциалов U1 и U2 на конденсаторах С1 = 2 мкФ и С2 = 6 мкФ, если ЭДС источников тока равны соответственно E1 = 10 кВ и E2 = 11 кВ.

Ответ: кВ; кВ.

7.25. В схеме ЭДС источника тока  E = 10 В, его внутреннее сопротивление r = 10 Ом, сопротивления резисторов соответственно R1 = 1 кОм и R2 = 2 кОм. Определите напряжение на конденсаторах с электроемкостями С1 = 2 мкФ и    С2 = 3 мкФ.

Ответ: В;  В.

 

 

8. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА. ЗАКОН

ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО

ДЕЙСТВИЯ ИСТОЧНИКА ТОКА

8.1. В сеть параллельно с электрической лампочкой мощностью Р1 = 40 Вт включается электронагревательный прибор мощностью Р2 = 200 Вт. Определите, на какую величину DU изменяется напряжение, подводимое к лампочке, при включении электронагревательного прибора, если напряжение в сети U0 = 220 В, а сопротивление соединительных проводов r = 5 Ом.

Ответ: DU = 4,55 В.

8.2. Электрическая лампочка с вольфрамовой нитью рассчитана на напряжение U = 220 В и потребляет мощность Р = 50 Вт. Диаметр нити лампы d = 0,02 мм. Температура нити при нормальном режиме горения, т.е. накаленной нити, Т = 2700 К. Удельное сопротивление вольфрама при Т0 = 273 К равно r0 = 0,05 мкОм×м и растет пропорционально температуре нити. Определите длину l нити этой лампочки и силу тока I0, протекающего в ней в первый момент после включения. Определите также, во сколько раз этот ток I0 будет больше тока I при нормальном режиме горения лампочки. Комнатная температура t1 = 20 °C.

Ответ: l » 0,61 м;  А; I0 / I » 9,2.

8.3. Элемент с ЭДС E = 1,1 В и внутренним сопротивлением         r = 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление R = 9 Ом. Определите силу тока I в цепи, падение потенциала во внешней цепи UR, падение потенциала внутри элемента Ur и КПД h элемента.

Ответ: I = 0,11 А; UR = 0,99 В; Ur = 0,11 В; h = 0,9.

8.4. Элемент, реостат и амперметр включены последовательно. Элемент имеет ЭДС E = 2 В и внутреннее сопротивление r =         = 0,4 Ом. Определите КПД элемента, если амперметр показывает силу тока I = 1 А.                                              

Ответ: h = 0,8.

8.5. В схему включена батарея с ЭДС E = 10 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Падение напряжения на сопротивлениях R1 и R4 равны, соответственно, U1 = 4 В и U4 = 2 В. Определите, какой ток I показывает амперметр и каково падение напряжения U3 на сопротивлении R3, если КПД батареи    h = 0,8.

Ответ: I = 2 А; U3 = 2 В.

8.6. В схеме мостика Уитстона известны сопротивления R1 = 30 Ом, R2 = 45 Ом и R3 = 200 Ом. Определите токи в отдельных ветвях мостика Уитстона при условии, что ток через гальванометр в диагонали моста отсутствует (IГ = 0), а ЭДС элемента E  = 2 В. Определите также мощности, выделяющиеся на каждом из сопротивлений.

Ответ: I1 = I2 = 26,7 мА; I3 = I4 = 4 мА.

8.7. Определите сопротивление r подводящих проводов от источника напряжением U = 120 В с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, если при коротком замыкании предохранитель из свинцовой проволоки площадью поперечного сечения              S = 1 мм2 и длиной  l = 2 см плавится за время Dt = 0,03 с. Начальная температура предохранителя t0 = 27 °С. Принять для свинца: удельное сопротивление r = 21×10-8 Ом×м; плотность d = 11400 кг/м3; удельная теплоемкость Суд = 0,13 кДж/(кг×К); удельная теплота плавления l = 25 кДж/кг; температура плавления tпл = 327 °С.        

Ответ: r = 0,35 Ом.

8.8. В схеме, предложенной на рисунке, сопротивления участков                R1 = 50 Ом, R2 = 15 Ом и R3 = 10 Ом, а э.д.с. элементов E1 = 2,5 В и E2 = 2 В. Определите токи во всех участках цепи, а также мощности, выделяющиеся на каждом из сопротивлений.

Ответ: I1 = 0,044 А; I2 = 0,015 А; I3 = 0,029 А.

8.9. Два источника тока с одинаковыми ЭДС E1 = E2 = 4 В и одинаковыми внутренними сопротивлениями  r1 = r2 = 0,5 Ом включены в цепь так, как показано на рисунке. Определите сопротивление R, ток I, текущий через это сопротивление, и выделяющуюся на нем мощность Р, а также ток I1, текущий через элемент с ЭДС E1, если ток, текущий через элемент с ЭДС E2, I2 = 2 А.

Ответ: R = 0,75 Ом; I = 4 А; Р = 12 Вт; I1 = 2 А.

8.10. Источник тока с внутренним сопротивлением r = 0,04 Ом при токе I1 = 2 А отдает во внешнюю цепь мощность Р1 = 6 Вт. Какая мощность Р2 выделяется во внешней цепи при токе             I2 = 3 А?                       

  Ответ: Вт.

8.11. К источнику тока с ЭДС E = 240 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключено сопротивление нагрузки R = 23 Ом. Определите мощность, выделяющуюся на сопротивлении нагрузки P, полную мощность Р0 и КПД h источника.

Ответ: Р = 2,3 кВт; Р0 = 2,4 кВт; h = 0,96.

8.12. На сопротивлении R1 = 25 Ом в схеме выделяется мощность Р1 = 16 Вт. Определите, какой ток I показывает амперметр, если ЭДС E = 100 В, внутреннее сопротивление  источника  r = 2 Ом, а сопротивление R3 = 78 Ом.

Ответ: I = 1 А.

 

8.13. Какую наибольшую мощность Pmax  можно получить в цепи, подсоединенной к источнику тока с ЭДС E  = 12 В, если сила тока короткого замыкания Iк.з = 5 А?

Ответ: Pmax = 15 Вт.

8.14. Э.д.с. батареи E = 10 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, Imax = 5 А. Определите максимальную мощность Pmax, которая может быть получена во внешней цепи.

Ответ: Pmax = 12,5 Вт.

8.15. Какое напряжение U1 должен иметь генератор, чтобы при передаче по линии с сопротивлением R = 200 Ом  мощности        Р1 = 30 кВт от генератора к потребителю потери мощности не превышали d = 5 % передаваемой мощности?

Ответ: U1 » 11 кВ.

8.16. На вход линии электропередачи от генератора передается некоторая мощность при напряжении U1 = 9 кВ, при этом КПД линии передачи равен h1 = 70 %. Каким нужно сделать напряжение U2 на линии, чтобы повысить ее КПД до значения h2 = 80 % при сохранении неизменной мощности на полезной нагрузке?

                            Ответ: кВ.

8.17. В момент времени, принятый за начало отсчета, сила тока в проводнике сопротивлением R = 2 Ом равна нулю, а затем равномерно возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в проводнике за время t = 10 с, равно 300 Дж. Определите количество электричества Dq, протекшее за это время по проводнику.

Ответ: Кл.

8.18. В медном проводнике объемом V = 10 см3 при прохождении по нему постоянного тока за время t = 1 мин выделилось количество теплоты Q = 250 Дж. Определите напряженность Е электрического поля в этом проводнике. Удельное сопротивление меди   r = 1,7×10-8 Ом×м.                          

Ответ: В/м.

8.19. Конденсатор емкостью С1 = 2 мкФ разряжается через резистор сопротивлением R = 100 Ом. В тот момент, когда сила тока разряда достигает значения I0 =     = 0,1 А, ключ К размыкают. Определите количество теплоты Q, которое выделяется на резисторе начиная с этого момента. Емкость конденсатора          С2 = 1 мкФ.

Ответ: мкДж.

8.20. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 200 Ом равномерно возрастает от I0 = 1 А до Imax = 11 А в течение времени  t = 20 с. Определите количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.                                   

Ответ: Q » 177,3 кДж.

8.21. Какой объем воды можно вскипятить, затратив электрическую энергию    W = 5 кВт×ч, если начальная температура воды       t0 = 20 °С, а КПД нагревателя h = 90 %? Удельная теплоемкость воды С = 4190 Дж/(кг×К), плотность воды d = 103 кг/м3.

Ответ: V = м3.

8.22. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12 Ом равномерно убывает от I0 = 5 А до I = 0 в течение времени t = 10 с. Какое количество теплоты  Q  выделится в этом проводнике за данный промежуток времени? Определите среднюю силу тока < I > в проводнике за указанный промежуток времени, используя полученное значение Q.

Ответ: Q = 103 Дж; < I > = 2,89 А.

8.23. В электрическом чайнике две секции. При включении одной из них вода в чайнике закипит за 20 мин, при включении другой – за 30 мин. Сколько потребуется времени для кипячения воды при включении в сеть обеих секций: а) последовательно; б) параллельно?

Ответ: а) t1 = 50 мин; б) t2 = 12 мин.

8.24. Сила электрического тока изменяется по закону i = 0,564 sin (12,56 t), здесь i  измеряется в амперах. Определите, какое количество теплоты Q выделится в проводнике с активным сопротивлением 15 Ом за время t = 10 Т, где Т – период колебаний величины тока.

Ответ: Q =  11,9 Дж.

8.25. Сила тока в проводнике равномерно возрастает от значения I0 = 0 до некоторого максимального значения Imax в течение времени t = 20 с. За это же время в проводнике выделилось количество теплоты Q = 2×103 Дж. Определите скорость возрастания тока в проводнике, если его сопротивление R = 5 Ом.

Ответ: А/с.

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЭЛЕКТРОЛИТАХ,

ГАЗАХ  И  ВАКУУМЕ

Ток в электролитах

9.1.1. Для рафинирования электролитическим способом 990 кг меди через ванну пропускают ток. Напряжение на клеммах равно 3 В. Определить количество энергии, израсходованной в процессе электролиза. Потерями энергии пренебречь.

Ответ: 2500 кВт×ч.

9.1.2. Сколько серебра выделится из раствора нитрата серебра за 1,5 мин, если первые 30 с ток равномерно нарастал от 0 до 2 А, а остальное время поддерживался постоянным?

Ответ: 168 мг.

9.1.3. Сколько двухвалентного никеля можно выделить электролитическим путем из водного раствора сульфата никеля за 1 ч при токе в 1,5 А?

Ответ: 1,6 г.

9.1.4. Сколько алюминия выделится при затрате 1 кВт×ч электрической энергии, если электролиз ведется при напряжении 5 В, а к.п.д. установки равен 80 %.

Ответ: 0,054 кг.

9.1.5. В электролитической ванне (CuSO4) за 40 мин выделилось 1,98 г меди. Определить E  батареи, если сопротивление раствора равно 1,3 В, внутреннее сопротивление батареи равно 0,3 Ом, а э.д.с. поляризации составляет 1 В?

Ответ: 5,0 В

9.1.6. При электролизе воды выделяется 0,4 л водорода. Общий заряд, прошедший через ванну, равен 4000 Кл. Определить температуру водорода, если он находится под давлением 128 кПа.

Ответ: 297 К.

9.1.7. При электролизе раствора серной кислоты (H2SO4) за 50 мин выделилось 3,3 л водорода при нормальных условиях. Определить мощность, расходуемую на нагревание электролита, если сопротивление раствора равно 0,4 Ом.

Ответ: 35 Вт.

9.1.8. Через раствор азотной кислоты пропускается ток I = 2 А. Какое количество электричества переносится за одну минуту ионами каждого знака?

Ответ: q+ = 100 Кл; q = 20 Кл.

9.1.9. При получении алюминия электролизом раствора Al2O3 в расплавленном криолите проходил ток 2×104 А  при разности потенциалов на электродах в 5 В. Найти время, в течение которого будет выделена 1 т алюминия. Сколько электрической энергии будет при этом затрачено?

Ответ: 149 ч, 1,5×104 кВт×ч.

9.1.10. Удельная электропроводность децинормального раствора соляной кислоты равна 0,035 1/(Ом×см). Найти степень диссоциации.

Ответ: a = 0,92.

9.1.11. При силе тока I = 5 А в электрической ванне за время         t = 10 мин выделился 1 г двухвалентного металла. Определить его относительную атомную массу А.

Ответ: А = 65,4.

9.1.12. Сколько атомов двухвалентного металла выделится на 1 см2 поверхности катода за время t = 5 мин при плотности тока   J = 10 А/м2?

Ответ: N = 9,3×1017.

9.1.13. Сила тока при электролизе медного купороса возрастает равномерно от нуля до 2 А в течение 20 с. Найти массу меди, выделившейся за это время на катоде.

Ответ: m = 6,6 мг.

9.1.14. Определить количество вещества n и число атомов N двухвалентного металла, отложившегося на катоде, если через раствор за время t = 5 мин шел ток I = 2 А.

Ответ: n = 3,1 ммоль; N = 1,9×1021.

9.1.15. При прохождении заряда Q = 193 кКл на катоде электролитической ванны выделилось 1 моль вещества. Определить валентность металла.

Ответ: Z = 1.

9.1.16. Определить толщину h слоя меди, выделившейся за время t = 5 ч при электролизе медного купороса, если плотность тока    J = 80 А/м2.

Ответ: h = 54 мкм.

9.1.17. Через какое время после начала электролиза медный анод станет тоньше на h = 0,03 мм, если плотность тока при электролизе составляет J = 200 А/м2.

Ответ: t @ 70 мин.

9.1.18. Электролиз слабого раствора серной кислоты проводился в течение 12 мин при силе тока 2,5 А. Найти объем выделившихся водорода и кислорода (при нормальных условиях).

Ответ: 2,1×10-4 м3; 1×10-4 м3.

9.1.19. Какой ток нужно пропустить через раствор подкисленной воды, чтобы за 10 ч получить 0,1 м3 водорода при нормальных условиях?

Ответ: I = 24 А.

9.1.20. При электролизе раствора ZnSO4 на катоде выделилось 2,04 г цинка за 50 мин. Определить ЭДС поляризации, если напряжение на зажимах ванны составляет 4,2 В, а сопротивление раствора равно 1,8 Ом.

Ответ: 0,6 В.

9.1.21. При электролитическом нанесении покрытия изделия серебром пропускали ток J = 70 А/м2. Сколько времени потребуется для того, чтобы образовался слой серебра толщиной 0,05 мм?

Ответ. 12 мин.

9.1.22. Две электролитические ванны соединены последовательно. В первой ванне выделилось m1 = 2,24 г железа, во второй за то же время 3,9 г цинка. Определить валентность железа.

Ответ: Z = 3.

9.1.23. Электролитическая ванна с раствором медного купороса присоединена к батарее аккумуляторов с ЭДС E = 4 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом. Определить массу m меди, выделившейся  при электролизе за время t = 10 мин, если ЭДС поляризации EП = 1,5 В и сопротивление R раствора равно 0,5 Ом. Медь двухвалентна.

Ответ: m = 0,83 г.

9.1.24. Сколько атомов двухвалентного цинка выделилось на катоде за 5 мин при электролизе раствора сульфата цинка при токе   I = 2,5 А.

Ответ: N = 2,34×1021.

9.1.25. Электрический заряд аккумулятора составляет 194,4 кКл. Сколько энергии потребовалось для зарядки аккумулятора, если напряжение на его зажимах 2 В, а КПД составляет h = 80 %.

Ответ: 4,9×105 Дж.

Ток в газах

9.3.1. Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон для того, чтобы ионизовать атом водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,5 В.

Ответ: 2,2×106 м/с.

9.3.2. При какой температуре атомы ртути имеют среднюю кинетическую энергию поступательного движения, достаточную для ионизации? Потенциал ионизации атома ртути 10,4 В.

Ответ: 80000 К.

9.3.3. При освещении сосуда с газом рентгеновскими лучами в каждом см3 за 1 с ионизируется 1016 молекул. В результате рекомбинации в сосуде установилось равновесие при концентрации n = 108 см-3 ионов. Найти коэффициент рекомбинации.

Ответ: r = 10-6 м-3×с-1.

9.3.4. Потенциал ионизации атома гелия равен 24,5 В. Найти работу ионизации Wi.                        

                Ответ: Wi = 4×10-18 Дж.

9.3.5. Энергия ионизации атома водорода Wi = 2,18×10-18 Дж. Определить потенциал ионизации водорода.

Ответ: 13,6 В.

9.3.6. Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон, чтобы ионизировать атом азота, если потенциал ионизации азота равен 14,5 В.

Ответ: 2,3×106 м/с.

9.3.7. Азот ионизируется рентгеновскими лучами. Определить проводимость азота, если концентрация заряженных ионов и электронов в условиях равновесия 1013 м-3. Подвижность равна b+ = 1,27×10-4 м2×В-1×с-1; b- = 1,81×10-4 м2×В-1×с-1.

Ответ: s = 5×10-1 См.

9.3.8. В ионизационной камере ток насыщения плотностью 16 мкА/м2 проходит между пластинами, расположенными на расстоянии l = 5 см. Определить эффективность ионизатора q.

Ответ: 2×1015 м-3с-1.

9.3.9. Объем газа V = 0,5 л, заключенного между электродами ионизационной камеры, ионизируется рентгеновскими лучами. Сила тока насыщения равна 4 нА. Определить эффективность N ионизации. Ионы одновалентные.

Ответ: 5×1013 м-3×с-1.

9.3.10. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен     6,4 нА. Найдите эффективность ионизатора q.

Ответ: 107 м-3×с-1.

9.3.11. Определить ток насыщения между плоскими электродами S = 100 см2, расположенными на расстоянии l = 10 см. Ионы однозарядные. Ионизатор естественный n0 = 5 см-3×с-1.

Ответ: 8×10-16 А.

9.3.12. Какую ускоренную разность потенциалов должны пройти ионы водорода, чтобы вызвать ионизацию азота, потенциал ионизации которого 14,5 В.

Ответ: 15,55 В.

9.3.13. Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при напряженности поля Е = 34 В/м  плотность тока J = 2×10-6 А/м2b+ = 1,38×10-4 м2×В-1×с-1; b- = 1,91×10-4 м2×В-1×с-1

Ответ: 1,1×1015 м-3.

9.3.14. Первоначальное число n0 = 1,5×1015 м-3  пар ионов вещества рекомбинации уменьшается в три раза. Через какое время этот процесс происходит, если r = 1,67×10-15 м-3×с-1.

Ответ: t = 2/rn0 = 0,8 с.

9.3.15. Найти закон убывания ионов в газе после прекращения действия ионизатора, а в начальный момент времени n = n0.

Ответ:

9.3.16. Подвижность ионов азота b- = 1,9×10-4 м2×В-1×с-1. Определить подвижность b+ азота, если J = 5×10-11 А/м2, Е = 1000 В/м.

Ответ: 1,3×10-4 м2В-1с-1.

9.3.17. Через какой промежуток времени после прекращения действия ионизатора число пар ионов вследствие рекомбинации уменьшится вдвое, если первоначальное число ионов   n0 = 1,5×1015 м-3? Коэффициент рекомбинации r = 1,67×10-15 м3×с-1.

Ответ: 0,4 с.

9.3.18. Определить работу ионизации одноатомного М газа, если для ударной ионизации нужно, чтобы электрон m прошел ускоряющую разность потенциалов U.

Ответ:

9.3.19. Доказать, что минимальная кинетическая энергия, которой должны обладать электрон для ионизации молекулы одноатомного газа, равна  где Wi – работа ионизации; m, M – массы частиц.

9.3.20. Средняя напряженность электрического поля Земли составляет 130 В/м. Определить плотность тока проводимости в воздухе, если в 1 м3 находится 7×108 м-3 пар одновалентных ионов, обусловливающих проводимость.

Ответ: 4,8×10-12 А/м2.

9.3.21. Сила тока, текущего через ионизационную камеру, равна 2,4 мкА. Площадь электродов камеры S = 100 см2, расстояние между ними l = 2 см, разность потенциалов U = 100 В. Какова концентрация ионов в зоне проводимости, если b+ = 1,4×10-4 м2×В-1×с-1; b- = 1,9×10-4 м2×В-1×с-1.

Ответ: 3×1014 м-3.

9.3.22. Ток насыщения ионизационной камеры равен 8 мкА/м2. Расстояние между электродами l = 0,05 м. Определить, сколько пар ионов образуется под действием ионизатора.

Ответ: 1×109 см-3×с-1.

9.3.23. Азот ионизируется рентгеновскими лучами. Определить проводимость азота s, если в условиях равновесия n0 = 106 пар ионов.

Ответ× 5×10-11 См.

9.3.24. Посредине между электродами (d = 4 см) в газоразрядной трубке пролетела a-частица, двигаясь параллельно электродам, и образовала на своем пути цепочку ионов. Через какое время ионы дойдут до электродов, если разность потенциалов U = 5000 В, а подвижность ионов b± = 2×10-4 м2×В-1×с-1.

Ответ: t = 0,02 с.

9.3.25. Газ, заключенный в ионизационной камере между плоскими пластинами, облучается рентгеновскими лучами. Определить ток насыщения, если ионизатор образует n = 4,5×1013 см-3×с-1. Принять, что каждый ион несет элементарный заряд. Расстояние между пластинами камеры d = 1,5 см.

Ответ: 1,1×10-7 А.

 

admin
Аватар пользователя admin
Offline
Создано: 20/08/2012

ИДЗ №4

 

Индивидуальные задания из задачника

 

Тюрин Ю.И., Ларионов В.В., Чернов И.П. Физика: Сборник задач (с решениями). Часть 2. Электричество и магнетизм.: Учебное пособие. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 448 с.

11. СИЛА ЛОРЕНЦА

 

11.1. Показать, что какой бы скоростью v ни обладал электрон, влетающий в однородное магнитное поле В, и какой бы угол a ¹ 0 не образовало направление v с направлением В, электрон опишет виток винтовой линии за одно и то же время Т.

Ответ: Т = 2pm/(qB).

11.2. Электрон влетает в постоянное однородное магнитное поле В (см. рисунок) и в этот момент находится в точке А, обладая скоростью v, образующей с направлением поля угол a. Описав один виток винтовой линии, он окажется в точке С. Чему равно АС?

Ответ:

11.3. Заряженная частица движется по окружности радиуса r = 100 мм в однородном магнитном поле с индукцией  В = 10 мТл. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является нерелятивистский протон.

Ответ:  м/с; Т = 6,5 мкс.

11.4. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное однородное поле (см. рисунок) с индукцией В = 0,51 Тл. Толщина области с полем d = 10 см. Найти угол a отключения протона от первоначального направления движения.

Ответ: °.

11.5. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1000 В, движется в однородном магнитном поле под углом a = 30 ° к вектору В, модуль которого В = 29 мТл. Найти шаг винтовой линии электрона.

Ответ:   см.

11.6. Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с            Е = 4000 В/м и В = 50 мТл. Траектория протонов лежит в плоскости xz (см. рисунок) и составляет угол   j = 30 ° с осью х. Найти шаг винтовой линии, по которой будут двигаться протоны после выключения электрического поля.

Ответ:  см.

11.7. В пространстве, где созданы электрическое и магнитное поля, однородные поперечные взаимно перпендикулярные, движутся нерелятивистские протоны. Траектория протонов лежит в области xz (см. рисунок) и составляет угол a = 30 ° с осью х. Шаг винтовой линии, по которой двигаются протоны после выключения электрического поля, равен  h = 0,06 м. Определить величину Е, если В = 50 мТл.

Ответ: 120 кВ/м.

11.8. Протон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией  В = 10 мТл. Найти радиус окружности, если скорость протона равна v = 1×104 м/с.

Ответ: R = 0,1 м.

11.9. Релятивистский электрон движется по окружности радиусом 100 мм в однородном магнитном поле В = 10 мТл. Найти скорость и период обращения электрона.

Ответ: 0,51 с;  4 нс.

11.10. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона v = 4×107 м/с. Индукция магнитного поля равна В = 0,001 Тл. Чему равны тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле? 

Ответ: аt = 0; an = 7×1015 м/c2.

11.11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению его движения. Индукция магнитного поля В = 1,2×10-3 Тл. Найти момент импульса электрона.

Ответ: 1,5×10-24 кг×м2с-1.

11.12. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 106 м/с. Индукция магнитного поля равна 0,3 Тл. Радиус окружности 0,04 м. Найти заряд частицы, если энергия частицы 12 кэВ.

Ответ: q = 3,2×10-19 Кл.

11.13. a-частица, момент импульса которой равен  1,33×10-22 кг×м2 ×с-1, движется по окружности в магнитном поле В = 2,5×10-2 Тл. Найти кинетическую энергию a-частицы.

Ответ: 500 эВ.

11.14. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом a = 30 ° к линиям индукции В и движется по спирали, шаг которой равен 1,5 см. Кинетическая энергия протона равна 435 эВ. Найти магнитную индукцию В.

Ответ: 0,1 Тл.

11.15. Первоначально a-частица движется свободно со скоростью v = 0,35×107 м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее скорости однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. Найти модуль и направление ее магнитного момента Pm.

Ответ: ×10-14 Дж/Тл.

11.16. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр d = 8 см и шаг h = 20 см. Индукция В = 5×10-3 Тл. Определить скорость электрона.

Ответ: v = 4,5×107 м/с.

11.17. Вычислить скорость, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов U, равную: а) 100 В; б) 100 кВ.

Ответ: а) v = 5,9×106 м/с;

б) 1,64×108 м/с.

11.18. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v0 = 107 м/с. Длина конденсатора l = 5 см, напряженность Е = 100 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле В = 0,01 Тл. Вектор В ^ Е. Найти радиус траектории электрона.

Ответ: R = 5 мм.

11.19. Магнитное поле с индукцией В = 5×10-4 Тл и электрическое поле Е = 10 В/см взаимно перпендикулярны и однородны. Скорость электронов, влетающих в пространство с полями, перпендикулярна векторам В и Е. Найти скорость электронов v, если электроны не испытывают отклонения, и радиус кривизны траектории после выключения поля Е.

Ответ: v = 2×106 м/с; R = 0,023 м.

11.20. Электрон, ускоренный полем Е при Dj = 400 В, попадает в однородное магнитное поле Н = 1000 Ам-1. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям Н. Найти радиус кривизны траектории электрона в магнитном поле.

Ответ: R = 5,37 мм.

11.21. Заряженная частица с кинетической энергией ЕК = 2 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 4 мм. Определить силу Лоренца FЛ, действующую на частицу со стороны поля.

Ответ: FЛ = 2ЕК/R = 0,16 пН.

11.22. Два иона с одинаковыми зарядами, пройдя одну и ту же ускоряющую разность потенциалов, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Один ион, масса которого m1 = 12 а.е.м., описал дугу окружности радиусом R1 = 2 см. Определить массу m2 (в а.е.м.) другого иона, который описал дугу окружности радиусом R2 = 2,31 см.

Ответ: 16 а.е.м.

11.23. Протон движется по окружности в однородном магнитном поле В = 2 Тл. Определить силу эквивалентного тока I, создаваемого движением протона.

Ответ:  А = 4,9 пА.

11.24. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 мТл по винтовой линии, радиус которой = 1,5 см и шаг h = 10 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Ответ:  нс; м/с  (tg a = 2pR/h).

11.25. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл движется a-частица. Траектория ее движения представляет собой винтовую линию с радиусом R = 1 см и шагом h = 6 см. Определить кинетическую энергию ЕК движения частицы.

Ответ:Дж  (tg a = 2pR/h).

12. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

ЗАКОН БИО – САВАРА – ЛАПЛАСА.

ЗАКОН АМПЕРА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ

А. Магнитное поле постоянного тока.

Закон Био – Савара – Лапласса

12.1.1. По двум бесконечно длинным проводам текут токи силой   I1 = 50 A и I2 = 100 A в противоположных направлениях. Расстояние d между проводниками равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на r1 = 25 см от первого и на  r2 = 40 см от второго провода.                         

    Ответ: 21,2×10-6 Тл.

 

12.1.2. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом. По проводам текут токи силой I1 = 80 А  и  I2 = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников (см. рисунок).        

  Ответ: 4×10-4 Тл.

12.1.3. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом a = 120 °, течет ток силой I = 50 А. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины его на расстояние а = 5 см.

Ответ: В1 = 3,46×10-4 Тл; В2 = 1,15×10-4 Тл.

12.1.4. По четырем длинным прямым параллельным проводникам, проходящим через вершины квадрата (стороны квадрата 30 см) перпендикулярно плоскости, текут одинаковые токи 10 А, причем по трем проводникам токи текут в одном направлении, а по четвертому – в противоположном. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.                   

Ответ: В = 18,8×10-6 Тл.

12.1.5. Очень длинный проводник с током I = 5 А изогнут в форме прямого угла. Найти индукцию магнитного поля в точке, которая отстоит от плоскости, в которой лежит проводник, на           l = 35 см и находится на перпендикуляре к проводникам, проходящим через точку изгиба.                            

     Ответ: В = 2×10-6 Тл.

12.1.6. Три прямых провода с токами I, I/4, 3I/4 лежат в плоскости и соединены в точке О. Найти индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через точку О, перпендикулярно всем трем проводам, на расстоянии l от точки О.            

 Ответ: В = Тл.

12.1.7. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой I = 40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

Ответ: В = 2,4×10-4 Тл.

12.1.8. По тонкому проводу, согнутому в виде прямоугольника, течет ток силой I = 60 А. Длины сторон прямоугольника равны а = 30 см и b = 40 см. Определите магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.                                  

Ответ: В = 2 ×10-4 Тл.

12.1.9. По бесконечно длинному прямому проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке, течет ток I = 100 А. Определить магнитную индукцию В  в точке О, если               r = 10 см.

Ответ: В = 3,57×10-4 Тл.

12.1.10. Ток силой I = 6,28 А циркулирует в контуре, имеющем форму равнобочной трапеции (см. рисунок). Отношение оснований трапеции равно 2. Найти магнитную индукцию В в точке А, лежащей в плоскости трапеции. Меньшее основание трапеции l  = 100 мм, расстояние b = 50 мм.            

Ответ: 8,9 мкТл.

12.1.11. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка радиусом R = 8 см равна 30 А/м. Определить напряженность Н1 на оси витка в точке, расположенной на расстоянии  d = 6 см от центра витка.

Ответ: Н1 =  15,36 А/м.

12.1.12. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

Ответ:

12.1.13. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течет ток. Чему равна сила I этого тока, если магнитная индукция В поля в точке А равна 1 мкТл? Угол b = 10 °.

Ответ: 3 А.

12.1.14. Цепь постоянного тока включает однородное кольцо и два подсоединенных к нему очень длинных радиальных проводника. Чему равна магнитная индукция в центре кольца (см. рисунок)?  

 Ответ: В = 0.

12.1.15. Бесконечно длинный тонкий проводник с током I = 50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях а) и б), изображенных на рисунке.

Ответ: а) В = 2×10-4 Тл;

б) В = 1,57×10-4 Тл.

12.1.16. Бесконечно длинный тонкий проводник с током I = 50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в случаях а) и б), изображенных на рисунке.

Ответ: а) В = 2,86×10-4 Тл;  б) В = 2,14×10-4 Тл.

12.1.17. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток силой I = 10 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в точке О. Радиус изогнутой части контура равен 20 см.         

 Ответ: В = 3×10-5 Тл.

12.1.18.По плоскому контуру из тонкого провода течет ток силой I = 50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в точке О. Радиус изогнутой части контура равен 10 см.

Ответ: В = 2,7×10-4 Тл.

 

 

 

12.1.19. Бесконечно длинный тонкий проводник с током силой        I = 50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током в точке О.

Ответ: В = 1,76×10-4 Тл.

12.1.20. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током I = 8 А имеет вид, показанный на рисунке. Радиус изогнутой части проводника R = 10 см, прямолинейные участки очень длинные.

Ответ: В = 0,3 мкТл.

12.1.21. По обмотке очень короткой катушки радиусом r = 16 см течет ток I = 5 А. Сколько витков N проволоки намотано на катушку, если напряженность Н магнитного поля в ее центре равна 800 А/м? 

Ответ: 51.

12.1.22. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи силой I1 = 30 А и I2 = 40 А. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке С, одинаково удаленной от обоих проводов на расстояние, равное d.

Ответ: В = 50 мкТл.

12.1.23. Бесконечно длинный тонкий проводник с током I = 10 А имеет петлю радиусом   R = 6 см. Определить индукцию магнитного поля на оси кольца на расстоянии h = 8 см от кольца.

Ответ: В =

= 3,8×10-5 Тл.

12.1.24. Ток I = 200 А течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиусом R = 10 см. Найти индукцию магнитного поля в точке О.

Ответ: В = 2,55×10-4 Тл.

12.1.25. Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из N = 100 плотно расположенных витков, по которым течет ток                I = 8×10-3 А. Радиусы внутреннего и внешнего витков равны а = 5×10-8 м, b = 10-7 м. Найти индукцию магнитного поля в центре спирали.

Ответ: В = 7×10-6 Тл.

12.1.26. Эбонитовый шар радиусом R = 5 см заряжен равномерно распределенным поверхностным зарядом плотностью  d = 10-5 Кл/м2. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью w = 62,8 рад/с. Найти индукцию магнитного поля в центре шара.

 Ответ: В = 26×10-12 Тл.

12.1.27. Катушка длиной l = 20 см содержит N = 100 витков. По обмотке катушки идет ток силой I = 5 А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии а = 10 см от ее конца.

Ответ: В = 3,8×10-4 Тл.

 

 

Б. Закон Ампера. Взаимодействие токов

12.2.1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной l = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток силой I = 50 А, а угол a между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30 °.

Ответ: F = IВl sin a; F = 50 мН.

12.2.2. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 20 мТл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположен проводник длиной l = 3 см, согнутый в форме полукольца и обтекаемый током I = 0,1 А. Найти силу, действующую на данный проводник со стороны магнитного поля.

Ответ: F = Fy = 2IВl/p = 3,8×10-5 Н = 38 мкН.

12.2.3. В однородном магнитном поле, индукция которого  В = 20 мТл, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположен прямой проводник длиной l = 3 см, обтекаемый током I = 0,1 А. Найти силу, действующую на данный проводник со стороны магнитного поля.

Ответ: F = IВl; F = 60 мкН.

12.2.4. По двум одинаковым квадратным контурам со стороной  а = 40 см текут токи силой I = 10 А в каждом. Определить силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответственными сторонами контуров равно 1 мм.

Ответ: мН.

12.2.5. По двум параллельным прямым проводам длиной 250 см каждый, находящимся на расстоянии 20 см друг от друга, текут одинаковые токи силой 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.                   

Ответ: мН.

12.2.6. По трем параллельным проводам (прямым), находящимся на одинаковом расстоянии 50 см друг от друга, текут одинаковые токи силой 50 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на отрезок длиной 1 м третьего провода.                                            

Ответ: мН.

12.2.7. Прямой провод длиной 10 см, по которому течет ток силой 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Найти угол между направлениями вектора магнитной индукции и тока, если на провод действует сила 10 мН.

Ответ: .

12.2.8. По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца, радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи силой 10 А в каждом. Найти силу взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние между центрами колец равно 1 мм.

Ответ: мН.

12.2.9. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и по проводу текут одинаковые токи силой 100 А. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.      

Ответ: Н.

12.2.10. В плоскости с бесконечно длинным прямым проводником с током I1 = 5 А расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I2 = 1 А. Найти силы, действующие на каждую сторону рамки со стороны поля, создаваемого прямым током, если длинная сторона b = 20 см параллельна прямому току и находится от него на расстоянии х0 = 5 см, меньшая сторона а = 10 см.

Ответ: мкН; мкН.

12.2.11. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной l = 2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d = 20 см. Определить силу F взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним  течет ток силой I = 10 кА.                                         

Ответ: Н.

12.2.12. Между полюсами электромагнита в горизонтальном магнитном поле находится проводник, расположенный горизонтально, причем его направление перпендикулярно магнитному полю. Какой ток должен идти через проводник, чтобы он висел не падая, если индукция поля равна В = 0,01 Тл и масса единицы длины проводника mi = 0,01 кг/м?                                       

Ответ: I = 10 А.

 

12.2.13. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии l =        = 0,3 м друг от друга. На них лежит стержень, перпендикулярный рельсам. Какой должна быть индукция магнитного поля для того, чтобы стержень начал двигаться, если по нему пропускается ток I0 = 50 А? Коэффициент трения стержня о рельсы К = 0,2. Масса стержня 0,5 кг.                                                         

Ответ: 6,6×10-2 Тл.

12.2.14. Ток I течет по длинному однослойному соленоиду, радиус сечения которого равен R. Число витков на единицу длины соленоида n. Найти предельную силу тока, при которой может наступить разрыв обмотки, если предельная нагрузка на разрыв проволоки обмотки равна Fпр = 100 Н, n = 20000 м-1, R = 10 см.

Ответ: А.

12.2.15. Катушку с током I = 10мА поместили в однородное магнитное поле так, что ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки однослойная из медного провода диаметром  d = 0,1 мм, радиус витков R = 30 мм. При каком значении индукции внешнего поля обмотка катушки может быть разорвана?

Ответ: В = pd2sm/4RI = 8000 Тл.

12.2.16. Медный провод (rCu = 8400 кг/м3) сечением S = 2,5 мм2 согнут в виде трех сторон квадрата и может поворачиваться вокруг оси ОО¢. Найти индукцию поля (направление указано на рисунке), если при пропускании тока I = 16 А угол отклонения        q = 20 °.

      Ответ:  = 0,01 Тл.

 

12.2.17. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии L = 0,3 м друг от друга. На них лежит стержень, перпендикулярный рельсам. Вся система находится в однородном магнитном поле В = 6,6×10-2 Тл. Какой ток нужно пропустить, чтобы стержень начал движение? Вектор В перпендикулярен рельсам и стержню, коэффициент трения стержня о рельсы m = 0,2.

Ответ: I0 = 50 А.

12.2.18. Постоянный ток I = 14 А течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиуса R = 5,0 см. Такой же ток течет в противоположном направлении по тонкому проводнику, расположенному на «оси» первого проводника (точка О на рисунке). Найти силу магнитного взаимодействия данных проводников на единицу их длины.

Ответ: F = m0I2 / p2R = 0,5 мН/м.

12.2.19. Замкнутый контур с током I находится в поле длинного прямого проводника с током I0. Плоскость контура перпендикулярна к прямому проводнику. Найти момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур, если он имеет вид, показанный на рисунке.   

                                  Ответ:

12.2.20. Квадратная рамка с током I = 0,9 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток I0 = 5 А. Сторона рамки а = 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в h = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу Ампера, действующую на рамку.

Ответ: мкН.

12.2.21. Найти модуль и направление силы, действующей на единицу длины тонкого проводника с током I = 8 А, в точке О, если проводник изогнут, как показано: а) на рис. а, и радиус закругления R = 10 см; б) на рис. б, и расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника   l = 20 см.

Ответ: а)  F = m0I2 / 4R = 0,20 Н/м; б)  F = m0I2 / pl = 0,13 мН/м.

12.2.22. Катушку с током I поместили в однородное магнитное поле так, что ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки однослойная из медного провода диаметром d = 0,1 мм, радиус R = 30 мм. При каком значении тока обмотка катушки может быть разорвана, если индукция магнитного поля                 В = 8000 Тл?

Ответ: I = 10 мА;  sCu - предел прочности меди.

12.2.23. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние а. В каждом проводе течет ток I. Найти максимальное значение силы Ампера на единицу длины провода в этой системе.

Ответ:

12.2.24. Система состоит из двух параллельных друг другу плоскостей с токами, которые создают между плоскостями однородное магнитное поле с индукцией В. Вне этой области магнитное поле отсутствует. Найти магнитную силу, действующую на единицу поверхности каждой плоскости.

Ответ: F = B 2 /2m0.

12.2.25. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку К с числом витков N = 200 поместили в зазор между полюсами магнита (см. рисунок). Площадь сечения катушки S = 1 см2, длина плеча ОА коромысла l = 30 см. В отсутствие тока через катушку весы уравновешены. После того как через катушку пустили ток I = 22 мА, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на         Dm = 60 мг. Найти индукцию магнитного поля в месте нахождения катушки.

Ответ: В = Dmgl / NIS = 0,4 Тл.

 

13. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА  В

(ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА).

МАГНИТНЫЙ ПОТОК

13.1. Какое влияние на поле соленоида оказывает то обстоятельство, что переход от витка к витку сопровождается перемещением вдоль оси соленоида? Ответ обосновать.

13.2. По круглому прямому проводу радиуса R течет ток одинаковой по всему сечению плотности J. Найти выражение для напряженности поля Н в точке, положение которой относительно оси провода определяется перпендикулярным к этой оси радиусом вектором r. Рассмотреть случай, когда точка лежит внутри и вне провода.

Ответ.  Н = (1/2) [J r] для r „ R, [J r],  для r … R.

13.3. К противоположным концам диаметра АВ проволочного контура в виде окружности радиуса R (см. рисунок) присоединен источник ЭДС. Какова напряженность магнитного поля Н в произвольной точке С диаметра? Поле подводящих проводов не учитывать.

Ответ. Н = 0.

 

13.4. Деревянный шар радиусом R обмотан тонкой проволокой так, что витки ложатся по большим кругам, пересекаясь в концах одного и того же диаметра АВ (см. рисунок). Число витков шесть, и плоскости каждой пары соседних витков образуют угол 30 °. По проволоке течет ток силой I. Найти величину и направление напряженности поля Н в центре шара.

Ответ: (sin 15 ° + sin 45 ° + sin 75 °). Вектор Н направлен за плоскость чертежа и образует с плоскостью первого витка угол a = 15 ° (отсчет  углов производится по часовой стрелке, если смотреть сверху).

13.5. Деревянный шар радиусом R обмотан тонкой проволокой так, что все витки параллельны между собой. Витки плотно уложены и покрывают половину поверхности шара в один слой (см. рисунок). По проволоке идет ток силой I. Найти напряженность магнитного поля Н в центре шара С. Общее число витков N. Витки можно считать кольцами, находящимися на равном расстоянии друг от друга по дуге большего круга, плоскость которого перпендикулярна к плоскости колец.

Учесть, что

Ответ:

13.6. Из одинаковых кусков проволоки спаян куб (см. рисунок). К противоположным концам А и В его диагонали приложена ЭДС. Какова напряженность Н магнитного поля в центре куба? Поле подводящих проводов не учитывать.

Ответ: Н = 0.

13.7. Какова напряженность магнитного поля в центре равностороннего треугольника из однородной проволоки, если источник ЭДС подключен к двум вершинам треугольника? Поле подводящих проводов не учитывать.

Ответ: В = 0.

13.8. По соленоиду длиной l = 1 м без сердечника, имеющему      N = 103 витков (см. рисунок), течет ток I = 20 А. Определить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, изображенного на рис. а, б.

Ответ: а) циркуляция 0; б) 25,2 мТл×м.

 

13.9. Вычислить циркуляцию вектора В вдоль контура, охватывающего токи     I1 = 10 А, I2 = 15 А, текущие в одном направлении, и ток I3 = 20 А, текущий в противоположном направлении.

Ответ: 6,28 мкТл×м.

13.10. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью J = 2 МА/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R = 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол a = 30 ° с вектором плотности тока.

Ответ: pr2 J sin a = 78,6 А.

13.11. Диаметр D тороида без сердечника по средней линии равен 30 см. В сечении тороид имеет круг радиусом r = 5 см. По обмотке тороида, содержащей N = 2000 витков, течет ток I = 5 А (см. рисунок). Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и минимальное значение магнитной индукции В в тороиде.

Ответ: мТл;

мТл.

13.12. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, сделанным из немагнитного материала и изолированным друг от друга, текут в противоположных направлениях токи с одной и той же плотностью J =                    = 1000 А×см-2. Проводники имеют вид бесконечно длинных цилиндров. Найти величину индукции магнитного поля в полости П. Расстояние АВ = d = 5 см. Токи текут (в А к нам, в В от нас).

Ответ: В = 0,314 Тл.

13.13. Найти магнитный поток F, создаваемый соленоидом сечением S = 10 см2, если он имеет n = 10 витков на каждый сантиметр его длины при силе тока I = 20 А.

Ответ: 25,2 мкВб.

13.14. Определить индукцию магнитного поля на оси тороида (без сердечника), по обмотке которого, содержащей N = 2000 витков, идет ток 20 А. Внешний диаметр тороида D = 1,3 м; внутренний – d = 1,2 м.

Ответ:  мТл.

13.15. Плоский контур, площадь S которого равна 25 см2, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол b = 30 ° с линиями индукции.

Ответ: 50 мкВб.

13.16. При двукратном обводе магнитного полюса вокруг проводника с током     I = 100 А была совершена работа А = 1 мДж. Найти магнитный поток Ф, создаваемый полюсом.

Ответ: 5 мкВб.

13.17. Соленоид длиной l = 1 м и сечением S = 16 см2 содержит   N = 2000 витков. Вычислить потокосцепление y при силе тока   I = 10 А  в обмотке.

Ответ: 80,5 мкВб×виток.

13.18. Рядом с длинным прямым проводом, по которому течет ток I1 = 10 А, расположена квадратная рамка. Рамка и провод лежат в одной плоскости. Найти магнитный поток через рамку, если сторона рамки а = 80 мм, а ось рамки находится от провода на расстоянии b = 100 мм.

Ответ: 0,5×10-7 Вб.

13.19. Плоская квадратная рамка со стороной а = 20 см лежит в одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I = 100 А. Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона параллельна ему и находится на расстоянии l = 10 см от провода. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.

Ответ: 4,5 мкВб.

13.20. Определить, во сколько раз отличаются магнитные потоки, пронизывающие рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током, представленных на рисунке.

Ответ: в 3,8 раза.

13.21. По двум большим окружностям шара, вертикальной и горизонтальной, проходят токи одной и той же величины. Под каким углом будет наклонен вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля этих токов к плоскостям окружностей? Чему равна циркуляция вектора В по контуру в виде окружности диаметром d < D шара, находящемуся внутри шара и d > D снаружи шара?

Ответ: a = 45 °.

12.22. По длинному прямому соленоиду, имеющему n = 3,3 см-1, протекает ток 0,13 А. Определить магнитный поток через площадь поперечного сечения соленоида, если его диаметр    D = 16 см.                                            

Ответ: 0,11 мкВб.

12.23. Квадратная рамка со стороной а = 20 см расположена в одной плоскости с прямым бесконечно длинным проводом с током. Расстояние l от провода до середины рамки равно 1 м. Вычислить относительную погрешность, которая будет допущена при расчете магнитного потока, пронизывающего рамку, если поле в пределах рамки считать однородным, а магнитную индукцию – равной значению ее в центре рамки.

Ответ: 0,17 %.

13.24. Пространство между обкладками сферического конденсатора заполнено однородным проводящим изотропным диэлектриком. Внутренней обкладке незаряженного изначально конденсатора сообщается некоторый заряд q0. Внешняя оболочка начинает заряжаться. Заряд q0 убывает, следовательно, в цепи конденсатора течет ток. Чему равна магнитная индукция в зазоре сферического конденсатора. Ответ обосновать с помощью чертежа и подробного анализа.

Ответ: В = 0.

13.25. Тороид квадратного сечения содержит N = 1000 витков. Наружный диаметр D тороида равен 40 см, внутренний d = 20 см. Найти магнитный поток Ф в тороиде, если сила тока I, протекающего по обмотке, рана 10 А.

Ответ: мкВб.

 

16. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

16.1. Определить число ампер-витков тороида с железным сердечником (используйте график В = f(Н)), при котором индукция В в узком вакуумном зазоре шириной l0 = 3,6 мм составляет 1,4 Тл. Длина тороида по средней линии l = 0,8 м.

Ответ: 5800 А.

16.2. Вычислить намагниченность М марганца в однородном магнитном поле, напряженность которого Н = 100 кА/м.

Ответ: 12,1 А/м.

16.3. Замкнутый соленоид (тороид) со стальным сердечником имеет n = 10 витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду течет ток силой I = 2 А. Вычислить магнитный поток Ф в сердечнике, если его сечение S = 4×10-4 м2.

Ответ: 0,52 мВб.

16.4. Тонкое железное кольцо со средним диаметром d = 50 см несет на себе обмотку из N = 800 витков с током I = 3 А. В кольце имеется поперечная прорезь шириной b = 2 мм. Найти с помощью графика В = f(Н) магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Ответ: Н = 0,26 кА/м; В = 1,25 Тл; m = 4000.

Задачу решать графическим путем.

16.5. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца d = 20 см. Ширина зазора b = 2 мм, индукция магнитного поля в зазоре В = 40 мТл. Найти модуль вектора напряженности магнитного поля внутри магнита. Краевыми эффектами пренебречь.

Ответ:  А/м.

16.6. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью c. Найти поверхностный молекулярный ток I¢пов.                         

Ответ: I¢пов = cI.

16.7. Длина железного сердечника l1 = 2,5 м, длина воздушного зазора l2 = 1 см. Число витков в обмотке тороида N = 1000. При токе I = 20 А индукция магнитного поля в воздушном зазоре   В = 1,6 Тл. Найти магнитную проницаемость m железного сердечника при этих условиях. (Графическая зависимость В = f(Н) известна). 

Ответ: m = 440.

16.8. Алюминиевый шарик радиусом R = 1,0 мм находится в неоднородном магнитном поле, изменяющемся в направлении оси Х, в той точке, где магнитная индукция и градиент поля соответственно равны 5,0 Тл и 3,0 Тл/м. Найти силу F, действующую на шарик со стороны магнитного поля. Намагничивание шарика считать одинаковым во всех его точках.

Ответ: F = 1,15 мкН.

16.9. Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика магнитной восприимчивостью c и площадью поперечного сечения S расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где индукция магнитного поля равна В, а другой конец – в области, где магнитное поле практически отсутствует. Определить силу F, с которой катушка действует на стержень. 

 Ответ:

16.10. По круговому контуру проходит ток I = 10 А. Радиус контура R = 10 см. Контур погружен в жидкий кислород. Найти намагниченность М в центре контура.

Ответ: 0,17 А/м.

16.11. В соленоид длиной 100 мм, имеющий 300 витков, введен железный сердечник. По виткам течет ток I = 1,0 А. Используя кривую В = f(Н), найти намагниченность М и магнитную проницаемость c железа внутри соленоида.

Ответ: 1,22 МА/м; c = 1320.

16.12. Во сколько раз h возрастет намагниченность М железа при увеличении напряженности магнитного поля Н в нем от 100 до 900 А/м? При решении задачи использовать кривую В = f(Н).

Ответ: h = 1,5.

16.13. Индукция магнитного поля в железном стержне В = 1,7 Тл. Определить значение вектора намагничивания М в нем. При решении задачи использовать кривую В = f(Н).

Ответ: 1,3×106 А/м.

16.14. Магнитное поле, направленное вдоль оси х, равномерно изменяется в этом направлении на 8 Тл на каждом метре расстояния. Перпендикулярно к оси х, в направлении оси у, движутся атомы натрия со скоростью v = 800 м/с. Определить траекторию движения атомов натрия. Масса атома натрия 3,84×10-26 кг, его магнитный момент 9,27×10-24 А×м2.

Ответ:

16.15. В однородное магнитное поле с индукцией В0 помещен шар из однородного изотропного магнетика с проницаемостью m. Определить напряженность Н и индукцию В поля в магнетике.

Ответ:  

16.16. Железное кольцо квадратного сечения, в котором имеется прорезь шириной b = 2 мм. Средний диаметр кольца d = 300 мм, площадь поперечного сечения S = 500 мм2. Кольцо несет на себе обмотку из N = 800 витков, по которой течет ток I = 3 А. Найти магнитную проницаемость m железа. Рассеянием поля на краях пренебречь.

Ответ: 3000.

16.17. В однородное магнитное поле с индукцией В0 помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного магнетика с проницаемостью m. Пластина расположена перпендикулярно к линиям В0. Определить магнитную индукцию В и напряженность Н в магнетике.

Ответ: В = В0; Н = В0 / m.

16.18. На железном сердечнике в виде тора диаметром d = 500 мм имеется обмотка с числом витков N = 1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b = 1 мм. При силе тока в обмотке    I = 0,85 А Н в зазоре равна 600 кА/м. Определить магнитную проницаемость m железа при этих условиях.

Ответ:

16.19. Палочка из неизвестного вещества, помещенная между полюсами магнита в вакууме, расположилась вдоль магнитного поля. Когда пространство между полюсами магнита заполнили некоторой жидкостью, палочка расположилась поперек поля. Каковы магнитные свойства вещества палочки и жидкости? Ответ обосновать.

        Ответ: cжид > c.

16.20. В однородное магнитное поле внесен параллельно полю длинный круглый стержень из алюминия. Найти, сколько процентов h суммарного магнитного поля в стержне приходится на долю его внутреннего магнитного поля.

Ответ: h = 23×10-4 %.

16.21. Какая сила F будет действовать на каждую единицу объема куска диамагнетика (c = 8p×10-5), помещенного в магнитное поле, где магнитная индукция В = 0,1 Тл, а градиент магнитной индукции равен 0,5 Тл/м?

Ответ: 40 Н/м3.

16.22. Алюминиевый шарик радиусом r = 1 мм находится в неоднородном магнитном поле с градиентом dB / dx = 3 Тл/м. Определить силу, действующую на шарик в той точке, где В = 5 Тл.

Ответ:  Н.

16.23. Два шарика – алюминиевый и висмутовый – находятся в соприкосновении друг с другом в магнитном поле. Их центры лежат на оси х. Магнитное поле изменяется в направлении оси х. Как должны быть расположены шарики и каково отношение их радиусов, если они находятся в равновесии?

Ответ:

16.24. Киломольная восприимчивость оксида хрома (Сr2О3) равна 5,8×10-5 м3/кмоль. Определить магнитный момент pm молекулы оксида хрома, если температура Т = 300 К.

Ответ: pm = 3,1×10-23 А×м2.

16.25. Если магнитная восприимчивость некоторого парамагнитного вещества определена при 0 °С, то как должна изменяться температура вещества, чтобы его магнитная восприимчивость возросла на 10 %?

Ответ: 25 К.

 

20. УСКОРИТЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

 

20.1. Пусть пролетные трубки в линейном ускорителе имеют одинаковую длину      l = 6 см. В каких пределах необходимо изменять частоту n гене­ратора напряжений такого ускорителя, чтобы ускорить электроны от 5 до 50 МэВ? 

Ответ:  от  nmin = 2,49 ГГц  до  nmax = 2,5 ГГц.

20.2. Ускоряющая система линейного ускорителя ионов питается от лампового генератора, работающего в диапазоне коротких длин волн, l0 = 30 м. Линейный ускоритель состоит из N = 36 трубок дрейфа, установленных по оси стеклянной вакуумной камеры. Длина первой трубки l1 = 1 см. Пренебрегая величиной зазоров между трубками, определите длину последней l36 трубки и длину L всего ускорителя.                             

Ответ: l36 = 6 см,  L = 1,43 м.

20.3. Электрон движется по окружности радиуса r0 в однородном магнитном поле со скоростью v = 0,8с (с - скорость света в вакууме). Индукция В магнитного поля равна 0,01 Тл. Определить радиус r0 окружности, учитывая увеличение массы электрона при увеличении скорости.

 Ответ: r0 = 22,8 см.

20.4. Внутренний диаметр дуантов циклотрона d = 1 м. Индукция магнитного поля В = 1,20 Тл. Ускоряющее напряжение Um = 100 кВ. Найти максимальную энергию К, до которой могут быть ускорены в этом циклотроне протоны, и скорость v, приобретаемую протонами к концу ускорения.

Ответ: К = 17 МэВ; v = 5,8×107 м/с.

20.5. Внутренний диаметр дуантов циклотрона d = 1 м. Индукция магнитного поля В = 1,20 Тл. Ускоряющее напряжение Um = 100 кВ. Найти время t, в течение которого длится процесс ускорения.

Ответ: t = 4,7×10-6 с.

20.6. Частота генератора циклотрона n = 10 МГц. Найти амплитудное Um ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом r0 = 0,5 м не меньше чем Dr = 0,1 м.    

Ответ: Um = 0,1 МВ.

20.7. Протоны ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории r0 = 50 см. Найти кинетическую энергию К протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне В = 1,0 Тл.                

 Ответ: К = 12 МэВ.

20.8. Протоны ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории r0 = 50 см. Найти минимальную частоту nмин генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию К = 20 МэВ. 

 Ответ: nмин = 20 МГц.

20.9. Определить энергию К, которую приобретает протон, сделав N = 40 оборотов в магнитном поле циклотрона, если максимальное значение Umax переменной разности потенциалов между дуантами равно 60 кВ.                                   

Ответ:  К = 4,8 МэВ.

20.10. Вычислить скорость v и кинетическую К энергию a-частицы, выходящей из циклотрона, если, подходя к выходному окну, a-частицы движутся по окружности радиусом r0 = 50 см. Индукция В магнитного поля циклотрона равна 1,7 Тл.

  Ответ:  v = 41 Мм/с;  К = 34,9 МэВ.

20.11. Индукция В магнитного поля циклотрона равна 1 Тл. Какова частота n ускоряющего поля между дуантами, если в   циклотроне   ускоряются   дейтроны ?

Ответ:  n = 7,7 МГц.

20.12. В циклотроне требуется ускорять ионы гелия (Не++). Частота n переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, равна 10 МГц. Какова должна быть индукция В магнитного поля циклотрона, чтобы период Т обращения ионов совпал с периодом изменения разности потенциалов?

  Ответ:  В = 1,3 Тл.

20.13. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка в процессе ускорения частицы, связанная с изменением ее периода обращения при возрастании энергии, медленно изменяют частоту ускоряющего поля. Такой у