Высшая математика для заочников по методичке Арутюнова 1985

Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений/Арутюнов Ю. С., Полозков А. П., Полозков Д. П.; Под ред. Ю. С. Арутюнова. — М.: Высш. школа, 1985.— 144 с., ил.

Задания всех вариантов прорешены! Перейти в магазин...

А1

Даны векторы а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5) и d(6;10;17)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

А11

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(4;2;5)  А₂(0;7;2)  А₃(0;2;7)  А₄(1;5;0).

А21

Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

А31

Составить уравнение линии, расстояния каждой  точки  которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как  2:1.

А41

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А51

Дана система линейных уравнений

 

3x₁+2x₂+x₃=5             (1)

2x₁+3x₂ +x₃=1            (2)

2x₁+x₂+3x₃=11           (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А61

Даны два линейных преобразования:

         

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А71

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А81

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

A91

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

А101

Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.

y=(3/2)sin(2x+3).

А111

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А121

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=0 и х₂=2. Требуется:

1. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
3. сделать схематический чертеж.

А131

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

            x+4,  если х<–1,

f(x)=    x²+2, если –1≤x<1

            2x,     если х≥1

А141

Найти производные  данных функций.

а) ; б);  в) y=lnsin(2x+5);   г) ;  д) .

А151

Найти  и

А) y=;  б) x=cos(t/2),   y=t–sint.

А161

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,49                    b=0,52.

А171

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x³ –12x+7 на отрезке [0;3].

А181

Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

А191

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А201

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

A211

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=(t–sint)i+(1-cost)j+2sint·k;   t₀=π/2

А221

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+5x+7=0

А231

Дана функция z=. Показать, что .

A241

Даны функция z=x²+xy+y² и две точки А(1;2) и В(1,02; 1,96). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A251

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x²+y²–9ху+27  в замкнутой области D, заданной системой неравенств 0≤x≤3, 0≤y≤3. Сделать чертеж.

А261

Даны функция z=x²+ху+y², точка А(1;1) и вектор a=2i – j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А271

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	4,3	5,3	3,8	1,8	2,3

А281

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;     б) ;         в) ; г) .

А291

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А301

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А311

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x²+1 и прямой y=3x+7.

А321

Найти общее решение дифференциального уравнения.

(х²–у²)y’=2xy

А331

Найти общее решение дифференциального уравнения (1–x²)y’’=xy’.

А341

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’+4y’–12y=8sin2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0,  y’(0)=0.

А351

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А361

Материальная точка массы m=2 г без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Сопротивление жидкости  пропорционально скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k=2 г/с. Найти скорость точки через 1 с после начала погружения.

А371

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

(x²+ y²)³ =a² x² y²

А381

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=x,    y=0, y=4,  

А391

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль дуги L=AB окружности x=5cost, y=5sint  от точки А(5;0) до точки В(0;5). Сделать чертеж.

А401

Даны векторное поле F=(x+z)i и плоскость (р) x+y+z – 2 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

1. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
2. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
3. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А411

Проверить, является ли векторное поле F=(6x+7yz)i+(6y+7xz)j+(6z+7xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А421

Исследовать сходимость числового ряда .

А431

Найти радиус сходимости ряда . .

А441

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=,  b=1

А451

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=cosx+y² ,      y(0)=1.

А461

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=x+1,     (-π;π)

А471

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=x·(2 –x)               F(x)=e^-x

А481

Представить заданную функцию W=(iz)³, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= –1+i.

А491

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=∞ и определить область сходимости ряда.

А501

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’’+x’’=sint;              x(0)=1,  x’(0)=1,  x’’(0)=0.

А511

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’=x –y,          x(0)=1,  y(0)=0

 

y’=x+y;

 

А521

Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

А531

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,1; М(х)=3,9; D(x)=0,09

 

А541

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0, x≤0

F(x)=   x²  ,0<x≤1

            1, x>1

 

А551

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=10; σ=4; α=2; β=13

 

А561

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,1       0,9

            0,2       0,8

 

 

А571

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,17; n=36; σ=6, γ=0,95

 

А2

Даны векторы а(4;7;8), b(9;1;3), c(2;–4;1) и d(1;–13;–13)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Систему уравнений решить по формулам Крамера.

А12

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(4;4;10)  А₂(4;10;2)  А₃(2;8;4)  А₄(9;6;9).

А22

Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

А32

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки    А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.

 

А42

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А52

Дана система линейных уравнений

 

x₁–2x₂+3x₃=6             (1)

2x₁+3x₂ –4x₃=20        (2)

3x₁–2x₂–5x₃=6           (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А62

Даны два линейных преобразования:

 

           

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А82

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка .

А92

Дано комплексное число а. Требуется:

1. записать число  в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³+a=0

А102

Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.

y=(5/6)sin(2x/3+1).

А112

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А122

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=1 и х₂=3. Требуется:

4. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
5. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
6. сделать схематический чертеж.

А132

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

            x+2, если х≤–1,

f(x)=    x²+1, если –1<x<1

            –x+3, если х≥1

А142

Найти производные  данных функций.

а) ; б);  в) y=arctge^2x;   г) ;  д) .

А152

Найти  и

А) y=lnctg2x;  б) x=t³+8t,   y=t⁵+2t.

А162

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,33                    b=0,36.

А172

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;2].

А182

Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

А192

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А202

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график. .

A212

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=2sint i+3tgt·j+2cost·k;   t₀=π/4

А222

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+4x–6=0

А232

Дана функция z=. Показать, что .

A242

Даны функция z=3x²–xy+x+y и две точки А(1;3) и В(1,06; 2,92). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A252

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x² +2y²+1  в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≥0, y≥0, x+y≤3. Сделать чертеж.

А262

Даны функция z=2x²+3ху+y², точка А(2;1) и вектор a=3i –4j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А272

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	4,5	5,5	4,0	2,0	2,5

А282

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;           б) ;  в) ;   г) .

А292

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А302

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А312

Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t≤2π)  и осью ОХ.

А322

Найти общее решение дифференциального уравнения (1+x²)y’-2xy=(1+x²)².

А332

Найти общее решение дифференциального уравнения 2yy’’+y’²+y’⁴=0

А342

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’– 6y’+9y=x²–x+3, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=4/3,  y’(0)=1/27.

А352

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А362

Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v₀=12 км/ч. На полном ходу её мотор был выключен, и через 10с скорость лодки уменьшилась до v₁= 6 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.

А372

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

(x²+ y²)² =a² (4x² +y²)

А382

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=9–y²,    x²+y²=9

А392

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль ломаной L=ОAB, где  О(0;0), А(2;0),  В(4;5). Сделать чертеж.

А402

Даны векторное поле F=(y –x+z)j и плоскость (р) 2x –y+2z – 2 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

4. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
5. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
6. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А412

Проверить, является ли векторное поле F=(8x-5yz)i+(8y-5xz)j+(8z-5xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А422

Исследовать сходимость числового ряда .

А432

Найти радиус сходимости ряда . .

А442

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=,  b=1

А452

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=e^x +y² ,      y(0)=0.

А462

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=x²+1,     (-2;2)

А472

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=x²                        F(x)=sinx

А482

Представить заданную функцию W=, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= i.

А492

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=1 и определить область сходимости ряда.

А502

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ –x’=te^t;                  x(0)=0,  x’(0)=0.

А512

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

x’=–2x–2y –4z          

y’=–2x+y–2z,                         x(0)=1,  y(0)=1,   z(0)=1

z’=5x+2y+7z;

 

А522

В каждой из двух урн находятся 5  белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что  шар, вынутый из второй урны, окажется черным.

А532

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,3; М(х)=3,7; D(x)=0,21

А542

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0,                     x≤1

F(x)     (1/2)(x²–x),  1<x≤2

            1,                    x>2

А552

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=9; σ=5; α=5; β=14

А562

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,2       0,8

            0,3       0,7

 

А572

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,16; n=49; σ=7, γ=0,95

А3

Даны векторы а(8;2;3), b(4;6;10), c(3;–2;1) и d(7;4;11)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Систему уравнений решить по формулам Крамера.

А13

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(4;6;5)  А₂(6;9;4)  А₃(2;10;10)  А₄(7;5;9).

А23

Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.

А33

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки    А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4. 

А43

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А53

Дана система линейных уравнений

 

4x₁–3x₂+2x₃=9                       (1)

2x₁+5x₂–3x₃=4                       (2)

5x₁+6x₂–2x₃=18                     (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А63

Даны два линейных преобразования:

 

                      

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А73

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А83

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка .

А93

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А103

Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.

y=(–6/5)sin(x+1).

А113

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А123

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=0 и х₂=2. Требуется:

1. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
3. сделать схематический чертеж.

А133

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

 

            –x,            если х≤0,

f(x)=    , если 0<x<2

               (х–3)  ,    если х≥2

 

А143

Найти производные  данных функций.

а) ; б) ;  в) ;   г) ; д) .

 

А153

Найти  и

А) y=;  б) x=t–sint,   y=1–cost.

А163

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,75                    b=0,78.

А173

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0;π/2].

А183

Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

А193

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график. .

А203

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

A213

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=2sin² t i+2cos² t·j+sin2t·k;   t₀=π/4

А223

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+x+3=0

А233

Дана функция z=ln(x²+y²+2x+1). Показать, что .

A243

Даны функция z=x²+3xy–6y и две точки А(4;1) и В(3,96; 1,03). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A253

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=3 –2x² –xy –y²  в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≤1, y≥0, y≤x. Сделать чертеж.

А263

Даны функция z=ln(x²+3y²), точка А(1;1) и вектор a=3i +2 j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А273

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

x	1	2	3	4	5
y	4,7	5,7	4,2	2,2	2,7

А283

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;  б) ;     в) ;         г) .

А293

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А303

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А313

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардоидой r=3(1+cosφ).

А323

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’=yln(y/x).

А333

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+y’tgx=sin2x.

А343

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’+4y’=e^-2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0,  y’(0)=0.

А353

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А363

Пуля, двигаясь со скоростью v₀= 400 м/с, входит в достаточно толстую стену. Сопротивление стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности k= 7 м^-1. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения в стену.

А373

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

(x²+ y²)³ =a² x² (4x² +3y²)

А383

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=4-x-y,    

А393

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль границы L треугольника ABС, обходя её против хода часовой стрелки, если   А(1;0), В(1;1),  С(0;1). Сделать чертеж.

А403

Даны векторное поле F=(x+7z)k и плоскость (р) 2x + y + z – 4 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

7. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
8. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
9. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А413

Проверить, является ли векторное поле F=(10x-3yz)i+(10y-3xz)j+(10z-3xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А423

Исследовать сходимость числового ряда 

А433

Найти радиус сходимости ряда . .

А443

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=x·arctgx,  b=0,5

А453

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=y+y² ,      y(0)=3.

А463

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=(π-x)/2,     (-π;π)

А473

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=e^x            F(x)=ωx

А483

Представить заданную функцию , где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀=1.

А493

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=0 и определить область сходимости ряда.

А503

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’’–2x’’+x’=4;                      x(0)=1,  x’(0)=2,  x’’(0)=–2.

А513

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’+4x –y=0,    x(0)=2,  y(0)=3

 

y’+2x+y=0;

А523

Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим –0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.

А533

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,5; М(х)=3,5; D(x)=0,25

А543

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0, x≤0

F(x)=   x³  ,0<x≤1

            1, x>1

 

А553

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=8; σ=1; α=4; β=9

А563

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

Р₁=      0,3       0,7

            0,4       0,6

 

А573

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,15; n=64; σ=8, γ=0,95

А4

Даны векторы а(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2) и d(19;30;7)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

А14

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(3;5;4)  А₂(8;7;4)  А₃(5;10;4)  А₄(4;7;8).

А24

Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

А34

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).

А44

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А54

Дана система линейных уравнений

 

x₁+x₂+2x₃=–1             (1)

2x₁–x₂+2x₃=–4           (2)

4x₁+x₂+4x₃=–2           (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А64

Даны два линейных преобразования:

 

          

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А74

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А84

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 4xy+3y²=36.

А94

Дано комплексное число а. Требуется:

2. записать число  в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³+a=0

А104

Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.

y=3sin(4x–2).

А114

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А124

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=2 и х₂=4. Требуется:

4. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
5. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
6. сделать схематический чертеж.

А134

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

            cosx, если х≤0,

f(x)=    x²+1, если 0<x<1

                  x, если х≥1

А144

Найти производные  данных функций.

а) ; б) y=sinx –xcosx;  в) y=x^mlnx;   г) y=x^-tgx;  д) .

А154

Найти  и

А) y=xarctgx;  б) x=e^2t,   y=cost.

А164

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,63                    b=0,66.

А174

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=3x⁴ –16x³+2 на отрезке [–3;1].

А184

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

А194

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А204

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. y=x²–2lnx.

A214

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=е^-t i+e^t j+t·k;   t₀=0

А224

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+2x–11=0

А234

Дана функция z=e^xy. Показать, что .

A244

Даны функция z=x²–y²+ 6x+3y и две точки А(2;3) и В(2,02; 2,97). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A254

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x² +3y²+x–y  в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≥1, y≥–1, x+y≤1. Сделать чертеж.

А264

Даны функция z=ln(5x²+4y²), точка А(1;1) и вектор a=2i –j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А274

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	4,9	5,9	4,4	2,4	2,9

А284

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;  б) ;       в) ;            г) .

А294

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А304

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А314

Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin2φ.

А324

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’+y -3=0.

А334

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+y’/x=x².

А344

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’–2y’+5y=xe^2x , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1,  y’(0)=0.

А354

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

 

А364

Материальная точка массой m=1 г движется прямолинейно. На неё действует в направлении движения сила, пропорциональная времени, протекавшему от момента, когда скорость точки равнялась нулю, с коэффициентом пропорциональности k₁=2 г∙см/с³; кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости движения с коэффициентом пропорциональности k₂=3 г/с. Найти скорость точки через 3 с после начала движения.

А374

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

(x²+ y²)² =a² (3x² +2y²)

А384

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=y²,    x²+y²=9

А394

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль дуги L параболы y=x² от точки А(-1;1) до точки В(1;1). Сделать чертеж.

А404

Даны векторное поле F=(x –2y–z)i и плоскость (р) –x+2y+2z – 4 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

10. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
11. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
12. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А414

Проверить, является ли векторное поле F=(12x+yz)i+(12y+xz)j+(12z+xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А424

Исследовать сходимость числового ряда .

А434

Найти радиус сходимости ряда . .

А444

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=ln(1+x²)/x,  b=0,5

А454

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=2e^y –xy ,      y(0)=0.

А464

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=1+|x|,     (-1;1)

А474

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=cosx                    F(x)=ωx

А484

Представить заданную функцию W=e^1-2z, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= πi/3.

А494

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=i и определить область сходимости ряда

А504

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ –9x=e^-2t;                x(0)=0,  x’(0)=0.

А514

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

x’+y - z=0

y’- z=0,           x(0)=2,  y(0)=1/2, z(0)=5/2

x+z-z’=0;

 

А524

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 900 раз.

А534

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

А544

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

А554

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=7; σ=2; α=3; β=10

А564

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,4       0,6

            0,5       0,5

 

А574

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратичное отклонение σ.

 

x=75,14; n=81; σ=9, γ=0,95

 

А5

Даны векторы а(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1) и d(24;20;6)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

А15

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(10;6;6)  А₂(–2;8;2)  А₃(6;8;9)  А₄(7;10;3).

А25

Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.

А35

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки    А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5. 

А45

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А55

Дана система линейных уравнений

 

2x₁–x₂–x₃=4               (1)

3x₁+4x₂–2x₃=11         (2)

3x₁–2x₂+4x₃=11         (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А65

Даны два линейных преобразования:

 

            

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А75

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А85

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 5x²+8xy+5y²=9.

A95

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А105

Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.

y=–sin(x/2–1).

А115

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А125

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=3 и х₂=5. Требуется:

1. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
3. сделать схематический чертеж.

А135

Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Изобразить схематично график функции.

 

            –x, если х≤0,

f(x)=    x², если 0<x≤2

             x+1, если х>2

А145

Найти производные  данных функций.

а) ; б);  в) ;   г) ;  д).

 

А155

Найти  и

А) y=arctgx;  б) x=3cos²t,   y=2sin³t.

 

А165

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,21                    b=0,24.

А175

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x³ –3x+1 на отрезке [1/2;2].

А185

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

А195

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график; .

А205

Исследовать математическими методами   дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) и, используя результаты исследования,  построить её график. .

A215

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=(t³+8t)i+t²j+(t⁵+3t)·k;   t₀=2

А225

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+x+1=0

А235

Дана функция z=ln(x+е^-y). Показать, что .

A245

Даны функция z=x²+2xy+3y² и две точки А(2;1) и В(1,96; 1,04). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A255

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x²+2ху+2y²  в замкнутой области D, заданной системой неравенств –1≤x≤1, 0≤y≤2. Сделать чертеж.

А265

Даны функция z=5x²+6ху, точка А(2;1) и вектор a=i +2j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А275

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	5,1	6,1	4,6	2,6	3,1

А285

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;           б) ;  в) ;       г) .

А295

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А305

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А315

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг  оси ОХ фигуры, ограниченной параболами  у=x², y= .

А325

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’+xe^y/x  – y=0.

А335

Найти общее решение дифференциального уравнения 1+(y’)²+y y’’=0.

А345

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’+5y’+6y=12cos2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1,  y’(0)=3.

А355

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А365

В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q=5 л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось m₀= 10 кг соли. Сколько будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?

А375

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

x⁴=a²(3x²–y²)

А385

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  y+z=2,    x²+y²=4

А395

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль верхней половины  L эллипса x=3cost, y=2sint  (0≤t≤π). Сделать чертеж.

А405

Даны векторное поле F=(2x+3y–3z)j и плоскость (р) 2x–3y+2z – 6 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

1. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
2. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
3. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А415

Проверить, является ли векторное поле F=(4x-7yz)i+(4y-7xz)j+(4z-7xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А425

Исследовать сходимость числового ряда .

А435

Найти радиус сходимости ряда . .

А445

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=xln(1- x²),  b=0,5

А455

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=sinx+y² ,      y(0)=1.

А465

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=     0,  -π<x<0                              (-π;π)

             x,  0≤x<π

А475

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=sinx                     F(x)=v₀

А485

Представить заданную функцию W=z³+3z–i, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀=–i.

А495

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=∞ и определить область сходимости ряда.

А505

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ +x’= t²+2t             x(0)=4,  x’(0)=–2.

А515

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’+7x–y=0,     x(0)=1,  y(0)=1

 

y’+2x+5y=0;

А525

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85.  Найти вероятность того, что при аварии сработает:

А) только одно устройство;

Б) только два устройства;

 В) все три устройства.

А535

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,9; М(х)=3,1; D(x)=0,09

А545

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0,                     x≤2

F(x)     x/2–1,              2<x≤4

            1,                    x>4

А555

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=6; σ=3; α=2; β=11

А565

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,6       0,4

            0,7       0,3

 

А575

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,13; n=100; σ=10, γ=0,95

А6

Даны векторы а(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5) и d(7;32;14)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Систему уравнений решить по формулам Крамера.

А16

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(1;8;2)  А₂(5;2;6)  А₃(5;7;4)  А₄(4;10;9).

А26

Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

А36

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).

А46

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А56

Дана система линейных уравнений

 

3x₁+4x₂+2x₃=8                       (1)

2x₁–x₂–3x₃=–4                       (2)

x₁+5x₂+x₃=0                           (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А66

Даны два линейных преобразования:

 

             

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А76

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А86

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

А96

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А106

Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.

y=2cos(3x/2–1).

А116

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А126

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=5 и х₂=7. Требуется:

4. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
5. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
6. сделать схематический чертеж.

А136

Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Изобразить схематично график функции.

 

            –x,  если     х≤0,

f(x)=    sinx,  если     0<x≤π

            x–2,     если     х>π

А146

Найти производные dy/dx данных функций

А) ; б) ; в) ; г) ; д) .

А156

Найти  и

А) y=e^ctg3x;  б) x=3cost,   y=4sin²t

А166

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,55                    b=0,58.

А176

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2;2].

А186

При каких линейных размерах закрытая  цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

А196

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график. .

А206

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график. .

A216

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=2ti–3tj+ln(tgt)·k;   t₀=π/4

А226

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+x–1=0

А236

Дана функция z=х/у. Показать, что .

A246

Даны функция z=x²+y²+2x+y–1 и две точки А(2;4) и В(1,98; 3,91). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A256

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=5x²–3ху+y²+4  в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≥–1, y≥–1, x+y≤1. Сделать чертеж.

А266

Даны функция z=arctg(xy²), точка А(2;3) и вектор a=4i – 3j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А276

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	5,1	6,1	4,6	2,6	3,1

А286

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а)          б) ;      в) ;  г) .

А296

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А306

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А316

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг  оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой   и Осю Оу.

А326

Найти общее решение дифференциального уравнения.

y’cosx=(y+1)sinx

А336

Найти общее решение дифференциальные уравнения.   (1+y)y’’–5(y’)²=0

А346

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’–5y’+6y=(12x–7)e^–x , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0,  y’(0)=0.

А356

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

 

А366

Кривая проходит через точку (2;–1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти уравнение кривой.

А376

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

x⁶=a²(x⁴–y⁴)

А386

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  4z=y²,    2x–y=0,   x+y=9

А396

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль ломаной L=ABC, где  A(1;2), B(1;5),  C(3;5). Сделать чертеж.

А406

Даны векторное поле F=(2x+4y+3z)k и плоскость (р) 3x + 2y + 3z – 6 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

4. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
5. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
6. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А416

Проверить, является ли векторное поле F=(x+2yz)i+(y+2xz)j+(z+2xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А426

Исследовать сходимость числового ряда .

А436

Найти радиус сходимости ряда . .

А446

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=,  b=0,5

А456

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=e^x +y ,      y(0)=4.

А466

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=|1–x|,     (-2;2)

А476

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=x             F(x)=cosx

А486

Представить заданную функцию W=e^1-2iz, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= π/6.

А496

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=1 и определить область сходимости ряда.

А506

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ +9x=cos(3t);                     x(0)=1,  x’(0)=0.

А516

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

x’=–x+y +z

y’=x–y+z,                   x(0)=2,  y(0)=2,   z(0)=–1

z’=x+y–z;

 

А526

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

А536

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,9; М(х)=2,2; D(x)=0,36

А546

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0, x≤0

F(x)     x²/9,  0<x≤3

            1, x>3

 

А556

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=5; σ=1; α=1; β=12

А566

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,6       0,4

            0,8       0,2

 

А576

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,12; n=121; σ=11, γ=0,95

А7

Даны векторы а(1;–2;3), b(4;7;2), c(6;4;2) и d(14;18;6)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Систему уравнений решить по формулам Крамера.

А17

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(6;6;5)  А₂(4;9;5)  А₃(4;6;11)  А₄(6;9;3).

А27

Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С.

А37

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.

А47

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А57

Дана система линейных уравнений

 

x₁+x₂–x₃=1                 (1)

8x₁+3x₂–6x₃=2           (2)

4x₁+x₂–3x₃=3             (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А67

Даны два линейных преобразования:

 

             

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А77

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А87

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

A97

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А107

Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.

y=(3/2)cos(x/2+1).

А117

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А127

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=4 и х₂=6. Требуется:

7. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
8. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
9. сделать схематический чертеж.

А137

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

            –(x+1), если х≤–1,

f(x)=    (x+1)², если –1<x<0

             x,        если х≥0

А147

Найти производные  данных функций.

а) ; б)  в) ;   г) y=(x+x²)^x;

 д) .

А157

Найти  и

А) y=e^xcosx;  б) x=3t-t³,   y=3t².

А167

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,37                    b=0,40.

А177

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;π/2].

А187

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

А197

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А207

Исследовать математическими методами   дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) и, используя результаты исследования,  построить её график. .

A217

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=(t²–3)i+(t³+2)j+lnt·k;   t₀=1

А227

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+4x+8=0

А237

Дана функция z=x^y. Показать, что .

A247

Даны функция z=3x²+2y²–xy и две точки А(–1;3) и В(–0,98; 2,97). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A257

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=10+2xy–x²  в замкнутой области D, заданной системой неравенств 0≤y≤4– x². Сделать чертеж.

А267

Даны функция z=arcsin(x²/y), точка А(1;2) и вектор a=5i –12j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А277

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	5,2	6,2	4,7	2,7	3,2

А287

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;   б) ;     в) ;      г) .

А297

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А307

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А317

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг  оси ОY фигуры, ограниченной кривыми  у=x² и y= .

А327

Найти общее решение дифференциального уравнения .

А337

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’’+2y’=x².

А347

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’– 4y’+13y=26x+5, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1,  y’(0)=0.

А357

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А367

Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке  на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки.  Найти уравнение кривой.

А377

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

x⁴=a²(x²–3y²)

А387

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  x² +y²=z,    x²+y²=4

А397

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль дуги  L кривой y=e^-x от точки  А(0;1) до точки  В( -1;e). Сделать чертеж.

А407

Даны векторное поле F=(x –y+z)i и плоскость (р) –x+2y+z – 4 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

1. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
2. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
3. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А417

Проверить, является ли векторное поле F=(5x+4yz)i+(5y+4xz)j+(5z+4xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А427

Исследовать сходимость числового ряда .

А437

Найти радиус сходимости ряда . .

А447

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=arctgx²,  b=0,5

А457

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=х²+y² ,      y(0)=2.

А467

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=|x|,     (-π;π)

А477

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=sinx                     F(x)=cosx

А487

Представить заданную функцию , где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀=1–i.

А497

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=0 и определить область сходимости ряда.

А507

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’’+x=1;                    x(0)=0,  x’(0)=0,  x’’(0)=0.

А517

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’–x+2y=3,     x(0)=0,  y(0)=0

 

3x’+y’–4x+2y=0;

А527

В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

А537

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,8; М(х)=3,2; D(x)=0,16

А547

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0, x≤0

F(x)     x²/4,  0<x≤2

            1, x>2

 

А557

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=4; σ=5; α=2; β=11

А567

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,8       0,2

            0,9       0,1

 

А577

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,11; n=144; σ=12, γ=0,95

А8

Даны векторы а(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4) и d(21;18;33)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

А18

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(7;2;2)  А₂(5;7;7)  А₃(5;3;1)  А₄(2;3;7).

А28

Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.

А38

Составить уравнение линии, каждая точка которой равноотстоит оси ординат и от окружности x²+y²=4x. Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.

А48

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А58

Дана система линейных уравнений

 

x₁–4x₂–2x₃=–3                       (1)

3x₁+x₂+x₃=5                           (2)

3x₁–5x₂–6x₃=–9                     (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А68

Даны два линейных преобразования:

          

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А78

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А88

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

A98

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А108

Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.

y=–2cos(3x+1).

А118

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А128

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=6 и х₂=8. Требуется:

10. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
11. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
12. сделать схематический чертеж.

А138

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

 

            –x²,  если     х≤0,

f(x)=    tgx,  если     0<x≤π/4

            2,     если     х>π/4

А148

Найти производные  данных функций.

а) ; б);  в);   г) ;

 д) .

А158

Найти  и

А) y=e^-хsinx;  б) x=2t-t³,   y=2t².

А168

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,83                    b=0,86.

А178

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=81x–x⁴  на отрезке [–1;4].

А188

В точках А и В находятся источники света силы соответственно F₁ и F₂. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М. Замечание. Освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r её от источника света: , k=const.

А198

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А208

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и, используя результаты исследования построить её график.

A218

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=(2t²–5)i+(t²–2t)j–·k;   t₀=2

А228

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+6x–1=0

А238                                                          

Дана функция z=x·e^y/x. Показать, что .

A248

Даны функция z=x²–y²+ 5x+4y и две точки А(3;2) и В(3,02; 1,98). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A258

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x² +2xy –y²+4x  в замкнутой области D, заданной системой неравенств x≤0, y≤0, x+y+2≥0. Сделать чертеж.

А268

Даны функция z=ln(3x²+4y²), точка А(1;3) и вектор a=2i – j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А278

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	5,5	6,5	5,0	3,0	3,5

А288

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;       б) ;       в) ;   г) .

А298

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А308

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А318

Вычислить длину дуги полукубической параболы  от точки А(2;0) до точки В(6;8).

А328

Найти общее решение дифференциального уравнения x²y’=2xy+3.

А338

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’tgy=2(y’)².

А348

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’– 4y’=6x²+1, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=2,  y’(0)=3.

А358

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А368

Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k=3. найти уравнение кривой.

А378

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

y⁶=a²(y⁴–x⁴)

А388

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=1–y²,    x=y²,   x=2y² +1

А398

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль отрезка L=AB прямой от точки А(1;2) до точки В(2;4). Сделать чертеж.

А408

Даны векторное поле F=(3x+4y+2z)j и плоскость (р) x+y+2z – 4 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

4. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
5. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
6. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А418

Проверить, является ли векторное поле F=(7x-2yz)i+(7y-2xz)j+(7z-2xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А428

Исследовать сходимость числового ряда .

А438

Найти радиус сходимости ряда . .

А448

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=sinx²,  b=1

А458

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=sinx+0,5y² ,      y(0)=1.

А468

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=x–1,     (-1;1)

А478

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=x·(x-2)                F(x)=e^x

А488

Представить заданную функцию W=, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀=.

А498

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=1 и определить область сходимости ряда.

А508

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ – 4x=t–1;              x(0)=0,  x’(0)=0.

А518

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

x’=y - z

y’=x+y,           x(0)=1,  y(0)=2, z(0)=3

z’=x+z;

 

А528

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

А538

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

А548

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0, x≤–π/2

F(x)     cos(x), – π/2<x≤0

            1, x>0

А558

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=3; σ=2; α=3; β=10

А568

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,9       0,1

            0,2       0,8

 

А578

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,10; n=169; σ=13, γ=0,95

А9

Даны векторы а(2;7;3), b(3;1;8), c(2;–7;4) и d(16;14;27)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. Систему уравнений решить по формулам Крамера.

А19

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(8;6;4)  А₂(10;5;5)  А₃(5;6;8)  А₄(8;10;7).

А29

Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

А39

Составить уравнение  линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.

А59

Дана система линейных уравнений

 

7x₁–5x₂=31                 (1)

4x₁+11x₃=–43            (2)

2x₁+3x₂+4x₃=–20       (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А69

Даны два линейных преобразования:

 

                  

 

 

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А79

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А89

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка .

A99

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А109

Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.

y=–2cos(x+1).

А119

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А129

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=–4 и х₂=–2. Требуется:

1. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
3. сделать схематический чертеж.

А139

Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Изобразить схематично график функции.

 

            –2x, если х≤0,

f(x)=    x²+1, если 0<x≤1

                 2, если х>1

А149

Найти производные  данных функций.

а) ; б);  в);   г) ;  д).

А159

Найти  и

А) ;  б) x=t+lncost,   y=t–lnsint.

А169

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a и e^b  с точностью 0,001.   a=0,13                    b=0,16.

А179

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=3–2x² на отрезке [–1;3].

А189

Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х её поперечного сечения на квадрат его высоты: Q=kxy², k=const.

А199

Методами  дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) для , и по  результатам  исследования построить её график..

А209

Исследовать математическими методами   дифференциального исчисления исследовать  функцию y=f(x) и, используя результаты исследования,  построить её график. .

A219

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

;   t₀=4

А229

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+2x+4=0

А239

Дана функция z=sin(x+ay). Показать, что .

A249

Даны функция z=2xy+3y²–5x и две точки А(3;4) и В(3,04; 3,95). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A259

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x²+ху–2  в замкнутой области D, заданной системой неравенств 4x²–4≤y≤0. Сделать чертеж.

А269

Даны функция z=3x⁴+2х²y³, точка А(–1;2) и вектор a=4i – 3j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А279

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

X	1	2	3	4	5
y	5,7	6,7	5,2	3,2	3,7

А289

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;  б) ;         в) ;   г) .

А299

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А309

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А319

Вычислить длину дуги кардиоиды r=3(1–cosφ).

А329

Найти общее решение дифференциального уравнения.

x²y’+y²–2xy=0

А339

Найти общее решение дифференциального уравнения y’’–2y’tgx=sinx.

А349

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’–2y’+y=16e^x , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1,  y’(0)=2.

А359

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А369

Кривая проходит через точку (1;5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

А379

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

(x²+ y²)² =a² (2x² +3y²)

А389

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=1–x²,   y=0,  y=3–x

А399

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль дуги L параболы y=2x² от точки А(0;0) до точки В(1;2). Сделать чертеж.

А409

Даны векторное поле F=(5x+2y+3z)k и плоскость (р) x + y + 3z – 3 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

1. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
2. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
3. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А419

Проверить, является ли векторное поле F=(3x–yz)i+(3y–xz)j+(3z–xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А429

Исследовать сходимость числового ряда .

А439

Найти радиус сходимости ряда . .

А449

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=sinx²/х²,  b=0,5

А459

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=2e^y +xy ,      y(0)=0.

А469

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=x²,     (0;2π)

А479

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=cosx                    F(x)=sinx

А489

Представить заданную функцию W=z³+z²+i, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= 2i/3.

А499

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=i и определить область сходимости ряда.

А509

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’+2x’ +x=cos(t);                  x(0)=0,  x’(0)=0.

А519

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’+y’=0,          x(0)=1,  y(0)=–1

 

x’–2y’+x=0;

 

А529

На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливают 10%, на втором – 30%,  и на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на  первом станке, 0,8 –если  на втором станке, и 0,9 – если  на третьем. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

А539

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,4; М(х)=3,6; D(x)=0,24

А549

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

А559

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=2; σ=5; α=4; β=9

А569

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,8       0,2

            0,2       0,8

 

А579

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,09; n=196; σ=14, γ=0,95

А410

Даны векторы а(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4;-2) и d(2;-5;-13)  в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

А20

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

А₁(7;7;3)  А₂(6;5;8)  А₃(3;5;8)  А₄(8;4;1).

А30

Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.

А40

Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

А50

Дана линия своим уравнением в полярной системе  координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0 до φ=2φ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

А60

Дана система линейных уравнений

 

x₁+2x₂+4x₃=31                       (1)

5x₁+x₂+2x₃=20                       (2)

3x₁–x₂+x₃=10                         (3)

 

Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

А70

Даны два линейных преобразования:

               

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

 

x₁’’ , x₂’’ ,  x₃’’ через х₁, х₂, х₃.

А80

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.

 

 

А90

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

A100

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³+z=0.

 

 

А110

Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.

y=–3cos(3x+2).

А120

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) ; б) ; в) ; г)

А130

Заданы функция y=  и два значения аргумента x₁=–5 и х₂=–3. Требуется:

13. установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
14. в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа;
15. сделать схематический чертеж.

А140

Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

 

            –2x, если х≤0,

f(x)=    , если 0<x<4

                  1, если х≥4

А150

Найти производные  данных функций.

а) ; б) ;  в) ;   г) y=;

д) .

А160

Найти  и

А) y=;  б) x=lnt,   y=.

А170

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=e^x, вычислить значения e^a   с точностью 0,001.   a=0,59.

А180

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x–sinx на отрезке [–π;π].

А190

Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р₁ руб., а стенок – р₂ руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

А200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. .

А210

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график. y=(x–1)e^3x+1.

A220

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t₀

r(t)=ln(t–3)i–tj+(t²–16)k;   t₀=4

А230

Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

x³+ax+b=0,     a=1,    b=–4

А240

Дана функция z=cosy+(y–x)siny. Показать, что .

A250

Даны функция z=xy+2y²–2x и две точки А(1;2) и В(0,97; 2,03). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x₀,y₀,z₀).

A260

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x²+xy  в замкнутой области D, заданной системой неравенств –1≤x≤1, 0≤y≤3. Сделать чертеж.

А270

Даны функция z=3x²y²+5xy², точка А(1;1) и вектор a=2i + j. Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

А280

Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x)  в виде y=ax+b.

 

x	1	2	3	4	5
y	5,9	6,9	5,4	3,4	3,9

А290

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.

а) ;       б) ; в) ;      г) .

А300

Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

А310

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

А320

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x=3(t-sint), y=3(1–cost) (0≤t≤2π).

А330

Найти общее решение дифференциального уравнения xy’+ y=x+1.

А340

Найти общее решение дифференциального уравнения 3yy’’+(y’)²=0.

А350

Найти частное решение дифференциального уравнения y’’+6y’+9y=10e^-3x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=3,  y’(0)=2.

А360

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.

А370

Кривая проходит через точку (2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

А380

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).

y⁶=a²(3y²–x²)(y²+x²)

А390

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.

z=0,  z=4,    x=0, y+y=4

А400

Вычислить криволинейный интеграл

 

вдоль дуги L кривой y=lnx от точки А(1;0) до точки В(e;1). Сделать чертеж.

А410

Даны векторное поле F=(x –3y+6z)i и плоскость (р) –x+y+2z – 4 =0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через σ, ограничивающий σ контур – через λ, нормаль к σ, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется:

4. вычислить поток векторного поля F через поверхность σ в направлении нормали n;
5. вычислить циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру λ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру λ и ограниченной им поверхности σ с нормалью n;
6. вычислить поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

А420

Проверить, является ли векторное поле F=(9x+5yz)i+(9y+5xz)j+(9z+5xy)k потенциальным и соленоидальным. В потенциальности поля F найти его потенциал.

А430

Исследовать сходимость числового ряда .

А440

Найти радиус сходимости ряда . .

А450

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f(x)=,  b=0,5

А460

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y₀.

y’=x+x²+y² ,      y(0)=5.

А470

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

f(x)=     2,  -π<x<0                              (-π;π)

             1,  0≤x<π

А480

Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент t₀=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями u_t0=f(x) и .

f(x)=e^-x                       F(x)=v₀

А490

Представить заданную функцию W=, где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z₀= -1+iπ.

А500

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки z₀=∞ и определить область сходимости ряда.

А510

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

x’’ +3x’+2x=1+ t + t²;                       x(0)=0,  x’(0)=1.

 

А520

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

 

 

x’+y=0,           x(0)=1,  y(0)=1

 

y’-2x-2y=0;

 

А530

Два брата входят в состав двух различных спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат номер 6.

А540

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁<x₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

 

р₁=0,2; М(х)=3,8; D(x)=0,16

А550

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

 

            0,                     x≤3π/4

F(x)     cos(2x),                       3π/4<x≤π

            1,                    x>π

 

А560

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной  случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α;β).

 

а=2; σ=4; α=6; β=10

А570

Задана матрица Р₁ вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р₂ перехода из состояния i в состояние j за два шага.

 

 

Р₁=      0,4       0,6

            0,1       0,9

 

А580

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

 

x=75,08; n=225; σ=15, γ=0,95