Высшая математика БГУИР

Высшая математика: Контрольные задания для студ. радиотех. спец. Заоч. формы обуч. / Сост. А. А. Карпук, О. А. Феденя. - 3-е изд., перераб. и доп. - Минск : БГУИР, 2008. - 36 с.

Все задачи готовы:

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1.            ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1             - 10. Даны четыре вектора а (аь а2; а3), Ь(Ьь Ь2; Ь3), с(Сь с2; с3) и <i(di; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а,Ь , с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

11           - 20. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1)            длину ребра AiA2; 2) угол между ребрами AiA2 и AiA4; 3) угол ме¬жду ребром А1А4 и гранью AiA2A3; 4) площадь грани AiA2A3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямой AiA2; 7) уравнение плоскости AiA2A3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань AiA2A3. Сделать чертёж.

21.          Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (2;2) и от оси абсцисс.

22.          Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А (3;0), чем от оси ординат.

23.          Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой Зх +16 = О равно 0,6.

24.          Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке А (1;0), чем к точке В (-2;0).

25.          Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А (0;3).

26.          Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки А (0;5) относятся как 3:2.

27.          Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А (0;1) вдвое меньше расстояния от прямой у = 4.

28.          Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (4;2) и от оси ординат.

29.          Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А (4;0) вдвое дальше, чем от прямой х = 1.

30.          Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (-0,5; 1) и от прямой 2х +15 = 0.

31 - 40. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

41-50. Найти размерность и базис пространства решений одно­родной системы линейных уравнений.

51 - 60. Найти собственные значения и собственные векторы ли­нейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

71 - 75. Построить график функции у = f(x) преобразованием графика функции у = sin*:

76-80. Построить график функции у = f (*) преобразованием графика функции у = cos х:

81-90. Дана функция  на отрезке 0<р <2п . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая <р значения через промежуток 7г /8, начиная от ф = 0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

91-100. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

101-110. Заданы функция у = f(x) и два значения аргумента х_х и л; Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

111. -120. Задана функция y =F(x) различными аналитическими

выражениями для различных областей изменения независимой пере­менной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

121-130. Найти производную -у- данных функций:

х

141.       Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?

142.       Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V, причем стоимость квадратного метра материала, из которого изготавливается дно бака, равна р\ (руб.), а стоимость квадратного метра материала, идущего на стенки, равна р2 (руб.). При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?

143. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

144.       Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

145.       Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения и квадрата высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

146.       В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.

147.       Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

148.       Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

149.       Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?

150.       Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объеме V наименьшую полную поверхность.

151-160. Провести полное исследование функции и построить ее график:

171-180. Даны функция z =fix, у) и две точки А (х₀ ;уо) и В (xi;ji). Требуется: 1) вычислить значение z\ функции в точке В\ 2) вычислить приближенное значение zj функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке Л, заменив приращение функции при переходе от точки Л к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z =/(х, у) в точке С (х₀; уо; z₀).

4.            НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

181 - 190. Найти неопределенные интегралы (результаты в случа¬ях «а» и «б» проверить дифференцированием):

191 - 200. Вычислить определенный интеграл:

201-210. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

211. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у = е , у = е и прямой х = 1.

212.       Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами Зх и х2 = 3у.

213.       Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

214.       Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

р = 4cos 20.

215.       Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой р = 5 sin 30.

216.       Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды у = sinx(0 < х < 7г).

217.       Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох астроиды х = 4 cos t, у = 4 sin t.

218.       Вычислить длину по луку биче ской параболы у = V? от точ¬ки 0 (0; 0) до точки А (5; 5 45).

219.       Вычислить длину дуги кривой х = 8 sin t + 6 cos t, у = 6sin t - 8cos/, от / = 0 до t = n!2.

220.       Вычислить длину первого витка спирали Архимеда р = а > 0.

5.            ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

221 - 230. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

231-240. Найти частное решение дифференциального уравне¬ния, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

241 - 250. Найти общее решение системы уравнений

251.       Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству х. Найти зависимость х от времени /, если известно, что по истечении 1600 лет остается половина первоначального количества радия. Принять первоначальное количество радия хо = 2.

252.       Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти угло¬вую скорость диска через 3 мин после начала вращения, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 200 об/мин, по истечении 1 мин вращается со скоростью 120 об/мин.

253.       Катер движется в спокойной воде со скоростью Vo =              =

10           км/ч. На полном ходу двигатель катера был выключен, и через 2 мин скорость катера уменьшилась до v\ = 0,5 км/ч. Определить скорость, с которой двигался катер через 40 с после выключения двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.

254.       По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20°С и тело в течение часа охлаждается от 100 до 30°С, то через сколько минут (с момента начала охлаждения) его температура понизится до 60°С?

255.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1) и об-ладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу.

256.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;1) и об-ладающей тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке М кривой вдвое больше углового коэффициента прямой, соединяющей начало координат с точкой М.

257.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (—1;—1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

258.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен длине радиуса-вектора точки касания.

259.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;2) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания.

260.       Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;3) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ох касательной, проведенной в любой точке кривой, равен половине абсциссы точки касания.

6.            КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕННЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИН-ТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

261.       Вычислить криволинейный интеграл

J(х2 + у2) dx + (х2 - у2)dy

АВ

вдоль линии у = х отточки А (-1;1) до точки В (2;2).

262.       Вычислить криволинейный интеграл j xdy - ydx вдоль дуги

АВ

циклоиды x = a{t- sin t), у = а( 1 - cos t) от точки А (2па;0) до точки

В (0;0).

263.       Вычислить криволинейный интеграл j (х + у) dx + (х - у) dy

с

вдоль окружности х = 4 cos /, у = 4 sin t, обходя ее против хода часо¬вой стрелки.

264.       Вычислить криволинейный интеграл

j (x2 + у) dx + (у2 + x) dy

АВ

от точки А (1;2) до точки В (3;5) вдоль ломаной линии, состоящей из отрезков прямых х = 1,у = 5.

265.       Вычислить криволинейный интеграл \xdy-ydx вдоль тре-

С

угольника с вершинами А (-2; 0), В (2; 0), D (0; 2), обходя его против хода часовой стрелки.

з

266.       Вычислить криволинейный интеграл jxex dy + ydx вдоль

АВ

дуги параболы у = х2 от точки А (0, 0) до точки В (1; 1).

267.       Вычислить криволинейный интеграл J2xydx-x^ dy вдоль

ОА

Л

дуги параболы х = 2у от точки О (0, 0) до точки А (2; 1).

f x2dy-y2dx

268.       Вычислить криволинейный интеграл I —тт.  вдоль

АВ Х +у

о             о

дуги астроиды х = 8 cos t,y = 8 sin t от точки А (8;0) до точки В (0;8).

269.       Вычислить криволинейный интеграл j (х2 - у2) dx + xydy от

АВ

точки А (1; 1) до точки В (3; 4) вдоль прямой, проходящей через эти точки.

270.       Вычислить криволинейный интеграл j (х - у)2 dx+(x + у)2 dy

ОАВ

вдоль ломаной ОАВ, где 0(0; 0), А(2; 0), В (4; 2).

271-280. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и его проекцию на плоскость хОу изобразить на чертежах:

281 - 290. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а положителен.

281.       (х2 + у2J =а4х4у2.           282. (х2 + у2^) =а^х2у4.

283. (x2 +j2) =а6х3у . 284. (х2+у2^) =а2(х2 +2у2^.

285. (х2 + у2 J = а2у4.    286. (х2 +/)2 = ах3.

287. (х2 +y2 J =а2(5х2 +1у2). 288. (х2 + y2J =а2(х4 +/).

289. (х2 + у2) = а2(х2—у2^. 290.(х2+у2^ =а2ху.

291 - 300. Даны векторное поле F и плоскость Р: Ax+By+Cz+D = 0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Требуется вычислить:

1)            поток векторного поля F через часть плоскости Р, ограниченной координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости Р, которая образует с осью Оz острый угол;

2)            поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности.

Сделать чертеж.

291.       F = (x + z)i; (p):x + y + z- 2 = 0.

292.       F = (у- х + z) у; (р): 2х - у + 2z - 2 = 0.

293.       F = (x+lz) к; (р): 2x + y + z-4 = 0.

294.       F = (х + 2у - z) i; (р): -х + 2у + 2z - 4 = 0.

295.       F = (2х + 3у-3z) у; (р): 2х-Зу + 2z - 6 = 0.

296.       F = (2х + 4у + 3z) к; (j?):3x + 2j; + 3z-6 = 0.

297.       F = (x-y + z)i; (p):-x+ 2y + z - 4 = 0.

298.       F = (3x + 4 y + 2 z) j; (/>) :x + y + 2z-4 = 0.

299.       F = (5x + 2y + 3z) k; (p): x + y + 3z-3 = 0.

300.       F = (x - 3y + 6z) i; (p): -x + у + 2z - 4 = 0.

301 - 310. Проверить, будет ли поле вектора F: а) потенциальным; б) соленоИдальным? В случае потенциальности поля найти его потенциал U (х, у, z):

301.       F = (- 2х —yz) i + (-2у- xz) j + (- 2z - ху) к.

302.       F=(2x-yz) i + (2у - xz) j + (2z - ху) к.

303.       F = (2x + yz) i + (2у + xz) j + (2z + ху) к.

304.       F = (2x - 4yz) i + (2у - 4xz) j + (2z - 4ху) к.

305.       F ={2x- 3yz) i + (2у - 3 xz) j + (2z - 3 ху) к.

306.       F = (- 3x + yz) i + (- 3y+ xz) j + (~3z + ху) к.

307.       F = (2x + 2yz) i + ( 2y + 2xz) j + (2z + 2ху) к.

308.       F =(4x + yz) i + (4у + xz) j + (4z + ху) к.

309.       F = (2x + 5yz) i + (2у + 5xz) j + (2z + 5ху) к.

310.       F = (2x + 3yz) i + (2у + 3xz) j + (2z + 3ху) к.

7.            РЯДЫ

311 - 320. Исследовать сходимость числового ряда:

321 -330. Найти интервал сходимости степенного ряда:

331 - 340. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию следует разложить в ряд, который затем почленно проинтегрировать:

341 - 350. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у(х) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию _у(0) = у₀:

351 - 360. На интервале (-я,я) задана периодическая с перио­дом 2л: функция /(х). Требуется:

1. разложить функцию /(х) в ряд Фурье;
2. построить график суммы ряда Фурье.

8.            ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

361 -370. Представить заданную функцию w = /(z), где z = х + iy, в виде w = и (х, у) + ?v (х, у); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной

371 -380. Разложить функцию /(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀:

381 - 390. Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках , Z2,Z3 .

391 - 400. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру .

401-410. Найти изображение заданного оригинала /(7

421 - 430. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным началь­ным условиям: